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Multiples et diviseurs

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Objectifs
  • Connaitre les définitions d’un multiple et d’un diviseur.
  • Connaitre quelques critères de divisibilité.
  • Connaitre plusieurs propriétés des multiples.
  • Résoudre des problèmes mobilisant ces notions.
  • Pour des entiers a et b donnés, déterminer à l’aide d’un algorithme le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b.
Points clés
  • La somme de deux multiples de b est un multiple de b.
  • La différence de deux multiples de b est un multiple de b.
  • Le produit d’un multiple de b par un autre entier est un multiple de b.
Pour bien comprendre
  • Nombres entiers naturels et relatifs
  • Tables de multiplication
  • Algorithmique
1. Divisibilité
Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Dans ce cas, a est un multiple de b et b est un diviseur de a.
Exemple 1
238 est divisible par 14 car 238 ÷ 14 = 17.
En effet, la division euclidienne de 238 par 14 donne un reste nul.

Dans ce cas, on dit que 238 est un multiple de 14 et de 17 car 238 = 14 × 17.
De même, on dit que 14 est un diviseur de 238.
Remarque
 17 est aussi un diviseur de 238 car 238 ÷ 17 = 14.
Exemple 2
72 est divisible par 24 car 72 ÷ 24 = 3.
72 est un multiple de 24 et de 3.
24 est un diviseur de 72.
Contre-exemple
316 ÷ 25 = 12,64.
316 n’est pas divisible par 25.
25 n’est donc pas un diviseur de 316.
2. Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par 2 s’il est pair.
Exemples
2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; … ; 178 ; … ; 342 ; …
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemples
249 est divisible par 3 car 2 + 4 + 9 = 15 qui est divisible par 3 (15 ÷ 3 = 5).
376 n’est pas divisible par 3 car 3 + 7 + 6 = 16 qui n’est pas divisible par 3.
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Exemples
272 est divisible par 4 car le nombre 72  est divisible par 4 (72 ÷ 4 = 18).
346 n’est pas divisible par 4 car le nombre 46 n'est pas divisible par 4.
Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
Exemples
2 560 et 545 sont divisibles par 5 car ils se terminent par 0 ou 5.
Par contre, 4 584 n’est pas divisible par 5.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples
2 538 est divisible par 9 car 2 + 5 + 3 + 8 = 18 qui est divisible par 9 (18 ÷ 9 = 2).
Par contre, 4 362 n’est pas divisible par 9 car 4 + 3 + 6 + 2 = 15 qui n’est pas divisible par 9.
3. Propriétés des multiples
Propriétés

On considère un entier b.

  • La somme de deux multiples de b est un multiple de b.
  • La différence de deux multiples de b est un multiple de b.
  • Le produit d’un multiple de b par un autre entier est un multiple de b.
Exemples pour la somme et la différence
45 et 81 sont des multiples de 9, donc 126 = 81 + 45 est un multiple de 9.
15 et 21 sont divisibles par 3, donc 6 = 21 – 15 est divisible par 3.
Exemples pour le produit
2020 = 20 × 101. Or, 20 est un multiple de 4 donc 2020 est aussi un multiple de 4. On peut d’ailleurs vérifier que 2020 = 4 × 505.
Pour tout entier n, le nombre 3n – 27 est un multiple de 3. En effet, 3n est un multiple de 3 et 27 = 3 × 9 est un multiple de 3.
Donc 3n – 27 est la différence de deux multiples de 3, c’est aussi un multiple de 3.
Contre-exemple pour la division
45 = 3 × 15 et 9 = 3 × 3 donc 45 et 9 sont des multiples de 3. Toutefois,
45 ÷ 9 = 5 n’est pas un multiple de 3.
12 et 8 sont des multiples de 2 mais 12 ÷ 8 = 1,5 n’est pas un entier donc ne peut pas être un multiple d’un entier.
4. Programmation

Soient deux entiers a et b. À l’aide d’un programme, on peut obtenir le plus grand entier multiple d’un entier a qui soit inférieur ou égal à un entier b.

Par exemple, si a = 5 et b = 39, le plus grand entier multiple de a et inférieur ou égal à b vaut 35.

Langage naturel Langage Python

Saisir a
Rendre la variable a entière
Saisir b
Rendre la variable b entière
k ← 0
Tant que k*a<=b
  k ← k+1
Fin Tant que
s ← partie entière de (k-1)*a
Afficher s

1 a=input( 'a?')
 2 a=int(a)
 3 b=input( 'b?')
 4 b=int(b)
 5 k=0
 6 while k*a<=b:
 7    k=k+1
 8 s=int((k–1)*a)
 9 print(s)

Quelques précisions sur les instructions

  • L1 et L3 : l’instruction d’entrée input demande à l’utilisateur de saisir les valeurs de a et de b.
  • L2 et L4 : int convertit le type des variables a et b en entier afin d’effectuer des calculs entre entiers à la ligne L5.
  • L5 à L7 : while est une boucle conditionnelle. Tant que le produit a × k est inférieur ou égal à b, on ajoute 1 à k.
  • L8 : int prend la valeur entière du produit (k–1)*a. En effet, l’entier k à l’issue de la boucle est tel que k*a dépasse b. Pour obtenir le multiple de a juste inférieur à b, on doit donc prendre (k–1) × a.
  • L9 : l’instruction de sortie print permet d’afficher la valeur de s obtenue.

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