Les expériences aléatoires à plusieurs épreuves indépendantes

Exemple
Si on tire successivement deux boules dans une urne, il y a une grande différence si on remet ou non la première boule dans l’urne avant le second tirage.
Si on la remet, les deux tirages se font exactement dans les mêmes conditions et dans ce cas, le premier tirage n’influence pas le second, les deux tirages sont donc indépendants.
Par contre, si on ne la remet pas, l’urne du second tirage contiendra une boule de moins, ce qui changera les conditions du second tirage.

Exemple
Une expérience consiste, dans un premier temps, à lancer une pièce équilibrée puis, dans un second temps, à lancer un dé à six faces non truqué. Les deux épreuves sont indépendantes car quelque soit le résultat du lancer de la pièce, cela n’influence pas le résultat du lancer de dé.

On s’intéresse aux évènements suivants :

• P : « le résultat du lancer de pièce est Pile »
• F : « le résultat du lancer de pièce est Face » (remarque : F = )
• 1 : « le résultat du lancer de dé est 1 »
• 2 : « le résultat du lancer de dé est 2 »
• 3 : « le résultat du lancer de dé est 3 »
• 4 : « le résultat du lancer de dé est 4 »
• 5 : « le résultat du lancer de dé est 5 »
• 6 : « le résultat du lancer de dé est 6 »

La pièce étant équilibrée, on a P(P) = P(F) = . 

Le dé étant non truqué, on a P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = .

On peut construire l’arbre pondéré associé à cette expérience :

La probabilité de chaque issue, représentée par un chemin, est le produit des probabilités de chaque branche de ce chemin.
Ainsi, chaque issue a une probabilité de . 

Si on s’intéresse à la probabilité d’obtenir 6, cet événement est réalisé par 2 issues incompatibles : () et (). On obtient donc :

P(6) = P(()  ()) 

P(6) = P() + P() car les événements sont incompatibles 

P(6) = 
P(6) = .

Exemple
Lors d’une course de 17 voitures, où chaque concurrent à la même probabilité que les autres de gagner, on parie sur la voiture n° 5.
Il y a deux issues possibles. Soit la voiture n° 5 gagne et le pari est un succès, de probabilité P(S) = ; soit la voiture n° 5 perd et le pari est un échec, de probabilité P() == .

Exemple
On représente dans l’arbre pondéré ci-dessous 4 épreuves de Bernoulli identiques, de paramètre p, dont le succès est représenté par l’évènement A :

Exemple
On lance 3 fois un dé truqué de telle sorte que la probabilité de l’événement S : « obtenir la face 6 » est égale à 0,3, et on s’intéresse au nombre de « 6 » obtenus.

Chaque lancer n’influence pas les autres, ils sont donc indépendants. Chaque lancer est une épreuve de Bernouilli de paramètre 0,3. On obtient l’arbre suivant :

On peut ainsi calculer la probabilité d’obtenir un certain nombre de fois la face 6, comme :

• P(« obtenir trois fois 6 ») = P()
  = 0,3 x 0,3 x 0,3 = 0,027 = 2,7 % (pour un dé équilibré, c’est environ 0,5 %)
• P(« obtenir deux fois 6 ») = P() + P() + P()
  = 0,3 x 0,3 x 0,7 + 0,3 x 0,7 x 0,3 + 0,7 x 0,3 x 0,3 = 0,189 = 18,9 % (pour un dé équilibré, c’est environ 7,9 %)