Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue
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Objectifs
- Connaitre les règles de calcul dans une inégalité.
- Résoudre une inéquation du premier degré.
- Connaitre la notation sous forme d'intervalle de l'ensemble de solutions d'une inéquation.
Points clés
- On ne change pas le sens d’une
inégalité si on additionne (ou soustrait) chacun
de ses membres par un même nombre.
On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre positif.
On change le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre négatif. - Une inéquation du premier degré à une inconnue x est une inéquation pouvant se ramener, après transformation, à la forme ax + b > 0 (avec un des signes suivants : < ; > ; ; ), a et b étant des nombres réels (a 0) et x étant l'inconnue.
- Résoudre une inéquation revient à chercher toutes les valeurs de l'inconnue pour que l’inégalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.
- On appelle ensemble de solutions toutes les valeurs de l’inconnue x qui sont solutions de l'inéquation du premier degré. Habituellement, cet ensemble de solutions est noté S et s'écrit sous la forme d'un intervalle.
- Pour résoudre une inéquation du premier
degré à une inconnue ,
il faut isoler en appliquant les règles de calcul sur les
inégalités. On procède par équivalences
(symbole). .
Pour bien comprendre
Intervalles
1. Règles de calcul dans une inégalité
Rappel
Une inégalité est composée de 2 membres séparés par un des symboles < ; > ; ≤ ou ≥.
Une inégalité est composée de 2 membres séparés par un des symboles < ; > ; ≤ ou ≥.
Notations
< se lit « strictement
inférieur » et >
« strictement supérieur ».
≤ se lit « inférieur ou
égal » et ≥
« supérieur ou
égal ».
Exemple
On ne change pas le sens d’une
inégalité si on additionne (ou
soustrait) chacun de ses membres par un
même nombre.
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels :
si a < b alors a + c < b + c et a – c < b – c.
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels :
si a < b alors a + c < b + c et a – c < b – c.
Exemples
Si 4 ≤ x alors 4 + 5 ≤ x + 5 d’où 9 ≤ x + 5.
Si z > 14 alors z – 8 > 14 – 8 d’où z – 8 > 6.
Si 4 ≤ x alors 4 + 5 ≤ x + 5 d’où 9 ≤ x + 5.
Si z > 14 alors z – 8 > 14 – 8 d’où z – 8 > 6.
On ne change pas le sens d’une
inégalité si on multiplie (ou
divise) chacun de ses membres par un même
nombre positif.
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c > 0 :
si a < b alors a × c < b × c et .
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c > 0 :
si a < b alors a × c < b × c et .
Exemples
Si 4 < alors 3 × 4 < 3 d’où 12 < 3.
Si z ≥ 28 alors ≥ d’où ≥ 4.
Si 4 < alors 3 × 4 < 3 d’où 12 < 3.
Si z ≥ 28 alors ≥ d’où ≥ 4.
On change le sens d’une inégalité
si on multiplie (ou divise) chacun de ses
membres par un même nombre négatif.
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c < 0 :
si a < b alors a × c > b × c et .
En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c < 0 :
si a < b alors a × c > b × c et .
Exemples
Si 4 < alors -3 × 4 > -3 d’où -12 < -3 .
Si z ≥ 28 alors ≤ d’où ≤ -4.
Remarque
Toutes les règles vues précédemment seraient identiques avec > ; ≤ ou ≥.
Si 4 < alors -3 × 4 > -3 d’où -12 < -3 .
Si z ≥ 28 alors ≤ d’où ≤ -4.
Remarque
Toutes les règles vues précédemment seraient identiques avec > ; ≤ ou ≥.
2. Résolution d'une inéquation du premier
degré
a. Définitions
Une inéquation du premier degré à une
inconnue x est
une inéquation pouvant se ramener, après
transformation, à la forme ax + b > 0
(avec un des signes suivants : < ;
> ; ; ), a et b étant des
nombres réels (a 0) et x
étant l'inconnue..
Exemples
3x + 7 > 0 est une inéquation du premier degré à une inconnue x.
2x² + 7x – 5 0 est une inéquation du second degré (car il y a un terme en x²).
3x + 7 > 0 est une inéquation du premier degré à une inconnue x.
2x² + 7x – 5 0 est une inéquation du second degré (car il y a un terme en x²).
Résoudre une inéquation revient à
chercher toutes les valeurs de l'inconnue pour que
l’inégalité soit vraie. Ces valeurs
sont appelées les solutions de
l’inéquation.
Remarques
- Si rien n’est précisé, on cherche toutes les valeurs possibles du réel inconnu. On dit alors « résoudre l’inéquation dans ».
- Sinon, on ne cherche que les solutions appartenant à un ensemble, souvent un intervalle I, et on précise « résoudre l’inéquation dans I ».
Exemple 1
Résoudre dans l’inéquation x + 2 ≤ 4.
Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intervalle .
Résoudre dans l’inéquation x + 2 ≤ 4.
Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intervalle .
Exemple 2
Résoudre dans l’inéquation x + 2 ≤ 4.
Ici, la résolution se fait dans un intervalle I = . Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intersection entre l’ensemble des solutions trouvé à l’exemple 1 et l’intervalle I : ce sont les réels de .
Les solutions sont les réels de l’intervalle .
Résoudre dans l’inéquation x + 2 ≤ 4.
Ici, la résolution se fait dans un intervalle I = . Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intersection entre l’ensemble des solutions trouvé à l’exemple 1 et l’intervalle I : ce sont les réels de .
Les solutions sont les réels de l’intervalle .
Exemple 3
Résoudre dans l’inéquation x + 2 ≤ 4.
Ici, la résolution se fait dans , qui n’est pas un intervalle. Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intersection entre l’ensemble des solutions trouvé à l'exemple 1 et : ce sont les nombres appartenant à .
Les solutions de cette inéquation sont les nombres entiers naturels 0 ; 1 ; 2 et seulement ceux-là.
Résoudre dans l’inéquation x + 2 ≤ 4.
Ici, la résolution se fait dans , qui n’est pas un intervalle. Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intersection entre l’ensemble des solutions trouvé à l'exemple 1 et : ce sont les nombres appartenant à .
Les solutions de cette inéquation sont les nombres entiers naturels 0 ; 1 ; 2 et seulement ceux-là.
b. Ensemble de solutions
On appelle ensemble de solutions toutes les
valeurs de l’inconnue x qui sont solutions
de l'inéquation du premier degré.
Habituellement, cet ensemble de solutions est
noté S et s'écrit sous la forme
d'un intervalle.
Solutions de l'inéquation | Notation sous forme d'intervalle |
Remarque
Quand une inéquation ne possède aucune solution, l’ensemble de solutions est vide et on écrit (est le symbole de l’ensemble vide).
Quand une inéquation ne possède aucune solution, l’ensemble de solutions est vide et on écrit (est le symbole de l’ensemble vide).
Exemples
Dans , l’inéquation x – 2 ≤ 4 a pour ensemble de solutions x ≤ 6, noté .
Dans , l’inéquation 3x – 5 > 12 n’a pas de solution. On note .
Dans , l’inéquation x – 2 ≤ 4 a pour ensemble de solutions x ≤ 6, noté .
Dans , l’inéquation 3x – 5 > 12 n’a pas de solution. On note .
c. Résolution par équivalences
Méthode
Pour résoudre une inéquation du premier
degré à une inconnue , il faut isoler en appliquant les règles de calcul sur
les inégalités. On procède par
équivalences (symbole).
Exemple 1
Résoudre dans l'inéquation
2x – 19 0.
2x – 19 + 19 0 + 19 |
On ajoute 19 dans les deux membres (l’inégalité ne change pas de sens). |
2x 19 | On simplifie. |
On divise par 2 en ne changeant pas le sens
de l’inégalité (car 2 est un nombre positif). |
|
x 9,5 |
On conclut. |
Exemple 2
Résoudre
dans l'inéquation
x + 3 > 5x – 4.
x + 3 > 5x – 4 | On choisit le membre de gauche pour y placer les x. |
x + 3 – 5x > 5x – 5x – 4 |
On retranche – 5x dans les deux
membres. Cela ne change pas le sens de l’inégalité. |
–4x + 3 > –4 | On simplifie. |
–4x + 3 – 3 > –4 – 3 |
On retranche 3 dans les deux membres. Cela ne change pas le sens de l’inégalité. |
–4x –7 | On simplifie. |
On divise par –4 en changeant le sens de l’inégalité (car –4 est un nombre négatif). | |
x < 1,75 |
On conclut. |
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