Variable aléatoire et loi(0,1) de Bernoulli
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Objectif
Reconnaitre une situation aléatoire modélisée par une loi de Bernoulli.
Points clés
- Une épreuve de Bernoulli est une
expérience admettant exactement deux issues. Ces
deux issues sont donc contraires l'une de l'autre. On
appelle communément les deux issues de
probabilité :
- « succès » notée p ;
- « échec » notée q = 1 – p.
- Étant donné une épreuve de
Bernoulli, considérons la variable aléatoire
X prenant comme valeur 1 quand le succès est
réalisé, ou prenant comme valeur 0 quand
l'échec est réalisé.
Une variable aléatoire ainsi définie s'appelle variable de Bernoulli, on dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, où p est la probabilité du succès. - L'espérance d'une loi de Bernoulli est égale à p.
- On appelle schéma de Bernoulli à n épreuves de paramètre p, la répétition n fois de suite avec indépendance de la même épreuve de Bernoulli de paramètre p.
1. Loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une
expérience admettant exactement deux issues. Ces
deux issues sont donc contraires l'une de l'autre.
On appelle communément les deux issues de probabilité :
On appelle communément les deux issues de probabilité :
- « succès » notée p ;
- « échec » notée q = 1 – p.
Étant donné une épreuve de
Bernoulli, considérons la variable
aléatoire X prenant comme valeur 1 quand le
succès est réalisé, ou prenant comme
valeur 0 quand l'échec est
réalisé.
Une variable aléatoire ainsi définie s'appelle variable de Bernoulli, on dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, où p est la probabilité du succès.
Une variable aléatoire ainsi définie s'appelle variable de Bernoulli, on dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, où p est la probabilité du succès.
Exemple
On lance un dé cubique classique.
On s'intéresse à l'événement « le numéro tiré est un 6 ».
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le numéro est un 6 » de probabilité . La variable de Bernoulli associée est une variable aléatoire qui prend la valeur 1 si le 6 est sorti, ou qui prend la valeur 0 si c'est un autre numéro qui sort.
On lance un dé cubique classique.
On s'intéresse à l'événement « le numéro tiré est un 6 ».
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le numéro est un 6 » de probabilité . La variable de Bernoulli associée est une variable aléatoire qui prend la valeur 1 si le 6 est sorti, ou qui prend la valeur 0 si c'est un autre numéro qui sort.
2. Espérance d'une loi de Bernoulli
On considère une variable aléatoire suivant
une loi de Bernoulli de paramètre p.
Alors : .
L'espérance d'une loi de Bernoulli est
égale à p.
3. Schéma de Bernoulli
Considérons une épreuve de Bernoulli où p désigne la probabilité du « succès » et n un entier naturel non nul.
On appelle schéma de Bernoulli à
n épreuves de paramètre p, la
répétition n fois de suite avec
indépendance de la même épreuve de
Bernoulli de paramètre p.
Exemple
En revenant à l'exemple précédent : on lance 3 fois de suite un dé, à chaque fois on réalise ou non « le numéro tiré est un 6 ». Cela constitue un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = .
En revenant à l'exemple précédent : on lance 3 fois de suite un dé, à chaque fois on réalise ou non « le numéro tiré est un 6 ». Cela constitue un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = .
Attention : il s'agit de s'assurer que la répétition de l'épreuve de Bernoulli s'effectue bien avec indépendance.
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