Étudier le signe d'une expression algébrique
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- Déterminer le signe d’une expression algébrique du premier degré.
- Déterminer le signe d’une expression algébrique factorisée du second degré.
- Étudier le signe d'une expression
algébrique d'inconnue
revient à chercher pour quelles valeurs
de 
cette expression est positive ou nulle, et pour
quelles valeurs de 
elle est négative ou nulle. Cela revient
à résoudre deux inéquations
d'inconnue 
.
- Le signe d’une expression de la
forme
dépend du signe de 
.
- Étudier le signe d'une expression de la
forme
revient à étudier
séparément le signe des
facteurs 
et 
puis à appliquer la règle des
signes.
- Cela revient à
résoudre les inéquations
et 
.
Pour cela, on utilise un tableau de signes. - Pour étudier le signe d'une expression
factorisée à l'aide d'un tableau de signes :
- Construire un tableau de signes avec une ligne pour
les valeurs de
rangées dans
l’ordre croissant, une ligne pour chaque
facteur et une ligne pour le produit des deux
facteurs.
- Placer les 0 dans le tableau.
- Placer les signes de chaque facteur, de part et d’autre du 0.
- Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes pour chaque colonne.
- Construire un tableau de signes avec une ligne pour
les valeurs de
- Résolution d'une inéquation du premier degré à une inconnue
- Intervalles
revient à chercher pour quelles valeurs
de cette expression est positive ou nulle, et pour
quelles valeurs de elle est négative ou nulle. Cela revient
à résoudre deux inéquations
d'inconnue .
Étudier le signe de l'expression
.Cela revient à chercher l'ensemble des valeurs de
pour lesquelles l'expression est positive ou
nulle, et l'ensemble des valeurs de 
pour lesquelles l'expression est négative
ou nulle. On cherche donc à résoudre les
inéquations 
et 
.On obtient :
pour 
.
pour 
.
Il est possible de présenter le résultat de l'étude de signe sous la forme d'un tableau de signes. Pour l'exemple précédent, on obtient alors :
Une expression algébrique du premier degré s'écrit sous la forme
, avec 
et 
et 
.
Étudier le signe de 
revient à résoudre les deux
inéquations 
et 
.
Résolvons la première inéquation.
On a :
si m > 0 (l'inégalité
garde le même sens).
si m < 0 (l'inégalité
change de sens).
Résolvons la deuxième inéquation.
On a :
si m > 0 (l'inégalité
garde le même sens).
si m < 0 (l'inégalité
change de sens).
dépend du signe de .Si
, alors le tableau de signes de l'expression est le
suivant :
, alors le tableau de signes de l'expression est le
suivant :
Étudier le signe de l'expression
.Pour cela, on cherche à résoudre les inéquations
et 
.On obtient pour la première inéquation :
On en déduit, pour la deuxième inéquation :
On obtient donc le tableau de signes de
l'expression 
:
Étudier le signe de l'expression
.Pour cela, on cherche à résoudre les inéquations
et 
.On obtient pour la première inéquation :
On en déduit, pour la deuxième inéquation :
On obtient donc le tableau de signes de
l'expression 
:
Dans chacun des exemples, on aurait pu déduire directement le tableau de signes de l'expression à partir du signe du coefficient m.
Une expression algébrique factorisée du second degré s'écrit sous la forme
, avec 
, 
, 
et 
, 
et 
.
et puis à appliquer la règle des
signes.Cela revient à résoudre les inéquations
et .Pour cela, on utilise un tableau de signes.
- Le produit de deux nombres négatifs est positif.
- Le produit de deux nombres positifs est positif.
- Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est négatif.
(négatif par positif
donne négatif).
(positif par positif donne
positif).
(négatif par
négatif donne positif).
Pour étudier le signe d'une expression factorisée à l’aide d’un tableau de signes :
- Déterminer la valeur de qui annule chacun des facteurs.
- Construire un tableau de signes avec une ligne pour
les valeurs de rangées dans
l’ordre croissant, une ligne pour chaque
facteur et une ligne pour le produit des deux
facteurs.
- Placer les 0 dans le tableau.
- Placer les signes de chaque facteur, de part et d’autre du 0.
- Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes pour chaque colonne.
Étudier le signe de l'expression
.Cela revient à résoudre les inéquations
et 
.On applique la méthode précédente.
- On détermine la valeur de qui annule chacun des
facteurs.
- On construit un tableau de signes avec une ligne
pour les valeurs de rangées dans
l’ordre croissant, une ligne pour chaque
facteur et une ligne pour le produit des deux
facteurs.
- On place les 0 dans le tableau, en utilisant
l’étape 1.
s’annule pour
et pour 
.
- On place les signes en repérant le signe
du coefficient de dans chacun des
facteurs. Ici, chaque coefficient est positif donc,
d’après le signe d’une
expression algébrique du premier
degré, l’expression est
négative avant le 0 et positive après
le 0.
- On applique la règle des signes par
colonne. La dernière ligne du tableau indique
le signe de l'expression
algébrique
.
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