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Les calculs avec les puissances

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Objectifs

Connaitre la définition d’une puissance d’exposant un entier positif.
Connaitre la définition d’une puissance d’exposant un entier négatif.
Effectuer des opérations entre les puissances (produit, quotient, puissance de puissance).
Déterminer, à l'aide d'un algorithme, la première puissance d’un nombre positif supérieure ou inférieure à une valeur donnée.

Points clés

Soient n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel. On appelle a puissance n le nombre noté tel que : .
Soient n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel. On appelle a puissance moins n le nombre noté tel que : .
Soient a un nombre réel non nul, m et n deux entiers relatifs.
On a : et .
Soient a et b deux nombres réels non nuls, m un entier relatif.
On a : et .
Soient a un nombre réel, m et n deux entiers relatifs.
On a : .

Pour bien comprendre

Algorithmique

1. Définition

a. Puissance à exposant positif

Soit n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel.
On appelle a puissance n le nombre noté

tel que :

Remarque
n est appelé l’exposant.

Exemples
2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
(–3)³ = (–3) × (–3) × (–3) = –27
(3,2)² = 3,2 × 3,2 = 10,24

Par convention : 0ⁿ = 0 ; a¹ = a ; a⁰ = 1

À la calculatrice, pour calculer une puissance, on utilise, suivant les modèles, la touche ou .

Exemple
Pour calculer 2⁴, on tape « 2

4 » ou « 2

4 ».

b. Puissance à exposant négatif

Soit n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel non nul.
On appelle a puissance moins n le nombre noté

tel que :

Exemples

Remarque
Quand

→ On dit que

est l'inverse de

2. Règles de calculs sur les puissances

a. Produit et quotient de puissances d'un même nombre

Soient a un nombre réel non nul, m et n deux entiers relatifs.
On a :

Exemples

b. Puissance de produit et de quotient

Soient a et b deux nombres réels non nuls, m un entier relatif.
On a :

Exemples

c. Puissance de puissance

Soient a un nombre réel, m et n deux entiers relatifs.
On a :

Exemple

3. Programmation

a. Première puissance supérieure à une valeur donnée

On cherche ici à déterminer le premier nombre entier n positif pour lequel aⁿ> b, où a et b est un nombre réel positif. Pour cela, on utilise un programme informatique.

Langage naturel	Langage Python
a ← ? b ← ? n ← 0 Tant que (aⁿ<b) n ← n+1 Fin Tant que Afficher n	L1 a=input("Que vaut a ?") L2 b=input("Que vaut b ?") L3 n=0 L4 while a**n<b: L5 n=n+1 L6 print("n vaut", n)

Quelques précisions sur les instructions

L1, L2 : on demande à l’utilisateur les valeurs de a et b. On affecte les variables a et b de ces valeurs.
L3 : la variable n est affectée de la valeur 0.
L4, L5 : la boucle while s’exécute jusqu’à la première valeur de n pour laquelle aⁿ> b. On incrémente n de 1.
L6 : on affiche le contenu de la variable n.

b. Première puissance inférieure à une valeur donnée

On cherche ici à déterminer le premier nombre entier n positif pour lequel aⁿ< b, où a et b .

Langage naturel	Langage Python
a ← ? b ← ? n ← 0 Tant que (aⁿ>b) n ← n+1 Fin Tant que Afficher n	L1 a=input("Que vaut a ?") L2 b=input("Que vaut b ?") L3 n=0 L4 while a**n>b: L5 n=n+1 L6 print("n vaut", n)

Quelques précisions sur les instructions

L1, L2 : on demande à l’utilisateur les valeurs de a et b. On affecte les variables a et b de ces valeurs.
L3 : la variable n est affectée de la valeur 0.
L4, L5 : la boucle while s’exécute jusqu’à la première valeur de n pour laquelle aⁿ< b. On incrémente n de 1.
L6 : on affiche le contenu de la variable n.