Les sections planes de solides - Maxicours

Les sections planes de solides

Objectifs
  • Représenter en perspective ou en vraie grandeur des sections planes. 
  • Construire des sections planes de cubes et de cylindres de révolution. 
  • Construire un parallélogramme circonscrit à une ellipse.  
Points clés
  • La section plane d’un solide est la surface obtenue lors d’une coupe de ce solide par un plan.
  • La section plane d’un cube par un plan parallèle à une face est un carré ayant les mêmes dimensions que cette face.
  • La section plane d’un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle, éventuellement réduit à un segment (si le plan ne coupe le solide que selon cette arête).
  • La section plane d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un disque ayant le même rayon que la base.
  • La section plane d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle, éventuellement réduit à un segment (si le plan est tangent au cylindre).
  • La section plane d’un cylindre de révolution par un plan ni parallèle ni perpendiculaire à son axe est une ellipse.
1. Sections planes de cubes et de cylindres de révolution
a. Définition
La section plane d’un solide est la surface obtenue lors d’une coupe de ce solide par un plan.
b. Section plane d'un cube
Propriété
La section plane d’un cube par un plan parallèle à une face est un carré ayant les mêmes dimensions que cette face.
Exemple
ABCDEFGH est un cube. P est un plan parallèle à la face EFGH et à la face ABCD.
La section plane RSTU est donc un carré de mêmes dimensions que EFGH.
Propriété
La section plane d’un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle, éventuellement réduit à un segment (si le plan ne coupe le solide que selon cette arête).
Exemple
ABCDEFGH est un cube. P est un plan parallèle à l’arête [GH].
La section plane RSTU est donc un rectangle.
Méthode pour construire la section d’un cube par un plan IJKL

On donne trois points qui forment un plan. Pour construire la section d’un cube par un plan, il existe différents cas de figure.

Si le plan est parallèle à une face et coupe le cube :

  1. marquer l’intersection de ce plan avec les quatre arêtes du cube ;
  2. relier les points afin de dessiner le rectangle qui est la section cherchée. Les segments [IJ], [JK], [KL], [LI] peuvent aussi être obtenus par parallélisme avec les arêtes du cube.

    IJKL est la section plane du cube, parallèle à la face CFED.

Si le plan ne coupe le cube que selon une arête :
la section est exactement l’arête.

Si le plan n’est pas parallèle à une face mais à une arête :
alors les quatre segments de l’intersection du plan avec le cube sont parallèles deux à deux (le plan est un rectangle).

  1. À partir du segment [IJ], tracer la parallèle passant par K ;
  2. on obtient ainsi le point L.

    IJKL est la section plane du cube, parallèle à l’arête [DE].

Si le plan n’est parallèle ni à une face ni à une arête :
On cherche à construire la section du cube par le plan (IJK) (voir la figure ci-dessous).
Comme les faces d’un cube sont parallèles, on peut utiliser une propriété essentielle de géométrie dans l’espace :

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe aussi l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.
  • La parallèle à (IJ) passant par K coupe [DE] en L ;
  • la parallèle à (KI) passant par J coupe [EF] en O ;
  • la section du cube par le plan (IJK) est le polygone LOJIK.

    LOJIK est la section plane du cube.
c. Cylindre de révolution
Propriété
La section plane d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un disque ayant le même rayon que la base.
Exemple
Soit le cylindre de révolution d’axe (OA) représenté sur la figure ci-dessous. P est un plan perpendiculaire à cet axe.
La section plane ainsi définie est donc un disque de même rayon R que le disque de base.

Propriété
La section plane d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle, éventuellement réduit à un segment (si le plan est tangent au cylindre).
Exemple
Soit le cylindre de révolution d’axe (OA) représenté sur la figure ci-dessous. P est un plan parallèle à cet axe.
La section plane ainsi définie est donc un rectangle.

Propriété
La section plane d’un cylindre de révolution par un plan ni parallèle ni perpendiculaire à son axe est une ellipse.
Exemple
2. Parallélogramme circonscrit à une ellipse

Soit une ellipse dans le plan. Elle est la représentation en perspective cavalière d’un cercle de l’espace.
Comme tout cercle peut être inscrit dans un carré, cette ellipse peut être inscrite dans un parallélogramme : c’est-à-dire que les côtés du parallélogramme sont tangents à l’ellipse en quatre points distincts.

Méthode pour construire le parallélogramme circonscrit à une ellipse :
  1. Choisir arbitrairement un point A sur l’ellipse et construire à la main une droite tangente à l’ellipse en A.
  2. Construire une parallèle à cette droite, tangente en un autre point B de l’ellipse.
  3. Construire le milieu O du segment [AB].
  4. Construire la parallèle aux tangentes déjà tracées et passant par O. Cette droite coupe l’ellipse aux points C et D.
  5. Construire la parallèle à (AB) passant par C et la parallèle à (AB) passant par D.
  6. Les points d’intersection entre ces parallèles et les tangentes sont les sommets d’un parallélogramme MNPQ dans lequel l’ellipse est inscrite. 


    MNPQ est le parallélogramme circonscrit à l’ellipse.

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