Factoriser grâce aux racines évidentes - Première techno - Mathématiques - Maxicours

Factoriser grâce aux racines évidentes

Objectifs
  • Identifier une racine évidente d’un polynôme.
  • Utiliser cette racine évidente pour factoriser le polynôme.
Points clés
  • Une racine évidente est un nombre simple dont on calcule rapidement l'image par la fonction polynôme, cette image doit être 0.
  • Une racine évidente obtenue, on trouve facilement l'autre racine par identification des coefficients de la fonction polynôme.
Pour bien comprendre
  • Savoir ce qu’est un polynôme de degré 2
  • Savoir ce qu’est une racine d’un polynôme de degré 2
  • Savoir développer une expression algébrique
  • Savoir résoudre une équation de degré 1
1. Racine évidente d'un polynôme

Soit une fonction polynôme de degré deux d'expression avec , , réels et .

On appelle racine évidente de un nombre , souvent proche de 0, généralement entier, tel que .

Une fonction polynôme ne possède pas nécessairement de racine évidente.

Méthode pour identifier une racine évidente d’un polynôme

Pour savoir si possède une racine évidente, on calcule rapidement , , , , puis , , . Si on trouve 0 en calculant ces nombres, alors on a identifié une racine évidente.

Exemple
Si alors on calcule :
, 0 n'est pas racine évidente de .
est une racine évidente de .
Remarque : parfois la nature des coefficients de peuvent guider l'intuition pour tester d'autres valeurs.
Exemple
Si , on peut penser à tester 10 car 100 = 102 et 20 = 2 × 10. Et en effet .

Une racine évidente peut aussi se lire sur la représentation graphique de la fonction polynôme.

Exemple
Ci-dessus, on voit que la parabole coupe l'axe des abscisses en 2 points mais un seul est clairement identifiable, on voit que –2 est une racine évidente.
2. Seconde racine et factorisation

Une fois que l'on connait une racine évidente d'une fonction polynôme telle que , on sait que la forme factorisée de sera du type avec et où est l'autre racine de qui reste à déterminer.

Pour cela, on développe l'expression de  contenant  et , et on identifie les coefficients des termes constants, en  et en  avec , et .

Méthode pour identifier la seconde racine d’un polynôme
  1. On utilise la racine évident et on note la deuxième racine, encore inconnue, et on écrit la forme factorisée de  : .
  2. On développe et réduit cette expression pour trouver .
  3. On identifie les coefficients de chacun des 3 termes avec la forme de départ pour obtenir une équation simple à résoudre et livrant  :
    • terme en :   (1)
    • terme en  : (2)
    • terme constant : (3)
  4. On résout l'une des 2 équations (2) ou (3) pour identifier . On peut utiliser l'autre équation, (3) ou (2), pour vérifier la valeur ainsi trouvée.
Remarque : à l'étape 3, le terme en ne contenant jamais , il ne servira jamais pour trouver .
Exemple : Factoriser définie par .
  1. On a vu que 1 est racine évidente car . Ici donc on peut écrire .
  2. On développe pour trouver :


  3. On identifie avec la forme développée initiale :
    • terme en : (2)
    • terme constant : (3)
  4. On choisit (3) qui est plus simple que (2) à résoudre pour trouver (on peut vérifier avec (2) qu'on a bien ).
Remarque
Lorsqu'on sait utiliser la somme et le produit des racines d'un polynôme de degré deux, on peut s'en servir pour trouver la deuxième racine une fois qu'on a obtenu une racine évidente. Dans ce cas, on n'utilise pas la méthode d'identification ci-dessus.
Factorisation

Une fois les deux racines  et identifiées, on peut écrire le polynôme sous sa forme factorisée .

Exemple
On a vu que admet deux racines et .
On conclut en produisant la forme factorisée de : .

Pour aller plus loin
La technique de racine évidente et d'identification sera indispensable pour factoriser beaucoup de polynômes de degré 3 (du type ).

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

quote blanc icon

Découvrez Maxicours

Exerce toi en t’abonnant

Découvrir le reste du programme

Des profs en ligne

  • 6j/7 de 17 h à 20 h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Un compte Parent