Simplification de fractions et fractions irréductibles
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Objectifs
- Simplifier des fractions.
- Donner la forme irréductible d’une fraction.
- Reconnaitre une fraction irréductible.
Points clés
- On ne change pas la valeur d’un quotient si on
multiplie ou divise le numérateur et le
dénominateur par un même nombre.
Soient a, b et k des nombres relatifs ().
On a : . - Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec un
numérateur et un dénominateur plus
petits.
En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre. - Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire que son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
- Pour rendre une fraction irréductible, il faut utiliser les critères de divisibilité ou la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.
Pour bien comprendre
- Nombres entiers naturels et relatifs
- Multiple, diviseur
- Décomposition en facteurs premiers
1. Égalités de fractions
On ne change pas la valeur d’un quotient si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Soient a, b et k des nombres
relatifs ().
On a : .
On a : .
Exemple
2. Simplification de fractions
Simplifier une fraction, c'est
l'écrire avec un numérateur et un
dénominateur plus petits.
En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Exemple
Simplifier .
15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5. On a donc : .
On dit que l'on a simplifié par 5.
Simplifier .
15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5. On a donc : .
On dit que l'on a simplifié par 5.
Remarque
On peut présenter la simplification d’une fraction en barrant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.
On peut présenter la simplification d’une fraction en barrant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.
3. Fractions irréductibles
Exemple
On a déjà simplifié en , mais on remarque que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 3.
En simplifiant par 3, on peut donc écrire : .
Comme on ne peut plus simplifier , cette fraction est irréductible.
On a déjà simplifié en , mais on remarque que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 3.
En simplifiant par 3, on peut donc écrire : .
Comme on ne peut plus simplifier , cette fraction est irréductible.
Une fraction est irréductible lorsque
l’on ne peut plus la simplifier,
c'est-à-dire que son numérateur et son
dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que
1.
Méthode
Pour rendre une fraction irréductible, il faut utiliser les critères de divisibilité ou la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.
Exemple
On veut écrire la fraction sous sa forme irréductible. Pour cela, on utilise la décomposition en facteurs premiers :
et
donc en simplifiant la fraction par .
6 et 5 n’ont aucun diviseur commun autre que 1,
donc qui est une fraction irréductible.
On veut écrire la fraction sous sa forme irréductible. Pour cela, on utilise la décomposition en facteurs premiers :
et
donc en simplifiant la fraction par .
6 et 5 n’ont aucun diviseur commun autre que 1,
donc qui est une fraction irréductible.
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