Les fonctions polynômes de degré 2 : définition et représentation
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- Connaitre l'expression algébrique d'une fonction polynôme du second degré.
- Connaitre les représentations graphiques des fonctions polynômes du type (cas général), et (cas particuliers).
- Connaitre l'axe ou les axes de symétrie d'une fonction polynôme du second degré.
- Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R par, avec a un réel non nul, b et c deux réels.
- Sa représentation graphique est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut lorsque et vers le bas lorsque .
- Le sommet S de la parabole est le point de la parabole d'abscisse .
- La parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation .
- Dans le cas particulier où b = 0 et c = 0, c'est-à-dire
où l'on a :
- la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère ;
- le sommet de la parabole est le point O(0 ; 0).
- Dans le cas particulier où c = 0, c'est-à-dire où l'on a , la parabole est la même que celle de la fonction mais « décalée » vers le haut ou vers le bas en fonction de la valeur de b.
- Fonction impaire
- Images, antécédents
- Fonction carré
- Représentation graphique d'une fonction
Nous allons ici étudier un type de fonctions liées à la fonction carrée.
- La fonction f définie par est une fonction du second degré. On identifie les coefficients : .
- La fonction g définie par est une fonction du second degré. On identifie les coefficients : .
Une fonction du second degré peut s'écrire sous plusieurs formes. On appelle forme développée la forme . La forme est la forme factorisée.
La parabole a pour équation , avec a un réel non nul, b et c deux réels.
- si alors les branches de la parabole sont tournées vers le haut ;
- si alors les branches de la parabole sont tournées vers le bas.
On va étudier la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par .
Ici .
Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
x | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 5 | 1 | –1 | –1 | 1 | 5 |
Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 1,5 et Y = –1,25. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(1,5 ; –1,25).
On va étudier la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par . Ici .
Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
g(x) | –3 | 0,5 | 3 | 4,5 | 5 | 4,5 | 3 | 0,5 | –3 |
D'après ce tableau on peut lire
que .
Sur le graphique ci-dessous, on lit les
coordonnées du curseur X = 2 et
Y = 5. Ce sont les coordonnées du
sommet de la parabole : S(2 ; 5).
On a vu au paragraphe précédent que le sommet de la parabole avait pour abscisse .
L'axe de symétrie de la parabole passe donc par ce sommet.
Reprenons l'exemple 1 du paragraphe précédent.
La parabole représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par admet un axe de symétrie vertical d'équation .
Reprenons l'exemple 2 du paragraphe précédent.
La parabole représentative de la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par admet un axe de symétrie vertical d'équation .
Parmi les fonctions polynômes du second degré, on considère celles du type .
Pour tout réel x, on a f(–x) = a (–x)2 = ax2 = f(x). La fonction f est donc paire.
On a vu au paragraphe précédent que le sommet S d'une parabole d'équation était le point de la parabole d'abscisse . Ici, comme b = 0, le sommet S de la parabole a pour abscisse . et pour ordonnée .
Soit f(x) = 0,2x2. On peut dresser un tableau de valeurs de f :
x | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
f(x) | 1,8 | 0,8 | 0,2 | 0 | 0,2 | 0,8 | 1,8 |
puis, placer les points de coordonnées
(x ; f(x))
dans un repère et enfin, tracer la courbe
passant par ces points :
Reprenons la fonction f(x) = 0,2x3 de l’exemple précédent, et considérons les fonctions g et h définies par g(x) = 0,2x2 + 2 et h(x) = 0,2x2 – 3. Visualisons leur représentation graphique dans un même repère :
On remarque que, par rapport à la courbe de f, la courbe de g est « décalée » de 2 vers le haut (b = 2) et que celle de h est « décalée » de 3 vers le bas (b = –3).
On peut donner les variations d'une fonction du second degré par son tableau de variation.
Lorsque (positif), on obtient le tableau de variation
suivant :
La valeur en laquelle le minimum est atteint
est . Le minimum vaut .
On reprend la fonction f de l'exemple 1 et on obtient le tableau de variation :
On dit que f admet un minimum égal à –1,25 pour x = 1,5. En effet : .
Lorsque (négatif), on obtient le tableau de
variation suivant :
La valeur en laquelle le maximum est atteint
est . Le maximum vaut .
On reprend la fonction g de l'exemple 2 et on obtient le tableau de variation :
On dit que g admet un maximum égal à 5 pour x = 2. En effet :
Il existe des fonctions maximum et minimum en mode graphique sur la calculatrice, mais ce n'est qu'une valeur approchée.
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