Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre les règles de calcul dans une inégalité.
- Résoudre une inéquation du premier degré.
- Connaitre la notation sous forme d'intervalle de l'ensemble de solutions d'une inéquation.
- On ne change pas le sens d’une
inégalité si on additionne (ou soustrait) chacun
de ses membres par un même nombre.
On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre positif.
On change le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre négatif. - Une inéquation du premier degré à une
inconnue
x est une
inéquation pouvant se ramener, après
transformation, à la forme ax + b > 0
(avec un des signes suivants : < ; > ;
; 
),
a et b étant des nombres
réels (a 
0)
et x étant
l'inconnue.
- Résoudre une inéquation revient à chercher toutes les valeurs de l'inconnue pour que l’inégalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.
- On appelle ensemble de solutions toutes les valeurs de l’inconnue x qui sont solutions de l'inéquation du premier degré. Habituellement, cet ensemble de solutions est noté S et s'écrit sous la forme d'un intervalle.
- Pour résoudre une inéquation du premier
degré à une inconnue
,
il faut isoler 
en appliquant les règles de calcul sur les
inégalités. On procède par équivalences
(symbole
). .
Intervalles
Une inégalité est composée de 2 membres séparés par un des symboles < ; > ; ≤ ou ≥.
Notations
< se lit « strictement
inférieur » et >
« strictement supérieur ».
≤ se lit « inférieur ou
égal » et ≥
« supérieur ou
égal ».
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels :
si a < b alors a + c < b + c et a – c < b – c.
Si 4 ≤ x alors 4 + 5 ≤ x + 5 d’où 9 ≤ x + 5.
Si z > 14 alors z – 8 > 14 – 8 d’où z – 8 > 6.
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c > 0 :
si a < b alors a × c < b × c et
.
Si 4 <
alors 3 × 4
< 3
d’où 12 <
3
.Si z ≥ 28 alors
≥
d’où 
≥
4.
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c < 0 :
si a < b alors a × c > b × c et
.
Si 4 <
alors -3 × 4
> -3
d’où -12 < -3
.Si z ≥ 28 alors
≤
d’où 
≤
-4. Remarque
Toutes les règles vues précédemment seraient identiques avec > ; ≤ ou ≥.
x est
une inéquation pouvant se ramener, après
transformation, à la forme ax + b > 0
(avec un des signes suivants : < ;
> ; ; ), a et b étant des
nombres réels (a 0) et x
étant l'inconnue..
3x + 7 > 0 est une inéquation du premier degré à une inconnue x.
2x² + 7x – 5
0 est une inéquation du second degré
(car il y a un terme en x²).
- Si rien n’est précisé, on cherche
toutes les valeurs possibles du réel inconnu. On
dit alors « résoudre
l’inéquation dans
».
- Sinon, on ne cherche que les solutions appartenant à un ensemble, souvent un intervalle I, et on précise « résoudre l’inéquation dans I ».
Résoudre dans
l’inéquation x +
2 ≤ 4. Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intervalle
.
Résoudre dans
l’inéquation x + 2 ≤
4. Ici, la résolution se fait dans un intervalle I =
. Les solutions de cette inéquation sont les
réels de l’intersection entre
l’ensemble des solutions trouvé à
l’exemple 1 et l’intervalle I : ce sont les
réels de 
. Les solutions sont les réels de l’intervalle
.
Résoudre dans
l’inéquation x + 2 ≤
4.Ici, la résolution se fait dans
, qui n’est pas un intervalle. Les solutions
de cette inéquation sont les réels de
l’intersection entre l’ensemble des
solutions trouvé à l'exemple 1 et : ce sont les nombres appartenant à
.Les solutions de cette inéquation sont les nombres entiers naturels 0 ; 1 ; 2 et seulement ceux-là.
| Solutions de l'inéquation | Notation sous forme d'intervalle |
|
|
|
|
|
|
|
|
Quand une inéquation ne possède aucune solution, l’ensemble de solutions est vide et on écrit
(
est le symbole de l’ensemble vide).
Dans
, l’inéquation x – 2
≤ 4 a pour ensemble de solutions x ≤
6, noté 
. Dans
, l’inéquation
3x – 5 > 12 n’a
pas de solution. On note .
, il faut isoler en appliquant les règles de calcul sur
les inégalités. On procède par
équivalences (symbole).
Exemple 1
Résoudre dans 
l'inéquation
2x – 19 
0.
|
2x – 19 + 19 0 + 19
|
On ajoute 19 dans les deux membres (l’inégalité ne change pas de sens). |
 2x 19
|
On simplifie. |
 
|
On divise par 2 en ne changeant pas le sens
de l’inégalité (car 2 est un nombre positif). |
 x  9,5 
|
On conclut. |
Exemple 2
Résoudre
dans 
l'inéquation
x + 3 > 5x – 4.
| x + 3 > 5x – 4 | On choisit le membre de gauche pour y placer les x. |
 x + 3 – 5x > 5x – 5x – 4
|
On retranche – 5x dans les deux
membres. Cela ne change pas le sens de l’inégalité. |
 –4x + 3 > –4
|
On simplifie. |
 –4x + 3 – 3 > –4 – 3
|
On retranche 3 dans les deux membres. Cela ne change pas le sens de l’inégalité. |
 –4x –7
|
On simplifie. |
|
On divise par –4 en changeant le sens de l’inégalité (car –4 est un nombre négatif). |
x < 1,75
|
On conclut. |
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques
Étudier le signe d'une expression algébrique
Mathématiques
Les suites numériques : définition, génération, notation- Première techno - Mathématiques
Mathématiques
Les suites arithmétiques- Première techno - Mathématiques
Mathématiques
Les suites géométriques- Première techno- Mathématiques
Mathématiques
Le sens de variation d'une suite
Mathématiques
Définitions et notations ensemblistes- Seconde- Mathématiques
Mathématiques
Le vocabulaire de la logique- Seconde- Mathématiques
Mathématiques
Les différents raisonnements mathématiques- Seconde- Mathématiques
Mathématiques
Définitions et notations ensemblistes- Première techno- Mathématiques
Mathématiques
Les différents raisonnements mathématiques- Première techno - Mathématiques
Fermer
Accédez gratuitement à
