Racines et signe d'une fonction polynôme de degré 3
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Savoir ce qu’est une racine de fonction polynôme.
- Factoriser, dans des cas simples, une expression du troisième degré connaissant au moins une de ses racines.
- Utiliser la forme factorisée (en produit de facteurs du premier degré) d’un polynôme de degré 3 pour trouver ses racines et étudier son signe.
- Résoudre une équation de la forme x3 = c, avec c > 0.
- Une racine d’un polynôme est une valeur qui annule ce polynôme.
- Certaines fonctions polynômes de degré 3 peuvent s’écrire sous forme factorisée x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3).
- Le signe d’une fonction polynôme du type x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3) s’obtient en dressant un tableau de signes.
- L’unique solution de l’équation
x3 = c
est le nombre
, noté également
.
- Connaitre la fonction de référence x → x3
- Savoir ce qu’est la solution d’une équation
- Savoir développer une expression du troisième degré
- Savoir ce qu’est le tableau de signe d’une fonction
C’est la forme factorisée de ce polynôme.
Montrer que la fonction f(x) = 2(x – 3)(x + 2)(x – 1) est une fonction polynôme de degré 3.
On développe l’expression algébrique de f et on obtient :
f(x) = (2x – 6)(x² –x + 2x – 2) = (2x – 6)(x² + x – 2)
= 2x3 + 2x² – 4x – 6x² – 6x + 12 = 2x3 – 4x² – 10x + 12
L’expression 2x3 – 4x² – 10x + 12 est une fonction polynôme de degré 3.
C’est la forme développée de 2(x – 3)(x + 2)(x – 1).
Dans cette fiche, nous traitons uniquement des fonctions polynômes de degré 3 du type x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3).
- La fonction f : x →
2(x – 2)(x + 1)(x + 2)
admet 3 racines : –2 ;
–1 et 2.
En effet, f(–2) = f(–1) = f(2) = 0. - La fonction g : x →
–0,2(x + 3)(x –4)²
admet 2 racines : –3 et 4.
En effet, g(–3) = g(4) = 0. Ici, on dit que 4 est une racine double. - La fonction h : x
→
(x – 1)3
n’admet qu’une seule
racine : 1.
En effet, h(1) = 0. Ici, on dit que 1 est une racine triple.
Ces trois racines peuvent donc être distinctes ou non.
Ci-dessous, les courbes représentatives des 3 fonctions de l’exemple précédent :
|
|
|
Pour obtenir le signe d’une telle fonction, il faut
dresser un tableau de signes.
Considérons x1,
x2
et x3 les trois
racines telles que x1 ≤ x2 ≤ x3.
On obtient le tableau de signes suivant :
Et donc,
| Si | Alors | est |
| a > 0 | a(x – x1)(x – x2)(x – x3) | négatif sur ]–∞ ; x1[ et sur ]x2 ; x3[ |
| positif sur ]x1 ; x2[ et sur ]x3 ; +∞[ | ||
| a < 0 | a(x – x1)(x – x2)(x – x3) | positif sur ]–∞ ; x1[ et sur ]x2 ; x3[ |
| négatif sur ]x1 ; x2[ et sur ]x3 ; +∞[ |
- Dans le cas où x1 = x2, l’intervalle ]x1 ; x2[ n’existe pas.
- Dans le cas où x2 = x3, l’intervalle ]x2 ; x3[ n’existe pas.
- Dans le cas où x1 = x2 = x3, les intervalles ]x1 ; x2[ et ]x2 ; x3[ n’existent pas.
La fonction f : x → 2(x – 2)(x + 1)(x + 2) admet 3 racines : –2 ; –1 et 2.
On a x1 = –2 ; x2 = –1 et x3 = 2. De plus, a = 2 > 0.
On obtient le tableau de signes suivant :
Donc f est négative sur ]–∞ ; –2[ et sur ]–1 ; 2[
et f est positive sur ]–2 ; –1[ et sur ]2 ; +∞[.
La fonction g : x → –3(x + 2)²(x –5) admet 2 racines : –2 et 5.
On a x1 = x2 = –2 et x3 = 5. De plus, a = –3 < 0.
On obtient le tableau de signes suivant :
Donc g est positive sur ]–∞ ; 5[
et g est négative sur ]5 ; +∞[.
Résoudre l’équation x2 = k (avec k ≥ 0) revient à chercher le(s) nombre(s) x tel(s) que x × x = k.
Si k = 0, alors la solution est 0.
Si k > 0, alors les solutions sont k et –k.
- k est appelée « racine carrée de k ».
-
k est
l’écriture «
simplifiée » de
ou encore de 
.
) revient à chercher le
nombre x tel
que x × x × x = c.Ce nombre est unique, car pour tout nombre réel c, la droite d’équation y = c ne coupe qu’une seule et unique fois la courbe représentative de la fonction x → x3.
L’équation x3 = 8 admet une unique solution x = 2 car 2 × 2 × 2 = 8.
) est le nombre appelée racine cubique
de c,
noté également .
L’équation x3 = 15 admet une unique solution,
.Pour calculer ce nombre, on utilise la calculatrice.
Ainsi,
.
L’équation x3 = –23 admet une unique solution,
.Pour calculer ce nombre, on utilise la calculatrice.
Ainsi,
.
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