Résolution d'une inéquation du premier degré à une inconnue
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre les règles de calcul dans une inégalité.
- Résoudre une inéquation du premier degré.
- Connaitre la notation sous forme d'intervalle de l'ensemble de solutions d'une inéquation.
- On ne change pas le sens d’une
inégalité si on additionne (ou soustrait) chacun
de ses membres par un même nombre.
On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre positif.
On change le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre négatif. - Une inéquation du premier degré est une
inéquation pouvant se ramener, après
transformation, à la forme
ax + b > 0 (avec
un des signes suivants : < ; > ;
; 
), a et
b étant des nombres réels
(a 
0).
- Résoudre une inéquation revient à chercher toutes les valeurs de l'inconnue pour que l’inégalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.
- On appelle ensemble de solutions toutes les valeurs de l’inconnue x qui sont solutions de l'inéquation du premier degré. Habituellement, cet ensemble de solutions est noté S et s'écrit sous la forme d'un intervalle.
- Pour résoudre une inéquation du premier
degré à une inconnue
, il faut isoler 
en appliquant les règles de
calcul sur les inégalités. On procède par
équivalences (symbole
). .
Intervalles
Une inégalité est composée de 2 membres séparés par un des symboles < ; > ; ≤ ou ≥.
Notations
< se lit « strictement
inférieur » et >
« strictement supérieur ».
≤ se lit « inférieur ou
égal » et ≥
« supérieur ou
égal ».
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels :
si a < b alors a + c < b + c et a – c < b – c.
Si 4 ≤ x alors 4 + 5 ≤ x + 5 d’où 9 ≤ x + 5.
Si z > 14 alors z – 8 > 14 – 8 d’où z – 8 > 6.
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c > 0 :
si a < b alors a × c < b × c et
.
Si 4 <
alors
3 × 4 < 3
d’où 12
< 3
.Si z ≥ 28 alors
≥ 
d’où 
≥ 4.
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c < 0 :
si a < b alors a × c > b × c et
.
Si 4 <
alors -3 × 4 >
-3
d’où
-12 < -3
.Si z ≥ 28 alors
≤ 
d’où 
≤ -4. Remarque
Toutes les règles vues précédemment seraient identiques avec > ; ≤ ou ≥.
; ), a et b
étant des nombres réels (a
0).
3x + 7 > 0 est une inéquation du premier degré.
2x² + 7x – 5
0 est une
inéquation du second degré (car il y a un
terme en x²).
- Si rien n’est précisé, on cherche
toutes les valeurs possibles du réel inconnu. On
dit alors « résoudre
l’inéquation dans
».
- Sinon, on ne cherche que les solutions appartenant à un ensemble, souvent un intervalle I, et on précise « résoudre l’inéquation dans I ».
Résoudre dans
l’inéquation x
+ 2 ≤ 4. Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intervalle
.
Résoudre dans
l’inéquation x
+ 2 ≤ 4. Ici, la résolution se fait dans un intervalle I =
. Les solutions de cette
inéquation sont les réels de
l’intersection entre l’ensemble des
solutions trouvé à l’exemple 1 et
l’intervalle I : ce sont les réels
de 
. Les solutions sont les réels de l’intervalle
.
Résoudre dans
l’inéquation
x + 2 ≤ 4.Ici, la résolution se fait dans
, qui n’est pas un
intervalle. Les solutions de cette inéquation sont
les réels de l’intersection entre
l’ensemble des solutions trouvé à
l'exemple 1 et : ce sont les nombres
appartenant à 
.Les solutions de cette inéquation sont les nombres entiers naturels 0 ; 1 ; 2 et seulement ceux-là.
| Solutions de l'inéquation | Notation sous forme d'intervalle |
|
|
|
|
|
|
|
|
Quand une inéquation ne possède aucune solution, l’ensemble de solutions est vide et on écrit
(
est le symbole de
l’ensemble vide).
Dans
, l’inéquation
x – 2 ≤ 4 a pour ensemble de
solutions x ≤ 6,
noté 
. Dans
, l’inéquation
3x – 5 > 12 n’a
pas de solution. On note .
, il faut isoler en appliquant les
règles de calcul sur les inégalités. On
procède par équivalences (symbole).
Exemple 1
Résoudre dans 
l'inéquation
2x – 19 
0.
|
2x – 19 + 19 0 + 19
|
On ajoute 19 dans les deux membres (l’inégalité ne change pas de sens). |
 2x 19
|
On simplifie. |
 
|
On divise par 2 en ne changeant pas le sens
de l’inégalité (car 2 est un nombre positif). |
 x  9,5 
|
On conclut. |
Exemple 2
Résoudre
dans 
l'inéquation
x + 3 > 5x – 4.
| x + 3 > 5x – 4 | On choisit le membre de gauche pour y placer les x. |
 x + 3 – 5x > 5x – 5x – 4
|
On retranche – 5x dans les deux
membres. Cela ne change pas le sens de l’inégalité. |
 –4x + 3 > –4
|
On simplifie. |
 –4x + 3 – 3 > –4 – 3
|
On retranche 3 dans les deux membres. Cela ne change pas le sens de l’inégalité. |
 –4x –7
|
On simplifie. |
|
On divise par –4 en changeant le sens de l’inégalité (car –4 est un nombre négatif). |
x < 1,75
|
On conclut. |
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