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Puissances de 10 et notation scientifique

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Objectifs

Calculer une puissance de 10.
Passer de l'écriture décimale à la notation scientifique d'un nombre et réciproquement.
Estimer un ordre de grandeur.

Points clés

Pour un entier naturel n ≥ 1, on a :
10⁰ = 1
La notation scientifique d’un nombre relatif est son écriture sous la forme , où a est un nombre réel qui vérifie 1 ≤ a < 10 et n est un nombre entier relatif.
L’écriture des nombres très grands ou très petits en notation scientifique permet de raccourcir leur écriture et de simplifier les calculs.
La notation scientifique des nombres permet aussi de les comparer plus facilement.
L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Deux mesures sont du même ordre de grandeur si le quotient de l’ordre de grandeur de la plus grande valeur par la plus petite est compris entre 1 et 10.

Pour bien comprendre

Entiers naturels et relatifs
Calculs avec les puissances

1. Puissance de 10

Parmi les puissances, celles de 10 sont plus faciles à calculer.

Pour un entier naturel n ≥ 1, on a :

10⁰ = 1

Exemples

Remarque
Les règles de calculs sur les puissances restent valables pour les puissances de 10.

2. Notation scientifique

a. Définition et vocabulaire

La notation scientifique d’un nombre relatif est son écriture sous la forme , où a est un nombre réel qui vérifie 1 ≤ a < 10 et n est un nombre entier relatif.

Exemples

est une écriture scientifique.

n'est pas une écriture scientifique car le chiffre devant la virgule est 0.

L’écriture des nombres très grands ou très petits en notation scientifique permet de raccourcir leur écriture et de simplifier les calculs.
La notation scientifique des nombres permet aussi de les comparer plus facilement.

Remarque
La notation scientifique est souvent utilisée dans les matières scientifiques nécessitant de très grands ou de très petits nombres : astronomie, sciences physiques, chimie, etc.

b. Donner la notation scientifique d'un nombre en écriture décimale

Méthode

Écrire l'expression numérique 346,928 en notation scientifique.

Positionner une virgule pour que le nombre 346,928 soit compris entre 1 et 10 (non inclus).
→ 3,46,928.
Compter le nombre de chiffres entre les deux virgules. Ce nombre correspond à la puissance n.
→ Il y a deux chiffres : 3,46,928 donc n = 2.
Enlever « l'ancienne » virgule de l'expression numérique.
Le nombre obtenu correspond à a.
a = 3,46928
Écrire la notation scientifique a × 10ⁿ.
→ 3,46928 × 10²

Exemple
Donner l'écriture scientifique de

, donc

est l'écriture scientifique de

Remarque
La notation scientifique d'un nombre relatif est unique.

c. Donner l'écriture décimale d'un nombre en notation scientifique

Méthode

Une calculatrice en mode scientifique affiche le résultat suivant : 1,5 × 10³.
Transformer ce nombre en écriture décimale.

Calculer la puissance de 10.
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000
Multiplier a par le résultat trouvé.
1,5 × 1 000 = 1 500

La notation scientifique 1,5 × 10³ est égale à 1 500.

3. Ordre de grandeur

L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre.

Exemples

Nombre décimal	Notation scientifique	Ordre de grandeur (puissance de 10 la plus proche)
1 256 432	1, 256 432 × 10⁶	10⁶
0,0092	9,2 × 10^–3	10^–3
127	1,27 × 10²	10²

Deux mesures sont du même ordre de grandeur si le quotient de l’ordre de grandeur de la plus grande valeur par la plus petite est compris entre 1 et 10.

Méthode

Les longueurs 3,2 × 10³ m et 645 673 cm ont-elles le même ordre de grandeur ?

Exprimer les deux grandeurs dans la même unité.
Convertir la deuxième mesure en mètre : 645 673 cm équivaut à 6 456,73 m.

Remarque
On peut utiliser un tableau de conversion.
Écrire l'expression numérique en notation scientifique (a × 10ⁿ)
Positionner une virgule pour que le nombre 6 456,73 soit compris entre 1 et 10 (non inclus) : 6,456,73.
Compter le nombre de chiffres entre les deux virgules : il y a trois chiffres (6,456,73). Ce nombre correspond à la puissance n.
Notation scientifique : 6,45673 × 10³
Calculer le rapport (la division) de la plus grande valeur par la plus petite. Si le résultat est compris entre 1 et 10, les deux valeurs sont du même ordre de grandeur..
Le résultat est compris entre 1 et 10, les longueurs ont donc le même ordre de grandeur.

Remarque
Il est possible d'arrondir le chiffre a de la notation scientifique à l'unité pour simplifier le calcul du rapport.
6,45673 s'arrondit à 6 et 3,2 s'arrondit à 3, ce qui donne l'ordre de grandeur suivant :