Taux d'évolution global et taux d'évolution réciproque- Première- Mathématiques
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Calculer un taux d’évolution global à partir des taux d’évolution successifs.
- Calculer un taux d’évolution réciproque.
- Appliquer plusieurs coefficients multiplicateurs
successifs
, 
... , 
à une valeur initiale
revient à lui appliquer le coefficient
multiplicateur 
.
- Le coefficient multiplicateur global et le taux
d’évolution global sont reliés par une
formule :
.
est exprimé en
pourcentage. Il est positif s’il représente
une augmentation, négatif s’il
représente une diminution.
- Il existe un coefficient multiplicateur
réciproque
qui est l’inverse du
coefficient multiplicateur 
et qui permet de passer de
à 
.
- Le taux d’évolution réciproque
d’une valeur 
vers une valeur 
est tel que 
.
est exprimé en
pourcentage. Il est positif s’il représente
une augmentation, négatif s’il
représente une diminution.
- Soit
le taux d’évolution
d’une valeur 
vers une valeur 
.
Soit
le taux d’évolution
réciproque de 
à 
.
et 
sont exprimés en
pourcentage.
On a la relation :
.
- Coefficient multiplicateur
- Variation absolue et taux d’évolution
Le coefficient multiplicateur
est le nombre par lequel il
faut multiplier une valeur initiale 
pour obtenir une valeur finale
.On a la relation :
.
Une quantité peut varier plusieurs fois au cours du temps. Par exemple, le prix d’un litre d’essence change régulièrement pendant l’année. On peut alors calculer la valeur du litre d’essence après les différentes variations grâce à la propriété suivante.
Appliquer plusieurs coefficients multiplicateurs successifs
, , ..., à une valeur initiale
revient à lui appliquer le coefficient
multiplicateur .
Au 8 février 2019, un litre de Sans plomb 95 valait 1,43 €.
Au 1er mars 2019, le prix du litre a été multiplié par 1,03.
Au 5 avril 2019, le prix du litre a été multiplié par 1,05.
Au 3 mai 2019, le prix du litre a été multiplié par 1,02.
Quelle est la valeur du litre de Sans plomb 95 au 3 mai 2019 ?
On cherche la valeur finale.
- On calcule d’abord
- On applique la formule :
Au 3 mai 2019, le prix du litre de Sans plomb 95 est de 1,58 €.
. est exprimé en
pourcentage. Il est positif s’il
représente une augmentation, négatif
s’il représente une diminution.
En pratique : on parle beaucoup des taux d’évolution dans le langage courant, mais ce sont les coefficients multiplicateurs qu’il faut utiliser dans les calculs.
Pour calculer un taux d’évolution global à partir des taux d’évolution successifs :
- calculer d’abord chacun des coefficients
multiplicateurs successifs, à l’aide de la
formule
;
- en déduire
global à l’aide
de la formule 
;
- en déduire
à l’aide de la
formule .
Au 1er janvier 2017, le Smic horaire brut valait 9,76 €.
Au 1er janvier 2018, il a été augmenté de 1,23 %.
Au 1er janvier 2019, il a été de nouveau augmenté de 1,5 %.
Quel est le taux d’évolution global entre 2017 et 2019 ?
Quelle est la valeur du Smic après le 1er janvier 2019 ?
- Les pourcentages indiquées (1,23 % et
1,5 %) représentent des taux
d’évolution. Attention, le taux
d’évolution global n’est pas
égal à 1,23 % ×
1,5 % !
Pour calculer le taux d’évolution global, il faut d’abord calculer les coefficients multiplicateurs en utilisant la formule :
.
.
.
- On en déduit
- Puis on trouve
Entre janvier 2017 et janvier 2019, le taux d’évolution global est de 2,75 %. - Pour calculer la valeur du Smic après les
deux augmentations, on applique la formule :
En 2019, le Smic horaire brut vaut 10,05 €.
Une valeur initiale 
peut évoluer en
une valeur finale 
, puis revenir à
sa valeur de départ 
.
Il existe un coefficient multiplicateur réciproque
qui est l’inverse
du coefficient multiplicateur et qui permet de passer de
à :
Entre 1997 et 2017, le prix d’une baguette de pain a été multiplié par 1,43. Une baguette valait 0,87 € en 2017.
Combien valait-elle en 1997 ?
Prix de 2017 = Prix de 1997 × 1,43
€ (on a divisé le
prix par le coefficient multiplicateur).
d’une valeur vers une valeur est tel que . est exprimé en
pourcentage. Il est positif s’il
représente une augmentation, négatif
s’il représente une diminution.
Soit
le taux
d’évolution d’une valeur vers une valeur .Soit
le taux
d’évolution réciproque de
à . et sont exprimés en
pourcentage.On a la relation :
.
Le prix d’un appareil augmente de 20 % en 2 années. Quel doit être le pourcentage de baisse pour qu’il revienne à son prix de départ ?
Attention, ce pourcentage de baisse n’est pas égal à 20 % !
On cherche le taux d’évolution réciproque
.On utilise la relation :
. 
C’est négatif, il y a donc une baisse de 16,67 % (arrondi à 10-2 près).
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