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Puissances de 10 et notation scientifique

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Objectifs
  • Calculer une puissance de 10.
  • Passer de l'écriture décimale à la notation scientifique d'un nombre et réciproquement.
  • Estimer un ordre de grandeur.
Points clés
  • Pour un entier naturel n ≥ 1, on a :

  • 100 = 1
  • La notation scientifique d’un nombre relatif est son écriture sous la forme  , où a est un nombre réel qui vérifie 1 ≤ a < 10 et n est un nombre entier relatif.
  • L’écriture des nombres très grands ou très petits en notation scientifique permet de raccourcir leur écriture et de simplifier les calculs.
    La notation scientifique des nombres permet aussi de les comparer plus facilement.
  • L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Deux mesures sont du même ordre de grandeur si le quotient de l’ordre de grandeur de la plus grande valeur par la plus petite est compris entre 1 et 10.
Pour bien comprendre
  • Entiers naturels et relatifs
  • Calculs avec les puissances
1. Puissance de 10

Parmi les puissances, celles de 10 sont plus faciles à calculer.

Pour un entier naturel n ≥ 1, on a :


100 = 1
Exemples
Remarque
Les règles de calculs sur les puissances restent valables pour les puissances de 10.
2. Notation scientifique
a. Définition et vocabulaire
La notation scientifique d’un nombre relatif est son écriture sous la forme  , où a est un nombre réel qui vérifie 1 ≤ a < 10 et n est un nombre entier relatif.
Exemples
est une écriture scientifique.
n'est pas une écriture scientifique car le chiffre devant la virgule est 0.
L’écriture des nombres très grands ou très petits en notation scientifique permet de raccourcir leur écriture et de simplifier les calculs.
La notation scientifique des nombres permet aussi de les comparer plus facilement.
Remarque
La notation scientifique est souvent utilisée dans les matières scientifiques nécessitant de très grands ou de très petits nombres : astronomie, sciences physiques, chimie, etc.
b. Donner la notation scientifique d'un nombre en écriture décimale
Méthode

Écrire l'expression numérique 346,928 en notation scientifique.

  1. Positionner une virgule pour que le nombre 346,928 soit compris entre 1 et 10 (non inclus).
    → 3,46,928.
  2. Compter le nombre de chiffres entre les deux virgules. Ce nombre correspond à la puissance n.
    → Il y a deux chiffres : 3,46,928 donc n = 2.
  3. Enlever « l'ancienne » virgule de l'expression numérique.
    Le nombre obtenu correspond à a.
    a = 3,46928
  4. Écrire la notation scientifique a × 10n.
    → 3,46928 × 102
Exemple
Donner l'écriture scientifique de .
, donc 
 est l'écriture scientifique de 
Remarque
La notation scientifique d'un nombre relatif est unique.
c. Donner l'écriture décimale d'un nombre en notation scientifique
Méthode

Une calculatrice en mode scientifique affiche le résultat suivant : 1,5 × 103.
Transformer ce nombre en écriture décimale.

  1. Calculer la puissance de 10.
    103 = 10 × 10 × 10 = 1 000
  2. Multiplier a par le résultat trouvé.
    1,5 × 1 000 = 1 500

La notation scientifique 1,5 × 103 est égale à 1 500.

3. Ordre de grandeur
L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre.
Exemples
  Nombre décimal
Notation scientifique         Ordre de grandeur
   (puissance de 10 la plus proche)
1 256 432 1, 256 432 × 106 106
0,0092 9,2 × 10–3 10–3
127 1,27 × 102 102
Deux mesures sont du même ordre de grandeur si le quotient de l’ordre de grandeur de la plus grande valeur par la plus petite est compris entre 1 et 10.
Méthode

Les longueurs 3,2 × 103 m et 645 673 cm ont-elles le même ordre de grandeur ?

  1. Exprimer les deux grandeurs dans la même unité.
    Convertir la deuxième mesure en mètre : 645 673 cm équivaut à 6 456,73 m.
    Remarque
    On peut utiliser un tableau de conversion.
  2. Écrire l'expression numérique en notation scientifique (a × 10n)
    Positionner une virgule pour que le nombre 6 456,73 soit compris entre 1 et 10 (non inclus) : 6,456,73.
    Compter le nombre de chiffres entre les deux virgules : il y a trois chiffres (6,456,73). Ce nombre correspond à la puissance n.
    Notation scientifique : 6,45673 × 103 
  3. Calculer le rapport (la division) de la plus grande valeur par la plus petite. Si le résultat est compris entre 1 et 10, les deux valeurs sont du même ordre de grandeur..
    Le résultat est compris entre 1 et 10, les longueurs ont donc le même ordre de grandeur.
    Remarque
    Il est possible d'arrondir le chiffre a de la notation scientifique à l'unité pour simplifier le calcul du rapport.
    6,45673 s'arrondit à 6 et 3,2 s'arrondit à 3, ce qui donne l'ordre de grandeur suivant : 

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On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

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