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La perspective cavalière

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Objectifs

Connaitre la notion de perspective cavalière.
Connaitre les propriétés conservées et non conservées par une perspective cavalière.
Représenter des objets de l’espace en perspective cavalière.

Points clés

Si (d) est une droite de l’espace sécante, avec un plan (P), on dit qu’un point M’ est l’image d’un point M de l’espace dans la perspective parallèle sur le plan (P) parallèlement à (d) lorsque M’∈(P) et lorsque (MM’) // (d).
Lorsque le plan (P) est frontal (face à l’observateur), on dit que cette perspective est cavalière.
La perspective cavalière conserve les milieux, le parallélisme, les contacts et les proportions.

Pour bien comprendre

Positions relatives de droites et plans de l’espace
Solides de base de l’espace (cube, parallélépipède rectangle, pyramide, prisme à base triangulaire, tétraèdre)

1. Définition de la perspective cavalière

a. Représentation en perspective d'un solide

Depuis le collège, la géométrie se partage en deux parties : la géométrie plane et la géométrie dans l’espace.

En géométrie plane, on travaille avec des figures planes, c’est-à-dire des figures pouvant se tracer en grandeurs réelles sur une feuille en deux dimensions (parallélogramme, losange, carré, rectangle, cercle…).

En géométrie dans l’espace, on travaille avec des solides en trois dimensions (pavé droit, cube, prisme…). Quand on dessine sur une feuille (en deux dimensions) un objet de l’espace (en trois dimensions), on applique une représentation en perspective.

b. Perspective parallèle et perspective cavalière

La perspective cavalière est un mode de représentation qui obéit à certaines règles. C’est un cas particulier de perspective parallèle.

On note (P) le plan dans lequel on représente un objet de l’espace.
Soit M un point de l’espace et (d) une droite de l’espace sécante avec (P).
On dit que M' est l’image de M dans la perspective parallèle sur le plan (P) parallèlement à (d) si :

M' appartient à (P) ;
la droite (MM') est parallèle à (d).

De plus, la perspective est dite cavalière si on imagine que l’observateur du dessin est situé face au plan de projection (P), c’est-à-dire que la direction de son regard est perpendiculaire au plan (P) (voir l’exemple ci-dessous).
On dit que le plan (P) est frontal. Tout plan de l’espace parallèle à (P) est également dit frontal.
(P) est le plan de projection et (d) est la direction de projection.

Remarque
Dans une représentation en perspective cavalière, on montre :

en traits pointillés, les « lignes » (segments, droites, demi-droites, cercles…) masquées par un plan ;
en traits pleins, les autres lignes.

Exemple
On souhaite représenter la perspective cavalière d’un triangle MNO rectangle en N, inclus dans un plan (Q) de l’espace. Pour cela, on dispose d’un plan (P) frontal parallèle à (Q) et d’une droite (d).
La représentation en perspective cavalière de MNO est le triangle M'N'O'. On observe que le triangle M'N'O' est représenté « en grandeur réelle » : les longueurs, les aires et les angles ne sont pas modifiées par rapport au triangle MNO.

Remarque
Sur la figure ci-dessus, on dit que « la représentation en perspective cavalière du triangle MNO est le triangle M'N'O' », ou que « le prisme à base triangulaire MNOO’M’N’ est représenté en perspective cavalière ».

Toute droite perpendiculaire au plan de projection est une fuyante.

Exemple
Sur la figure ci-dessus, la droite (OO’) est une fuyante.

2. Propriétés de la perspective cavalière

La perspective cavalière possède des propriétés qui facilitent son utilisation.

On dit que la propriété d’une figure est conservée par une représentation en perspective si elle est à la fois vraie sur la figure « réelle » de l’espace et sur sa représentation en perspective.

Propriété
En perspective cavalière,

les milieux sont conservés ;
les contacts sont conservés : dans l’espace, deux droites parallèles sont représentées par des droites parallèles et deux droites sécantes sont représentées par des droites sécantes ;
les rapports de longueurs sont conservés.

Exemple
Un cube ABCDEFGH est représenté en perspective cavalière, la face ABCD étant en plan de face (on dit aussi que la figure « réelle » de l’espace est le carré ABCD, et sa représentation en perspective cavalière le carré EFGH.
La droite (BG) est une fuyante.

Les propriétés suivantes sont conservées sur le cube ABCDEFGH :

les milieux : les points I et J sont les milieux respectifs des segments [EH] et [FG] ;
les contacts : la droite (IJ) est parallèle à (GH) et perpendiculaire à (FG) ; les faces ABCD et EFGH sont parallèles dans l’espace ;
les rapports de longueurs :
- dans un plan de face : le point M du segment [AD] est tel que ;
- dans un autre plan : les droites (MN) et (DH) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, on a : . Ce rapport de longueurs est conservé sur la figure.

En revanche, les propriétés suivantes ne sont pas conservées sur le cube ABCDEFGH :

les longueurs AB et BG sont égales dans le cube mais pas sur la représentation en perspective ;
les droites (IJ) et (BG) se sont pas sécantes dans l’espace ;
les droites (BG) et (GF) sont perpendiculaires en G dans l’espace.

3. Applications de la perspective cavalière

a. Quadrillage et cube en perspective cavalière

Un quadrillage est une juxtaposition de carrés qui recouvrent une partie d’un plan.

Propriété
En perspective cavalière, un quadrillage est représenté par :

des carrés dans toute face d’un plan frontal ;
des parallélogrammes dans toute face d’un plan non frontal.

Exemple du Rubik’s Cube
On a quadrillé chaque face du cube ABCDEFGH ci-dessous.

Sur les deux plans frontaux ABCD et EFGH, ce quadrillage est représenté sous forme de carrés.
Sur les quatre plans non frontaux CDEH, BAFG, AFED et BGHC, il est représenté sous forme de parallélogrammes (mais en réalité, ce sont des carrés).

Exemples de figures dessinées dans un quadrillage
Dans le quadrillage de la face AFGB, on peut dessiner le triangle rectangle AFB en perspective (il est représenté comme un triangle quelconque).
Dans le quadrillage de la face BGHC, on peut dessiner un rectangle (il est représenté comme un parallélogramme).

b. Image d'un cercle en perspective cavalière

Propriété
En perspective cavalière, l’image d’un cercle est :

un cercle en grandeur réelle dans un plan frontal ;
une ellipse dans un plan fuyant (c’est-à-dire un plan non frontal et non parallèle à la direction de projection) ;
un segment si le cercle est dans un plan parallèle à la direction de projection.

Méthode de construction dans un plan frontal

Pour tracer, à la main et sans compas, un cercle dans le carré ABCD :

on trace les diagonales [AC] et [BD] ;
on place les milieux A₁, B₁, C₁, D₁ et le centre O du carré ;
on place les points A₂, B₂, C₂, D₂ situés au premier tiers de chaque segment [AO], [BO], [CO], [DO] ;
on relie alors à main levée les points A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, D₂, D₁, A₂.

La ligne tracée à la main est une bonne approximation du cercle inscrit dans le carré ABCD (son centre est O) et a l’allure d’un cercle.
En représentation exacte, avec un logiciel, le tracé de ce cercle ne passerait pas exactement par les points A₂, B₂, C₂, D₂.

Méthode de construction dans un plan fuyant

Comme la perspective cavalière respecte les milieux, les parallélismes et les rapports de longueurs, on construit les mêmes points en perspective que dans la méthode précédente. La ligne tracée à la main est une bonne approximation du cercle inscrit dans le carré ABCD (son centre est O) et a l’allure d’une ellipse.
Sur les deux dessins ci-dessous, l’ellipse a été tracée de façon exacte par un logiciel et on observe qu’elle ne passe pas exactement par les points A₂, B₂, C₂, D₂.

Propriété
La représentation en perspective cavalière d’un cercle inscrit dans un carré, dans un plan non parallèle à la direction de projection, est donc celle d’une ellipse dans un parallélogramme.