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Les expériences aléatoires à plusieurs épreuves indépendantes

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Objectifs

Déterminer une probabilité associée à une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes.
Déterminer une probabilité associée à la répétition d’épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli.
Représenter par un arbre de probabilités une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes et déterminer les probabilités des événements associés aux différents chemins.
Représenter par un arbre de probabilités la répétition de n épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli avec n ⩽ 4 afin de calculer des probabilités.

Points clés

On effectue une expérience aléatoire constituée de deux épreuves. On dit que ces épreuves sont indépendantes dès lors que l’issue de l’une ne dépend pas de l’issue de l’autre.
Si une expérience aléatoire est constituée de 2 épreuves indépendantes, elle peut être représentée par un arbre pondéré.
La probabilité de chaque issue, représentée par un chemin, est le produit des probabilités de chaque branche de ce chemin.
Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire qui admet deux issues contraires notées :
- succès S de probabilité p ;
- échec de probabilité 1 – p.
Lorsque l’on réalise successivement et dans les mêmes conditions n épreuves de Bernouilli identiques (n 4) de paramètre p, on peut construire un arbre pondéré illustrant la situation.
Comme précisé précédemment, la probabilité de chaque issue, représentée par un chemin, est le produit des probabilités de chaque branche de ce chemin.
On pourra ainsi calculer la probabilité d’obtenir 0, 1, 2, 3 ou 4 succès.

Pour bien comprendre

Notion de probabilité
Multiplication de fractions
Notations A et

1. Expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes

a. Définition

Rappel
On dit qu’une expérience est aléatoire si ses issues possibles ne sont dues qu’au hasard. Par exemple, lorsqu’on lance une pièce de monnaie bien équilibrée, on ne peut pas connaitre à l’avance la face qui va apparaitre. Il s’agit donc bien d’une expérience aléatoire.

On effectue une expérience aléatoire constituée de deux épreuves. On dit que ces épreuves sont indépendantes dès lors que l’issue de l’une ne dépend pas de l’issue de l’autre.

Exemple
Si on tire successivement deux boules dans une urne, il y a une grande différence si on remet ou non la première boule dans l’urne avant le second tirage.
Si on la remet, les deux tirages se font exactement dans les mêmes conditions et dans ce cas, le premier tirage n’influence pas le second, les deux tirages sont donc indépendants.
Par contre, si on ne la remet pas, l’urne du second tirage contiendra une boule de moins, ce qui changera les conditions du second tirage.

b. Représentation par un arbre pondéré

Si une expérience aléatoire est constituée de 2 épreuves indépendantes, elle peut être représentée par un arbre pondéré.
La probabilité de chaque issue, représentée par un chemin, est le produit des probabilités de chaque branche de ce chemin.

Exemple
Une expérience consiste, dans un premier temps, à lancer une pièce équilibrée puis, dans un second temps, à lancer un dé à six faces non truqué. Les deux épreuves sont indépendantes car quelque soit le résultat du lancer de la pièce, cela n’influence pas le résultat du lancer de dé.

On s’intéresse aux évènements suivants :

P : « le résultat du lancer de pièce est Pile »
F : « le résultat du lancer de pièce est Face » (remarque : F = )
1 : « le résultat du lancer de dé est 1 »
2 : « le résultat du lancer de dé est 2 »
3 : « le résultat du lancer de dé est 3 »
4 : « le résultat du lancer de dé est 4 »
5 : « le résultat du lancer de dé est 5 »
6 : « le résultat du lancer de dé est 6 »

La pièce étant équilibrée, on a P(P) = P(F) = .

Le dé étant non truqué, on a P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = .

On peut construire l’arbre pondéré associé à cette expérience :

La probabilité de chaque issue, représentée par un chemin, est le produit des probabilités de chaque branche de ce chemin.
Ainsi, chaque issue a une probabilité de .

Si on s’intéresse à la probabilité d’obtenir 6, cet événement est réalisé par 2 issues incompatibles : () et (). On obtient donc :

P(6) = P(() ())

P(6) = P() + P() car les événements sont incompatibles

P(6) =
P(6) = .

Remarques

On appelle « incompatibles » des évènements qui ne peuvent pas se produire en même temps.
Ici, la probabilité d’obtenir 6 à l’issue des 2 épreuves est égale à la probabilité d’obtenir 6 sur un dé non truqué. La probabilité d’obtenir 6 à l’issue des 2 épreuves n’est donc pas influencée par le lancer de pièce de la première épreuve.
La somme des probabilités des branches partant d’un même sommet d’un arbre pondéré est égal à 1.

2. Répétition d'épreuves aléatoires, identiques et indépendantes de Bernoulli

a. Définition d'une épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire qui admet deux issues contraires notées :

succès S de probabilité p ;
échec de probabilité 1 – p.

Exemple
Lors d’une course de 17 voitures, où chaque concurrent à la même probabilité que les autres de gagner, on parie sur la voiture n° 5.
Il y a deux issues possibles. Soit la voiture n° 5 gagne et le pari est un succès, de probabilité P(S) =

; soit la voiture n° 5 perd et le pari est un échec, de probabilité P(

) =

b. Loi de Bernoulli

Lorsque l’on réalise successivement et dans les mêmes conditions n épreuves de Bernouilli identiques (n 4) de paramètre p, on peut construire un arbre pondéré illustrant la situation.

Exemple
On représente dans l’arbre pondéré ci-dessous 4 épreuves de Bernoulli identiques, de paramètre p, dont le succès est représenté par l’évènement A :

Comme précisé dans la partie précédente, la probabilité de chaque issue, représentée par un chemin, est le produit des probabilités de chaque branche de ce chemin.
On pourra ainsi calculer la probabilité d’obtenir 0, 1, 2, 3 ou 4 succès.

Exemple
On lance 3 fois un dé truqué de telle sorte que la probabilité de l’événement S : « obtenir la face 6 » est égale à 0,3, et on s’intéresse au nombre de « 6 » obtenus.

Chaque lancer n’influence pas les autres, ils sont donc indépendants. Chaque lancer est une épreuve de Bernouilli de paramètre 0,3. On obtient l’arbre suivant :

On peut ainsi calculer la probabilité d’obtenir un certain nombre de fois la face 6, comme :

P(« obtenir trois fois 6 ») = P()
= 0,3 x 0,3 x 0,3 = 0,027 = 2,7 % (pour un dé équilibré, c’est environ 0,5 %)
P(« obtenir deux fois 6 ») = P() + P() + P()
= 0,3 x 0,3 x 0,7 + 0,3 x 0,7 x 0,3 + 0,7 x 0,3 x 0,3 = 0,189 = 18,9 % (pour un dé équilibré, c’est environ 7,9 %)