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Les calculs avec les puissances

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Objectifs
  • Connaitre la définition d’une puissance d’exposant un entier positif.
  • Connaitre la définition d’une puissance d’exposant un entier négatif.
  • Effectuer des opérations entre les puissances (produit, quotient, puissance de puissance).
  • Déterminer, à l'aide d'un algorithme, la première puissance d’un nombre positif supérieure ou inférieure à une valeur donnée.
Points clés
  • Soient n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel. On appelle a puissance n le nombre noté  tel que : .
  • Soient n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel. On appelle a puissance moins n le nombre noté tel que : .
  • Soient a un nombre réel non nul, m et n deux entiers relatifs.
    On a :    et   .
  • Soient a et b deux nombres réels non nuls, m un entier relatif.
    On a :    et   .
  • Soient a un nombre réel, m et n deux entiers relatifs.
    On a : .
Pour bien comprendre

 Algorithmique

1. Définition
a. Puissance à exposant positif
Soit n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel.
On appelle a puissance n le nombre noté  tel que : .
Remarque
n est appelé l’exposant.
Exemples
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 
(–3)3 = (–3) × (–3) × (–3) = –27
(3,2)2 = 3,2 × 3,2 = 10,24 

Par convention :    0n = 0   ;   a1 = a   ;   a0 = 1

À la calculatrice, pour calculer une puissance, on utilise, suivant les modèles, la touche ou .

Exemple
Pour calculer 24, on tape « 2 4 »  ou  « 2 4 ».
b. Puissance à exposant négatif
Soit n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel non nul.
On appelle a puissance moins n le nombre noté tel que : .
Exemples

Remarque
Quand   → On dit que est l'inverse de .
2. Règles de calculs sur les puissances
a. Produit et quotient de puissances d'un même nombre
Soient a un nombre réel non nul, m et n deux entiers relatifs.
On a :    et   .
Exemples
 
b. Puissance de produit et de quotient
Soient a et b deux nombres réels non nuls, m un entier relatif.
On a :    et   .
Exemples

c. Puissance de puissance
Soient a un nombre réel, m et n deux entiers relatifs.
On a : .
Exemple
3. Programmation
a. Première puissance supérieure à une valeur donnée

On cherche ici à déterminer le premier nombre entier n positif pour lequel ab, où a et b est un nombre réel positif. Pour cela, on utilise un programme informatique.

Langage naturel Langage Python
a ← ?
b ← ?
n ← 0
Tant que (an<b)

   nn+1
Fin Tant que
Afficher
n
L1 a=input("Que vaut a ?")
L2 b=input("Que vaut b ?")
L3 n=0
L4 while a**n<b:
L5    n=n+1
L6 print("n vaut", n)

Quelques précisions sur les instructions

  • L1, L2 : on demande à l’utilisateur les valeurs de a et b. On affecte les variables a et b de ces valeurs.
  • L3 : la variable n est affectée de la valeur 0.
  • L4, L5 : la boucle while s’exécute jusqu’à la première valeur de n pour laquelle ab. On incrémente n de 1.
  • L6 : on affiche le contenu de la variable n.
b. Première puissance inférieure à une valeur donnée

On cherche ici à déterminer le premier nombre entier n positif pour lequel an < b,a et b .

Langage naturel Langage Python
a ← ?
b ← ?
n ← 0
Tant que (an>b)
  nn+1
Fin Tant que
Afficher
n
L1 a=input("Que vaut a ?")
L2 b=input("Que vaut b ?")
L3 n=0
L4 while a**n>b:
L5    n=n+1
L6 print("n vaut", n)

Quelques précisions sur les instructions

  • L1, L2 : on demande à l’utilisateur les valeurs de a et b. On affecte les variables a et b de ces valeurs.
  • L3 : la variable n est affectée de la valeur 0.
  • L4, L5 : la boucle while s’exécute jusqu’à la première valeur de n pour laquelle an < b. On incrémente n de 1.
  • L6 : on affiche le contenu de la variable n.

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Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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