Variable aléatoire et loi(0,1) de Bernoulli
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Reconnaitre une situation aléatoire modélisée par une loi de Bernoulli.
- Une épreuve de Bernoulli est une
expérience admettant exactement deux issues. Ces
deux issues sont donc contraires l'une de l'autre. On
appelle communément les deux issues de
probabilité :
- « succès » notée p ;
- « échec » notée q = 1 – p.
- Étant donné une épreuve de
Bernoulli, considérons la variable aléatoire
X prenant comme valeur 1 quand le succès est
réalisé, ou prenant comme valeur 0 quand
l'échec est réalisé.
Une variable aléatoire ainsi définie s'appelle variable de Bernoulli, on dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, où p est la probabilité du succès. - L'espérance d'une loi de Bernoulli est égale à p.
- On appelle schéma de Bernoulli à n épreuves de paramètre p, la répétition n fois de suite avec indépendance de la même épreuve de Bernoulli de paramètre p.
On appelle communément les deux issues de probabilité :
- « succès » notée p ;
- « échec » notée q = 1 – p.
Une variable aléatoire ainsi définie s'appelle variable de Bernoulli, on dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, où p est la probabilité du succès.
On lance un dé cubique classique.
On s'intéresse à l'événement « le numéro tiré est un 6 ».
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le numéro est un 6 » de probabilité
. La variable de
Bernoulli associée est une variable
aléatoire qui prend la valeur 1 si le 6 est sorti,
ou qui prend la valeur 0 si c'est un autre numéro
qui sort.
On considère une variable aléatoire suivant
une loi de Bernoulli de paramètre p.
Alors : 
.
Considérons une épreuve de Bernoulli où p désigne la probabilité du « succès » et n un entier naturel non nul.
En revenant à l'exemple précédent : on lance 3 fois de suite un dé, à chaque fois on réalise ou non « le numéro tiré est un 6 ». Cela constitue un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p =
.
Attention : il s'agit de s'assurer que la répétition de l'épreuve de Bernoulli s'effectue bien avec indépendance.
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