La perspective cavalière
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre la notion de perspective cavalière.
- Connaitre les propriétés conservées et non conservées par une perspective cavalière.
- Représenter des objets de l’espace en perspective cavalière.
- Si (d) est une droite de l’espace sécante, avec un plan (P), on dit qu’un point M’ est l’image d’un point M de l’espace dans la perspective parallèle sur le plan (P) parallèlement à (d) lorsque M’∈(P) et lorsque (MM’) // (d).
- Lorsque le plan (P) est frontal (face à l’observateur), on dit que cette perspective est cavalière.
- La perspective cavalière conserve les milieux, le parallélisme, les contacts et les proportions.
- Positions relatives de droites et plans de l’espace
- Solides de base de l’espace (cube, parallélépipède rectangle, pyramide, prisme à base triangulaire, tétraèdre)
Depuis le collège, la géométrie se partage en deux parties : la géométrie plane et la géométrie dans l’espace.
En géométrie plane, on travaille avec des figures planes, c’est-à-dire des figures pouvant se tracer en grandeurs réelles sur une feuille en deux dimensions (parallélogramme, losange, carré, rectangle, cercle…).
En géométrie dans l’espace, on travaille avec des solides en trois dimensions (pavé droit, cube, prisme…). Quand on dessine sur une feuille (en deux dimensions) un objet de l’espace (en trois dimensions), on applique une représentation en perspective.
La perspective cavalière est un mode de représentation qui obéit à certaines règles. C’est un cas particulier de perspective parallèle.
Soit M un point de l’espace et (d) une droite de l’espace sécante avec (P).
On dit que M' est l’image de M dans la perspective parallèle sur le plan (P) parallèlement à (d) si :
- M' appartient à (P) ;
- la droite (MM') est parallèle à (d).
On dit que le plan (P) est frontal. Tout plan de l’espace parallèle à (P) est également dit frontal.
(P) est le plan de projection et (d) est la direction de projection.
Dans une représentation en perspective cavalière, on montre :
- en traits pointillés, les « lignes » (segments, droites, demi-droites, cercles…) masquées par un plan ;
- en traits pleins, les autres lignes.
On souhaite représenter la perspective cavalière d’un triangle MNO rectangle en N, inclus dans un plan (Q) de l’espace. Pour cela, on dispose d’un plan (P) frontal parallèle à (Q) et d’une droite (d).
La représentation en perspective cavalière de MNO est le triangle M'N'O'. On observe que le triangle M'N'O' est représenté « en grandeur réelle » : les longueurs, les aires et les angles ne sont pas modifiées par rapport au triangle MNO.
Sur la figure ci-dessus, on dit que « la représentation en perspective cavalière du triangle MNO est le triangle M'N'O' », ou que « le prisme à base triangulaire MNOO’M’N’ est représenté en perspective cavalière ».
Sur la figure ci-dessus, la droite (OO’) est une fuyante.
La perspective cavalière possède des propriétés qui facilitent son utilisation.
En perspective cavalière,
- les milieux sont conservés ;
- les contacts sont conservés : dans l’espace, deux droites parallèles sont représentées par des droites parallèles et deux droites sécantes sont représentées par des droites sécantes ;
- les rapports de longueurs sont conservés.
Un cube ABCDEFGH est représenté en perspective cavalière, la face ABCD étant en plan de face (on dit aussi que la figure « réelle » de l’espace est le carré ABCD, et sa représentation en perspective cavalière le carré EFGH.
La droite (BG) est une fuyante.
- les milieux : les points I et J sont les milieux respectifs des segments [EH] et [FG] ;
- les contacts : la droite (IJ) est parallèle à (GH) et perpendiculaire à (FG) ; les faces ABCD et EFGH sont parallèles dans l’espace ;
- les rapports de longueurs :
- dans un plan de face : le
point M du
segment [AD] est tel que
;
- dans un autre plan : les
droites (MN) et (DH) sont
parallèles. D’après le
théorème de Thalès, on
a :
. Ce rapport de
longueurs est conservé sur la figure.
- dans un plan de face : le
point M du
segment [AD] est tel que
En revanche, les propriétés suivantes ne sont pas conservées sur le cube ABCDEFGH :
- les longueurs AB et BG sont égales dans le cube mais pas sur la représentation en perspective ;
- les droites (IJ) et (BG) se sont pas sécantes dans l’espace ;
- les droites (BG) et (GF) sont perpendiculaires en G dans l’espace.
En perspective cavalière, un quadrillage est représenté par :
- des carrés dans toute face d’un plan frontal ;
- des parallélogrammes dans toute face d’un plan non frontal.
On a quadrillé chaque face du cube ABCDEFGH ci-dessous.
Sur les deux plans frontaux ABCD et EFGH, ce quadrillage est représenté sous forme de carrés.
Sur les quatre plans non frontaux CDEH, BAFG, AFED et BGHC, il est représenté sous forme de parallélogrammes (mais en réalité, ce sont des carrés).
Dans le quadrillage de la face AFGB, on peut dessiner le triangle rectangle AFB en perspective (il est représenté comme un triangle quelconque).
Dans le quadrillage de la face BGHC, on peut dessiner un rectangle (il est représenté comme un parallélogramme).
En perspective cavalière, l’image d’un cercle est :
- un cercle en grandeur réelle dans un plan frontal ;
- une ellipse dans un plan fuyant (c’est-à-dire un plan non frontal et non parallèle à la direction de projection) ;
- un segment si le cercle est dans un plan parallèle à la direction de projection.
Pour tracer, à la main et sans compas, un cercle dans le carré ABCD :
- on trace les diagonales [AC] et [BD] ;
- on place les milieux A1, B1, C1, D1 et le centre O du carré ;
- on place les points A2, B2, C2, D2 situés au premier tiers de chaque segment [AO], [BO], [CO], [DO] ;
- on relie alors à main levée les points A1, B2, B1, C2, C1, D2, D1, A2.
La ligne tracée à la main est une bonne
approximation du cercle inscrit dans le
carré ABCD (son centre
est O) et a
l’allure d’un cercle.
En représentation exacte, avec un logiciel, le
tracé de ce cercle ne passerait pas exactement
par les points A2,
B2,
C2,
D2.
Comme la perspective cavalière respecte les
milieux, les parallélismes et les rapports de
longueurs, on construit les mêmes points en
perspective que dans la méthode
précédente. La ligne tracée
à la main est une bonne approximation du cercle
inscrit dans le carré ABCD (son centre
est O) et a
l’allure d’une ellipse.
Sur les deux dessins ci-dessous, l’ellipse a
été tracée de façon exacte
par un logiciel et on observe qu’elle ne passe
pas exactement par les points A2, B2, C2, D2.
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La représentation en perspective cavalière d’un cercle inscrit dans un carré, dans un plan non parallèle à la direction de projection, est donc celle d’une ellipse dans un parallélogramme.
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