Simplification de fractions et fractions irréductibles- Seconde- Mathématiques - Maxicours

Simplification de fractions et fractions irréductibles

Objectifs
  • Simplifier des fractions.
  • Donner la forme irréductible d’une fraction.
  • Reconnaitre une fraction irréductible.
Points clés
  • On ne change pas la valeur d’un quotient si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
    Soient a, b et k des nombres relatifs (). 
    On a : 
  • Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
    En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre. 
  • Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire que son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
  • Pour rendre une fraction irréductible, il faut utiliser les critères de divisibilité ou la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.
Pour bien comprendre
  • Nombres entiers naturels et relatifs
  • Multiple, diviseur
  • Décomposition en facteurs premiers
1. Égalités de fractions

On ne change pas la valeur d’un quotient si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Soient a, b et k des nombres relatifs (). 
On a : 
Exemple
2. Simplification de fractions
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Exemple 
Simplifier .
15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5. On a donc : .
On dit que l'on a simplifié par 5.
Remarque
On peut présenter la simplification d’une fraction en barrant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.
3. Fractions irréductibles
Exemple 
On a déjà simplifié en , mais on remarque que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 3.
En simplifiant par 3, on peut donc écrire : .
Comme on ne peut plus simplifier , cette fraction est irréductible.
Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire que son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Méthode

Pour rendre une fraction irréductible, il faut utiliser les critères de divisibilité ou la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

Exemple 
On veut écrire la fraction sous sa forme irréductible. Pour cela, on utilise la décomposition en facteurs premiers :
et
donc en simplifiant la fraction par .
6 et 5 n’ont aucun diviseur commun autre que 1,
donc qui est une fraction irréductible.

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