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Racines et signe d'une fonction polynôme de degré 3

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Objectifs
  • Savoir ce qu’est une racine de fonction polynôme.
  • Factoriser, dans des cas simples, une expression du troisième degré connaissant au moins une de ses racines.
  • Utiliser la forme factorisée (en produit de facteurs du premier degré) d’un polynôme de degré 3 pour trouver ses racines et étudier son signe.
  • Résoudre une équation de la forme x3 = c, avec c > 0.
Points clés
  • Une racine d’un polynôme est une valeur qui annule ce polynôme.
  • Certaines fonctions polynômes de degré 3 peuvent s’écrire sous forme factorisée x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3).
  • Le signe d’une fonction polynôme du type x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3) s’obtient en dressant un tableau de signes.
  • L’unique solution de l’équation x3 = c est le nombre , noté également .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la fonction de référence x → x3
  • Savoir ce qu’est la solution d’une équation
  • Savoir développer une expression du troisième degré
  • Savoir ce qu’est le tableau de signe d’une fonction
1. Fonction polynome de degré 3
Une fonction du type x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3) est une fonction polynôme de degré 3.
C’est la forme factorisée de ce polynôme.
Exemple
Montrer que la fonction f(x) = 2(x – 3)(x + 2)(x – 1) est une fonction polynôme de degré 3.
On développe l’expression algébrique de f et on obtient :
f(x) = (2x – 6)(x² –x + 2x – 2) = (2x – 6)(x² + x – 2)
= 2x3 + 2x² – 4x – 6x² – 6x + 12 = 2x3 – 4x² – 10x + 12

L’expression 2x3 – 4x² – 10x + 12 est une fonction polynôme de degré 3.
C’est la forme développée de 2(x – 3)(x + 2)(x – 1).
2. Racine(s) d’une fonction polynôme de degré 3
On dit qu’un réel r est une racine d’une fonction polynôme du troisième degré f d’expression f(x) = ax3 + bx2 + cx + d lorsque f(r) = 0, c’est-à-dire lorsque ar3 + br2 + cr + d = 0.

Dans cette fiche, nous traitons uniquement des fonctions polynômes de degré 3 du type x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3).

Les racines d’une fonction polynôme de degré 3 du type x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3) sont x1, x2 et x3.
Exemples
  • La fonction f : x → 2(x – 2)(x + 1)(x + 2) admet 3 racines : –2 ;
    –1 et 2.
    En effet, f(–2) = f(–1) = f(2) = 0.
  • La fonction g : x → –0,2(x + 3)(x –4)² admet 2 racines : –3 et 4.
    En effet, g(–3) = g(4) = 0. Ici, on dit que 4 est une racine double.
  • La fonction h : x → (x – 1)3 n’admet qu’une seule racine : 1.
    En effet, h(1) = 0. Ici, on dit que 1 est une racine triple.

Ces trois racines peuvent donc être distinctes ou non.

Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction coupe l’axe des abscisses en un, deux ou trois points d’abscisses x1, x2 et x3.
Exemples
Ci-dessous, les courbes représentatives des 3 fonctions de l’exemple précédent :
3. Signe d’une fonction polynôme de degré 3

Pour obtenir le signe d’une telle fonction, il faut dresser un tableau de signes.
Considérons x1, x2 et x3 les trois racines telles que x1 ≤ x2 ≤ x3.
On obtient le tableau de signes suivant : 

Et donc,

Si Alors est
a > 0  a(x – x1)(x – x2)(x – x3) négatif sur ]–∞ ; x1[ et sur ]x2 ; x3[
positif sur ]x1 ; x2[ et sur ]x3 ; +∞[
a < 0  a(x – x1)(x – x2)(x – x3) positif sur ]–∞ ; x1[ et sur ]x2 ; x3[
négatif sur ]x1 ; x2[ et sur ]x3 ; +∞[
Remarques
  • Dans le cas où x1 = x2, l’intervalle ]x1 ; x2[ n’existe pas.
  • Dans le cas où x2 = x3, l’intervalle ]x2 ; x3[ n’existe pas.
  • Dans le cas où x1 = x2 = x3, les intervalles ]x1 ; x2[ et ]x2 ; x3[ n’existent pas.
Exemple 1
La fonction f : x → 2(x – 2)(x + 1)(x + 2) admet 3 racines : –2 ; –1 et 2.
On a x1 = –2 ; x2 = –1 et x3  = 2. De plus, a = 2 > 0.
On obtient le tableau de signes suivant : 

Donc f est négative sur ]–∞ ; –2[ et sur ]–1 ; 2[
      et f est positive sur ]–2 ; –1[ et sur ]2 ; +∞[.
Exemple 2
La fonction g : x → –3(x + 2)²(x –5) admet 2 racines : –2 et 5.
On a x1 = x2 = –2 et x3 = 5. De plus, a = –3 < 0.
On obtient le tableau de signes suivant : 

Donc g est positive sur ]–∞ ; 5[
      et g est négative sur ]5 ; +∞[.
4. Résolution d’une équation avec la fonction cube
Rappel
Résoudre l’équation x2 = k (avec k ≥ 0) revient à chercher le(s) nombre(s) x tel(s) que x × x = k.
Si k = 0, alors la solution est 0.
Si k > 0, alors les solutions sont k et k.
Remarques
  • k est appelée « racine carrée de k ».
  • k est l’écriture « simplifiée » de ou encore de .
Résoudre l’équation x3 = c (avec ) revient à chercher le nombre x tel que x × x × x = c.
Ce nombre est unique, car pour tout nombre réel c, la droite d’équation y = c ne coupe qu’une seule et unique fois la courbe représentative de la fonction x → x3.

Exemple
L’équation x3 = 8 admet une unique solution x = 2 car 2 × 2 × 2 = 8.
L’unique solution de l’équation x3 = c (avec ) est le nombre appelée racine cubique de c, noté également .
Exemple 1
L’équation x3 = 15 admet une unique solution, .
Pour calculer ce nombre, on utilise la calculatrice.
Ainsi, .
Exemple 2
L’équation x3 = –23 admet une unique solution, .
Pour calculer ce nombre, on utilise la calculatrice.
Ainsi, .

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Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

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Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

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Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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