Variable aléatoire et loi de probabilité - Maxicours

Variable aléatoire et loi de probabilité

Objectifs
  • Modéliser une situation à l’aide d’une variable aléatoire.
  • Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
Points clés
  • X est une variable définie sur Ω, l’univers de l’expérience aléatoire, et a est un réel. On note X = a l’ensemble des issues auxquelles on associe le nombre a.
  • P(X = a) est la somme des probabilités des issues auxquelles on associe le nombre a.
  • La loi de probabilité est l’ensemble des valeurs que peut prendre X auxquelles on associe leur probabilité.
Pour bien comprendre
  • Calculer une probabilité dans un univers équiprobable
  • Évènements contraires
1. Rappels sur les expériences aléatoires
  • Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon certaine mais dont on connait les résultats possibles (les issues).
  • L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est l’univers de l’expérience. On le note Ω.
  • Un événement est une partie de l’univers, formée d’une ou de plusieurs issues possibles.
Exemple
Nous plaçons 6 boules indiscernables dans une urne. Parmi elles, il y a : une boule rouge, 2 boules bleues et 3 boules noires.
On tire une boule au hasard dans cette urne. C’est une expérience aléatoire.

L'univers de cette expérience est : Ω = {rouge, bleue, noire}.
Cet univers est constitué de trois événements élémentaires :
  • R : l’événement « Tirer une boule rouge » ;
  • B : l’événement « Tirer une boule bleue » ;
  • N : l’événement « Tirer une boule noire ».
Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité : chaque boule a une chance sur 6 d’être tirée.
Comme il y a une seule boule rouge, alors P(R) = .
Comme il y 2 boules bleues, alors P(B) = 2 ×  = .
Comme il y 3 boules noires, alors P(N) = 3 ×  =  = .
2. Variable aléatoire et événements associés
a. Notion de variable aléatoire

Maintenant, intéressons-nous aux conséquences du tirage :

  • Si la boule tirée est rouge, nous gagnons 3 €.
  • Si la boule tirée est bleue, nous gagnons 2 €.
  • Si la boule tirée est noire, nous gagnons 1 €.

Dans cette expérience, on voit bien que ce qui importe n'est pas vraiment la couleur tirée mais plutôt le gain qui lui est associé.

Nous allons introduire la notion de variable aléatoire. Nous allons simplement convenir que le gain que l'on associe à un tirage se note X.

  • Si la boule tirée est rouge, X = 3 €.
  • Si la boule tirée est bleue, X = 2 €.
  • Si la boule tirée est noire, X = 1 €.

Considérons une expérience aléatoire dont l’univers (l’ensemble de toutes les issues) est Ω.

Une variable aléatoire X sur Ω est une fonction qui, à chaque issue de Ω, associe un nombre réel.
b. Événements associés à une variable aléatoire

Soit a l’une des valeurs prise par la variable aléatoire X (a est un nombre réel).

{X = a} est l’événement qui comprend toutes les issues auxquelles on a associé le nombre a. C’est l’ensemble des issues auxquelles on associe le nombre a.
Exemple
Dans notre expérience, on écrit {X = 3} pour signifier que nous nous intéressons aux cas où le gain est égal à 3 €. {X = 3} correspond à l’événement R : « Tirer une boule rouge ».
De la même façon {X = 2} correspond aux cas où le gain est égal à 2 €, c’est à dire à l’évènement B : « Tirer une boule bleue ».
Enfin, {X = 1} correspond aux cas où le gain est égal à 1 €, c’est à dire à l’évènement N : « Tirer une boule noire ».

On peut de la même manière définir l’événement {X < a}.

L’événement {X < a} est l’ensemble des issues auxquelles on associe un nombre < a.
Exemple
Dans notre expérience, l’événement {X < 3} correspond aux cas où le gain est inférieur à 3 €.
3. Loi de probabilité
a. Probabilité d'un événement

Dans une expérience aléatoire, soit Ω l’univers, X une variable définie sur Ω et a un nombre réel.

P(X = a) est la probabilité de réaliser l’événement {X = a} .
Exemple
Revenons à notre expérience.
On considère l’événement {X = 3} qui correspond à l’événement R : « Tirer une boule rouge » (et gagner 3 euros).
P{X = 3} est la probabilité de réaliser cet événement.
P({X = 3}) = P(R) = 
b. Loi de probabilité
Dans une expérience aléatoire, soit Ω l’univers, X une variable définie sur Ω et a1 ; a2 ; … ; an des nombres réels qui représentent toutes les valeurs prises par X.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est l’ensemble des probabilités de tous les événements « X = ai » c’est à dire P(X = ai).
Méthode pour déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
  1. Associer à chaque événement un nombre réel ;
  2. Calculer les probabilités de tous les événements « X = ai » ;
  3. Résumer tous les résultats trouvés dans un tableau.
Exemple
La variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2 et 3.

L’événement {X = 3} correspond à l’événement R : « Tirer une boule rouge ».
P({X = 3}) = P(R) = 
L’événement {X = 2} correspond à l’événement B : « Tirer une boule bleue ».
P({X = 2}) = P(B) = 2 ×  = 
L’événement {X = 1} correspond à l’événement N : « Tirer une boule noire ».
P({X = 1}) = P(N) = 3 ×  =  = 

La loi de probabilité que suit X est la suivante :
P(X = 1) = 
P(X = 2) = 
P(X = 3) = 

Nous la notons généralement sous forme de tableau pour plus de visibilité.
ai 1 2 3
P(X = ai)

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