Les suites numériques : définition, génération, notation- Première techno - Mathématiques - Maxicours

Les suites numériques : définition, génération, notation

Objectifs
  • Comprendre la notion de suite, les différentes notations.
  • Connaitre différentes manières de définir une suite.
  • Calculer un terme de rang donné d'une suite.
  • Modéliser une situation par une suite, établir une relation de récurrence.
  • Représenter graphiquement une suite.
Points clés
  • Une suite se définit de manière explicite () ou par récurrence ().
  • Pour une suite définie par une fonction, de terme général du type , on peut calculer directement un terme de rang donné grâce à l'expression algébrique de la fonction .
  • Pour une suite définie par récurrence, de terme général du type , il faut calculer chaque terme un par un, en fonction du précédent, avant de pouvoir calculer un terme de rang donné.
  • Une suite ne se représente pas par une courbe au tracé continu, mais par un nuage de points non reliés.
Pour bien comprendre
  • Calcul algébrique
  • Notion de fonction
  • Repérage dans le plan
1. Définition et notation
Une suite numérique est la donnée d’une suite de nombres qui peuvent être logiquement déterminés ou non.
  • On note ou la suite de nombres.
    Par abus de langage on s’autorise aussi à la noter , ce qui n’est pas une notation générale.
  • Ses termes sont notés , , , etc. ou , , , etc.
  • Le terme général se note ou .
Exemples
  • = {0 ; 1 ; 3 ; 8 ; 2 ; 11 ; 3 ; 7} est une suite (finie) de huit nombres sans raison apparente. On n’est pas capable de décider de la valeur du terme qui viendrait après le dernier donné.
  •  : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; … on peut penser que le terme suivant sera « logiquement » 6.
  •  : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19… est le début de la suite des nombres premiers (qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes). Le suivant sera 23.
2. Modes de génération d'une suite numérique
a. Générer une suite en fonction de la variable n

On donne une relation, une formule, permettant de calculer chacun des termes.

Exemples
  • Pour tout entier naturel , .
    Le premier terme sera , le second , le 3e, le 15e.
  • Pour tout entier naturel  non nul, .
    Le premier terme sera , le second , le 10e terme sera .
b. Générer une suite par récurrence

Pour générer une suite par récurrence, on donne le premier terme ainsi qu’une relation permettant de passer d’un terme au suivant.

Exemples
  • Pour tout entier naturel , on pose et .
    Le premier terme est donné, c'est . Le 2e terme sera , le 3e.
    Il n’est pas possible de calculer le 15e terme sans avoir calculé tous les termes précédents, si l'on dispose seulement de cette relation de récurrence.
  • Pour tout entier naturel , on pose et .
    Le premier terme est donné, c’est . Le 2e sera , le 3e.
    La suite est constante. Dans ce cas, il est facile de calculer n’importe quel terme.
3. Représentation graphique d'une suite

Dans le plan muni d’un repère, on place les points de coordonnées  ( ; ).

Exemple
Soit définie par .
On peut calculer la valeur de quelques termes, puis en faire une représentation graphique (points non reliés).
On trouvera (valeurs arrondies au dixième)  ;  ;  ;  ;  ;  ;  … que l’on place dans le plan muni d’un repère.

Attention
Une calculatrice en mode fonction ou un tableur mal initialisé donnent une représentation graphique erronée. Les points ne doivent pas être reliés (bien choisir le mode d’affichage pour le tableur et placer la calculatrice en mode « suite » et points non reliés).

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