Lycée   >   Seconde   >   Mathématiques   >   Multiples et diviseurs- Seconde- Mathématiques

Multiples et diviseurs

  • Fiche de cours
  • Quiz
  • Profs en ligne
Objectifs
  • Connaitre les définitions d’un multiple et d’un diviseur.
  • Connaitre quelques critères de divisibilité.
  • Connaitre plusieurs propriétés des multiples.
  • Résoudre des problèmes mobilisant ces notions.
  • Pour des entiers a et b donnés, déterminer à l’aide d’un algorithme le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b.
Points clés
  • La somme de deux multiples de b est un multiple de b.
  • La différence de deux multiples de b est un multiple de b.
  • Le produit d’un multiple de b par un autre entier est un multiple de b.
Pour bien comprendre
  • Nombres entiers naturels et relatifs
  • Tables de multiplication
  • Algorithmique
1. Divisibilité
Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Dans ce cas, a est un multiple de b et b est un diviseur de a.
Exemple 1
238 est divisible par 14 car 238 ÷ 14 = 17.
En effet, la division euclidienne de 238 par 14 donne un reste nul.

Dans ce cas, on dit que 238 est un multiple de 14 et de 17 car 238 = 14 × 17.
De même, on dit que 14 est un diviseur de 238.
Remarque
17 est aussi un diviseur de 238 car 238 ÷ 17 = 14.
Exemple 2
72 est divisible par 24 car 72 ÷ 24 = 3.
72 est un multiple de 24 et de 3.
24 est un diviseur de 72.
Contre-exemple
316 ÷ 25 = 12,64.
316 n’est pas divisible par 25.
25 n’est donc pas un diviseur de 316.
2. Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par 2 s’il est pair.
Exemples
2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; … ; 178 ; … ; 342 ; …
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemples
249 est divisible par 3 car = 15 qui est divisible par 3 (15 ÷ 3 = 5).
376 n’est pas divisible par 3 car 3 + 7 + 6 = 16 qui n’est pas divisible par 3.
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Exemples
272 est divisible par 4 car le nombre 72  est divisible par 4 (72 ÷ 4 = 18).
346 n’est pas divisible par 4 car le nombre 46 n'est pas divisible par 4.
Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
Exemples
2 560 et 545 sont divisibles par 5 car ils se terminent par 0 ou 5.
Par contre, 4 584 n’est pas divisible par 5.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples
2 538 est divisible par 9 car + 3 + = 18 qui est divisible par 9 (18 ÷ 9 = 2).
Par contre, 4 362 n’est pas divisible par 9 car 4 + 3 + 6 + 2 = 15 qui n’est pas divisible par 9.
3. Propriétés des multiples
Propriétés

On considère un entier b.

  • La somme de deux multiples de b est un multiple de b.
  • La différence de deux multiples de b est un multiple de b.
  • Le produit d’un multiple de b par un autre entier est un multiple de b.
Exemples pour la somme et la différence
45 et 81 sont des multiples de 9, donc 126 = 81 + 45 est un multiple de 9.
15 et 21 sont divisibles par 3, donc 6 = 21 15 est divisible par 3.
Exemples pour le produit
2020 = 20 × 101. Or, 20 est un multiple de 4 donc 2020 est aussi un multiple de 4. On peut d’ailleurs vérifier que 2020 = 4 × 505.
Pour tout entier n, le nombre 3n 27 est un multiple de 3. En effet, 3n est un multiple de 3 et 27 = 3 × 9 est un multiple de 3.
Donc 3n 27 est la différence de deux multiples de 3, c’est aussi un multiple de 3.
Contre-exemple pour la division
45 = 3 × 15 et 9 = 3 × 3 donc 45 et 9 sont des multiples de 3. Toutefois,
45 ÷ 9 = 5 n’est pas un multiple de 3.
12 et 8 sont des multiples de 2 mais 12 ÷ 8 = 1,5 n’est pas un entier donc ne peut pas être un multiple d’un entier.
4. Programmation

Soient deux entiers a et b. À l’aide d’un programme, on peut obtenir le plus grand entier multiple d’un entier a qui soit inférieur ou égal à un entier b.

Par exemple, si a = 5 et b = 39, le plus grand entier multiple de a et inférieur ou égal à b vaut 35.

Langage naturel Langage Python

Saisir a
Rendre la variable a entière
Saisir b
Rendre la variable b entière
k ← 0
Tant que k*a<=b
  kk+1
Fin Tant que
s ← partie entière de (k-1)*a
Afficher s

1 a=input( 'a?')
2 a=int(a)
3 b=input( 'b?')
4 b=int(b)
5 k=0
6 while k*a<=b:
   k=k+1
8 s=int((k1)*a)
9 print(s)

Quelques précisions sur les instructions

  • L1 et L3 : l’instruction d’entrée input demande à l’utilisateur de saisir les valeurs de a et de b.
  • L2 et L4 : int convertit le type des variables a et b en entier afin d’effectuer des calculs entre entiers à la ligne L5.
  • L5 à L7 : while est une boucle conditionnelle. Tant que le produit a × k est inférieur ou égal à b, on ajoute 1 à k.
  • L8 : int prend la valeur entière du produit (k1)*a. En effet, l’entier k à l’issue de la boucle est tel que k*a dépasse b. Pour obtenir le multiple de a juste inférieur à b, on doit donc prendre (k1) × a.
  • L9 : l’instruction de sortie print permet d’afficher la valeur de s obtenue.

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !

Reçois l’intégralité des bonnes réponses ainsi que les rappels de cours associés

Une erreur s'est produite, veuillez ré-essayer

Consultez votre boite email, vous y trouverez vos résultats de quiz!

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Le service propose une plateforme de contenus interactifs, ludiques et variés pour les élèves du CP à la Terminale. Nous proposons des univers adaptés aux tranches d'âge afin de favoriser la concentration, encourager et motiver quel que soit le niveau. Nous souhaitons que chacun se sente bien pour apprendre et progresser en toute sérénité ! 

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques

Les calculs avec les puissances- Seconde- Mathématiques

Mathématiques

Développer une expression- Seconde- Mathématiques

Mathématiques

Factoriser une expression- Seconde- Mathématiques

Mathématiques

Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue

Mathématiques

Définitions et notations ensemblistes- Seconde- Mathématiques

Mathématiques

Le vocabulaire de la logique- Seconde- Mathématiques

Mathématiques

Les différents raisonnements mathématiques- Seconde- Mathématiques

Mathématiques

Réunion, intersection d'évènements et évènement contraire

Mathématiques

Le vocabulaire des probabilités

Mathématiques

Les vecteurs