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Définition, vocabulaire et représentation des fonctions

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Objectifs

Connaitre le vocabulaire de base des fonctions : variable, antécédent, image, ensemble de définition d'une fonction.
Connaitre la notation f(x).
Représenter graphiquement une fonction.
Déterminer les images et les antécédents d'une fonction par le calcul et par lecture graphique.

Points clés

Une fonction est un procédé qui permet d’associer à un nombre, un unique autre nombre appelé image. Si on appelle f cette fonction, l’image de x par f sera notée ou .
L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des nombres réels pour lesquels on peut calculer une unique image. On le note souvent ou .
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f(a) = b, alors on dira que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.
La représentation graphique de f est l’ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)) en faisant prendre à x toutes les valeurs de l’ensemble de définition.
Pour obtenir l’image d’un nombre a par une fonction f, on lit graphiquement l’ordonnée du point de la courbe de f ayant pour abscisse a.
Pour obtenir les antécédents d’un nombre b, on lit les abscisses des points de la courbe ayant pour ordonnée b.

1. Notion de fonction

Une fonction est un procédé qui permet d’associer à un nombre, un unique autre nombre appelé image.
Si on appelle

cette fonction, l’image de x par f sera notée

Exemples
est une fonction et est l'image de par la fonction .
est une fonction et est l'image de par la fonction

Contre-exemple
La correspondance qui à tout nombre positif fait correspondre les deux nombres dont il est le carré n’est pas une fonction. En effet, il n’y a pas unicité. Par exemple, 4 est le carré de 2 et –2.

Concrètement, une fonction est un outil mathématique qui permet de modéliser la dépendance entre deux grandeurs x et y. Cette modélisation peut se définir sous la forme d'une formule (ou expression algébrique) ou d'une représentation graphique.

Exemples
On peut modéliser par une fonction :

la distance parcourue par un véhicule (y) en fonction du temps de trajet (x) ;
le prix des tomates (y) en fonction de la masse achetée (x).

Notations : Les écritures suivantes sont équivalentes :

a. Ensemble de définition

L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des nombres réels pour lesquels on peut calculer une unique image. On le note souvent

Exemples
. Pour tout x réel, on peut calculer x², donc l’ensemble de définition est .

. La racine carrée d’un nombre existe si et seulement si x ≥ 0, donc l’ensemble de définition est .

On ne peut calculer l’image de x que si le dénominateur est non nul, c’est à dire si x ≠ –1. L’ensemble de définition est .

b. Images et antécédents

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I.
Si f(a) = b, alors on dira que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.

Exemples
:
L’image de 1 par f vaut 1² = 1, soit f(1) = 1.
L’image de –1 par f vaut (–1)² = 1, soit f(–1) = 1.
Les antécédents de 1 sont toutes les valeurs a pour lesquelles f(a) = 1, c'est à dire 1 et –1.

:
L’image de 0 par f est 0 + 3 = 3, soit f(0) = 3. L’antécédent de 3 par f est 0.

:
L’image de 25 est , soit f(25) = 5. L’antécédent de 5 par f est 25.

2. Utilisation de graphiques

a. Représentation graphique d'une fonction f

On se place dans un repère (O, I, J) donné.

La représentation graphique de f est l’ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)) en faisant prendre à x toutes les valeurs de l’ensemble de définition.

Remarque : on utilisera parfois le mot courbe à la place de représentation graphique.

Exemple : considérons la représentation graphique d'une fonction f sur [–3 ; 3].

Si M a pour abscisse x, alors son ordonnée est f(x).

A a pour coordonnées (2 ; 2), donc f(2) = 2
donc l’image de 2 par f est 2.

B a pour coordonnées (–2 ; 2), donc
f(–2) = 2 donc
l’image de –2 par f est 2.

Les antécédents de 2 par la fonction f sont
–2 et 2.

b. Utilisation d'une courbe pour obtenir une image

Pour obtenir l’image d’un nombre a par une fonction f, on lit graphiquement l’ordonnée du point de la courbe de f ayant pour abscisse a.

Exemple 1
Voici la représentation graphique d’une fonction f :

Pour déterminer l’image de 1 par f, on doit partir de l’abscisse 1, puis on lit l’ordonnée du point de la courbe correspondant.

Par lecture graphique, on obtient 4.

Donc l’image de 1 par f est 4.

Exemple 2
Voici la représentation graphique d’une fonction f :

Pour déterminer l’image de 2 par f, on doit partir de l’abscisse 2, puis on lit l’ordonnée du point de la courbe correspondant.
Par lecture graphique, on obtient –3,5.

Donc l’image de 2 par f est –3,5.

c. Utilisation d'une courbe pour obtenir des antécedents

Pour obtenir les antécédents d’un nombre b, on lit les abscisses des points de la courbe ayant pour ordonnée b.

Exemple 1
Voici la représentation graphique d’une fonction f :

Pour déterminer les antécédents de 3, on lit les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 3.

Par lecture graphique,
–1 et 3 sont les antécédents de 3 par f.

Exemple 2
Voici la représentation graphique d’une fonction f :

Pour déterminer les antécédents de 1 par f, on lit les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 1.

Par lecture graphique, 3 est l'antécédent de 1 par f.

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