Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue
- Connaitre les règles de calcul dans une inégalité.
- Résoudre une inéquation du premier degré.
- Connaitre la notation sous forme d'intervalle de l'ensemble de solutions d'une inéquation.
- On ne change pas le sens d’une
inégalité si on additionne (ou soustrait) chacun
de ses membres par un même nombre.
On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre positif.
On change le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre négatif. - Une inéquation du premier degré à une
inconnue
x est une inéquation pouvant se ramener, après transformation, à la forme ax + b > 0 (avec un des signes suivants : < ; > ;
;
), a et b étant des nombres réels (a
0) et x étant l'inconnue.
- Résoudre une inéquation revient à chercher toutes les valeurs de l'inconnue pour que l’inégalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.
- On appelle ensemble de solutions toutes les valeurs de l’inconnue x qui sont solutions de l'inéquation du premier degré. Habituellement, cet ensemble de solutions est noté S et s'écrit sous la forme d'un intervalle.
- Pour résoudre une inéquation du premier
degré à une inconnue
, il faut isoler
en appliquant les règles de calcul sur les inégalités. On procède par équivalences (symbole
). .
Intervalles
Une inégalité est composée de 2 membres séparés par un des symboles < ; > ; ≤ ou ≥.
Notations
< se lit « strictement
inférieur » et >
« strictement supérieur ».
≤ se lit « inférieur ou
égal » et ≥
« supérieur ou
égal ».

En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels :
si a < b alors a + c < b + c et a – c < b – c.
Si 4 ≤ x alors 4 + 5 ≤ x + 5 d’où 9 ≤ x + 5.
Si z > 14 alors z – 8 > 14 – 8 d’où z – 8 > 6.
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c > 0 :
si a < b alors a × c < b × c et

Si 4 <



Si z ≥ 28 alors



En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c < 0 :
si a < b alors a × c > b × c et

Si 4 <



Si z ≥ 28 alors



Remarque
Toutes les règles vues précédemment seraient identiques avec > ; ≤ ou ≥.




3x + 7 > 0 est une inéquation du premier degré à une inconnue x.
2x² + 7x – 5

- Si rien n’est précisé, on cherche
toutes les valeurs possibles du réel inconnu. On
dit alors « résoudre
l’inéquation dans
».
- Sinon, on ne cherche que les solutions appartenant à un ensemble, souvent un intervalle I, et on précise « résoudre l’inéquation dans I ».
Résoudre dans

Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intervalle

Résoudre dans

Ici, la résolution se fait dans un intervalle I =


Les solutions sont les réels de l’intervalle

Résoudre dans

Ici, la résolution se fait dans



Les solutions de cette inéquation sont les nombres entiers naturels 0 ; 1 ; 2 et seulement ceux-là.
Solutions de l'inéquation | Notation sous forme d'intervalle |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Quand une inéquation ne possède aucune solution, l’ensemble de solutions est vide et on écrit


Dans


Dans





Exemple 1
Résoudre dans l'inéquation
2x – 19
0.
2x – 19 + 19 ![]() |
On ajoute 19 dans les deux membres (l’inégalité ne change pas de sens). |
![]() ![]() |
On simplifie. |
![]() ![]() |
On divise par 2 en ne changeant pas le sens
de l’inégalité (car 2 est un nombre positif). |
![]() ![]() ![]() ![]() |
On conclut. |
Exemple 2
Résoudre
dans l'inéquation
x + 3 > 5x – 4.
x + 3 > 5x – 4 | On choisit le membre de gauche pour y placer les x. |
![]() |
On retranche – 5x dans les deux
membres. Cela ne change pas le sens de l’inégalité. |
![]() |
On simplifie. |
![]() |
On retranche 3 dans les deux membres. Cela ne change pas le sens de l’inégalité. |
![]() ![]() |
On simplifie. |
![]() ![]() |
On divise par –4 en changeant le sens de l’inégalité (car –4 est un nombre négatif). |
![]() ![]() ![]() |
On conclut. |

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