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Taux d'évolution global et taux d'évolution réciproque

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Objectif

Calculer un taux d’évolution global à partir des taux d’évolution successifs.
Calculer un taux d’évolution réciproque.

Points clés

Appliquer plusieurs coefficients multiplicateurs successifs , ... , à une valeur initiale revient à lui appliquer le coefficient multiplicateur .
Le coefficient multiplicateur global et le taux d’évolution global sont reliés par une formule : .
est exprimé en pourcentage. Il est positif s’il représente une augmentation, négatif s’il représente une diminution.
Il existe un coefficient multiplicateur réciproque qui est l’inverse du coefficient multiplicateur et qui permet de passer de à .
Le taux d’évolution réciproque d’une valeur vers une valeur est tel que .
est exprimé en pourcentage. Il est positif s’il représente une augmentation, négatif s’il représente une diminution.
Soit le taux d’évolution d’une valeur vers une valeur .
Soit le taux d’évolution réciproque de à .
et sont exprimés en pourcentage.
On a la relation : .

Pour bien comprendre

Coefficient multiplicateur
Variation absolue et taux d’évolution

1. Évolutions successives et taux d’évolution global

a. Calcul d’une valeur finale à partir des coefficients multiplicateurs

Rappel
Le coefficient multiplicateur

est le nombre par lequel il faut multiplier une valeur initiale

pour obtenir une valeur finale

.
On a la relation :

Une quantité peut varier plusieurs fois au cours du temps. Par exemple, le prix d’un litre d’essence change régulièrement pendant l’année. On peut alors calculer la valeur du litre d’essence après les différentes variations grâce à la propriété suivante.

Propriété
Appliquer plusieurs coefficients multiplicateurs successifs

, ...,

à une valeur initiale revient à lui appliquer le coefficient multiplicateur

D’où :

Exemple
Au 8 février 2019, un litre de Sans plomb 95 valait 1,43 €.
Au 1^er mars 2019, le prix du litre a été multiplié par 1,03.
Au 5 avril 2019, le prix du litre a été multiplié par 1,05.
Au 3 mai 2019, le prix du litre a été multiplié par 1,02.
Quelle est la valeur du litre de Sans plomb 95 au 3 mai 2019 ?
On cherche la valeur finale.

On calcule d’abord
On applique la formule :

Au 3 mai 2019, le prix du litre de Sans plomb 95 est de 1,58 €.

b. Calcul d’un taux d’évolution global à partir des taux d’évolution successifs

Le coefficient multiplicateur global et le taux d’évolution global sont reliés par une formule :

est exprimé en pourcentage. Il est positif s’il représente une augmentation, négatif s’il représente une diminution.

En pratique : on parle beaucoup des taux d’évolution dans le langage courant, mais ce sont les coefficients multiplicateurs qu’il faut utiliser dans les calculs.

Méthode

Pour calculer un taux d’évolution global à partir des taux d’évolution successifs :

calculer d’abord chacun des coefficients multiplicateurs successifs, à l’aide de la formule ;
en déduire global à l’aide de la formule ;
en déduire à l’aide de la formule .

Exemple
Au 1^er janvier 2017, le Smic horaire brut valait 9,76 €.
Au 1^er janvier 2018, il a été augmenté de 1,23 %.
Au 1^er janvier 2019, il a été de nouveau augmenté de 1,5 %.
Quel est le taux d’évolution global entre 2017 et 2019 ?
Quelle est la valeur du Smic après le 1^er janvier 2019 ?

Les pourcentages indiquées (1,23 % et 1,5 %) représentent des taux d’évolution. Attention, le taux d’évolution global n’est pas égal à 1,23 % × 1,5 % !
Pour calculer le taux d’évolution global, il faut d’abord calculer les coefficients multiplicateurs en utilisant la formule : .
.
.
On en déduit
Puis on trouve
Entre janvier 2017 et janvier 2019, le taux d’évolution global est de 2,75 %.
Pour calculer la valeur du Smic après les deux augmentations, on applique la formule :

En 2019, le Smic horaire brut vaut 10,05 €.

2. Évolution réciproque et taux d’évolution réciproque

a. Calcul d’une valeur initiale à partir du coefficient multiplicateur réciproque

Une valeur initiale peut évoluer en une valeur finale , puis revenir à sa valeur de départ .

Propriété
Il existe un coefficient multiplicateur réciproque

qui est l’inverse du coefficient multiplicateur

et qui permet de passer de

Exemple
Entre 1997 et 2017, le prix d’une baguette de pain a été multiplié par 1,43. Une baguette valait 0,87 € en 2017.
Combien valait-elle en 1997 ?
Prix de 2017 = Prix de 1997 × 1,43

€ (on a divisé le prix par le coefficient multiplicateur).

b. Calcul d’un taux d’évolution réciproque à partir du taux d’évolution

Le taux d’évolution réciproque

d’une valeur

vers une valeur

est tel que

est exprimé en pourcentage. Il est positif s’il représente une augmentation, négatif s’il représente une diminution.

Propriété
Soit

le taux d’évolution d’une valeur

vers une valeur

.
Soit

le taux d’évolution réciproque de

sont exprimés en pourcentage.
On a la relation :

Exemple
Le prix d’un appareil augmente de 20 % en 2 années. Quel doit être le pourcentage de baisse pour qu’il revienne à son prix de départ ?
Attention, ce pourcentage de baisse n’est pas égal à 20 % !
On cherche le taux d’évolution réciproque