Les suites arithmétiques- Première techno - Mathématiques - Maxicours

Les suites arithmétiques

Objectifs
  • Découvrir une suite particulière définie par récurrence.
  • Savoir la reconnaitre, exprimer son terme général en fonction de  et l’utiliser pour calculer un terme donné.
Points clés
  • Une suite arithmétique est une suite récurrente définie par  où r est un réel appelé raison de la suite.
  • Pour tout , ou avec  un entier.
Pour bien comprendre
  • Notion de suite et de terme général d'une suite
  • Notion de suite définie par récurrence
  • Fonctions affines
1. Définition et propriété
Une suite  est dite arithmétique s'il existe un réel  tel que  pour tout . Le réel  est appelé raison de la suite.

Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre .

Exemples
La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme .
La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme .
Montrer qu’une suite est arithmétique
Une suite numérique est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante.
Exemple
On souhaite prouver que la suite  définie par  pour  est une suite arithmétique.
Déroulons rapidement les premiers termes de la suite : 3 ; 2,5 ; 2 ; 1,5 ; …
Il semblerait que l’on ajoute toujours le même nombre (–0,5) pour passer d’un terme à son suivant.
Il semblerait que la différence entre 2 termes consécutifs soit constante, égale à –0,5.

Apportons la preuve par le calcul :




Comme la différence est constante, (indépendante de ), on peut conclure que la suite  est arithmétique de raison –0,5 et de premier terme .
2. Formule explicite

Soit une suite arithmétique de raison et de premier terme .
Alors pour tout , on a les relations suivantes.


et
avec :
  • le premier terme de la suite
  • un terme de rang
  • un terme de rang
  • un nombre entier naturel
  • un nombre entier naturel
  • un nombre réel

 

Pour obtenir  :

  • en partant de  : on ajoute  fois la raison ;
  • en partant de (lorsque ) on ajoute  fois la raison.

Ainsi :  ;  ;
Ces formules permettent de passer de la définition par récurrence à la formule explicite.

Exemple
Soit une suite arithmétique de raison 6 et de premier terme .
Alors on peut dire que pour tout .
Ainsi, par exemple, .
3. Lien avec les fonctions affines

Une suite arithmétique étant de terme général , on peut l'écrire où  est la fonction affine de coefficient directeur  et d'ordonnée à l'origine .

Par conséquent, la représentation graphique d'une suite arithmétique est une série de points alignés.

Une suite arithmétique est donc l'expression discrète d'une fonction affine.

Exemple avec

Les points successifs de gauche à droite correspondent à , … ,  : on observe qu'ils sont alignés sur la droite représentant la fonction affine .

4. Modéliser une situation avec une suite arithmétique
Situation

Un retraité ayant placé 24 000 € sur un compte d'épargne se fait verser chaque mois 250 € depuis ce compte, sans le recréditer. On note  le montant restant sur son compte d'épargne au bout de  mois.

  • est le terme général d'une suite arithmétique de premier terme et de raison −250 puisque .
  • On peut donc écrire le terme général : .
  • Ainsi, on peut répondre à une question du type « au bout de combien de temps son compte d'épargne aura-t-il diminué de moitié ? » en résolvant l'équation et en trouvant .

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