Les suites arithmétiques
- Découvrir une suite particulière définie par récurrence.
- Savoir la reconnaitre, exprimer son terme
général en fonction de
et l’utiliser pour calculer un terme donné.
- Une suite arithmétique est une suite
récurrente définie par
où r est un réel appelé raison de la suite.
- Pour tout
,
ou
avec
un entier.
- Notion de suite et de terme général d'une suite
- Notion de suite définie par récurrence
- Fonctions affines





Dans une suite arithmétique, on passe d’un
terme à son suivant en ajoutant
toujours le même
nombre
.
La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme

La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme

Une suite numérique est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante.
On souhaite prouver que la suite



Déroulons rapidement les premiers termes de la suite : 3 ; 2,5 ; 2 ; 1,5 ; …
Il semblerait que l’on ajoute toujours le même nombre (–0,5) pour passer d’un terme à son suivant.
Il semblerait que la différence entre 2 termes consécutifs soit constante, égale à –0,5.
Apportons la preuve par le calcul :




Comme la différence est constante, (indépendante de



Soit une suite arithmétique de
raison
et de premier terme
.
Alors pour tout , on a les relations suivantes.
![]() et ![]() |
avec :
|
Pour obtenir :
- en partant de
: on ajoute
fois la raison ;
- en partant de
(lorsque
) on ajoute
fois la raison.

Ainsi : ;
;
Ces formules permettent de passer de la définition
par récurrence à la formule explicite.
Soit


Alors on peut dire que


Ainsi, par exemple,

Une suite arithmétique étant de terme
général , on peut l'écrire
où
est la fonction affine
de coefficient
directeur
et d'ordonnée à
l'origine
.
Par conséquent, la représentation graphique d'une suite arithmétique est une série de points alignés.
Une suite arithmétique est donc l'expression discrète d'une fonction affine.


Les points successifs de gauche à droite
correspondent à ,
, … ,
: on observe qu'ils sont
alignés sur la droite représentant la
fonction affine
.
Un retraité ayant placé
24 000 € sur un compte d'épargne se
fait verser chaque mois 250 € depuis ce compte,
sans le recréditer. On note le montant restant sur son compte
d'épargne au bout de
mois.
-
est le terme général d'une suite arithmétique de premier terme
et de raison −250 puisque
.
- On peut donc écrire le terme
général :
.
- Ainsi, on peut répondre à une question
du type « au bout de combien de temps son
compte d'épargne aura-t-il diminué de
moitié ? » en résolvant
l'équation
et en trouvant
.
On considère un carré de côté 1. On
note
le polygone qui permet de
compléter
de sorte à obtenir un
carré de côté 2 :

On complète alors la figure avec le polygone
de sorte à obtenir un
carré de côté 3, et ainsi de
suite.
|
|
On s'intéresse alors à la suite des aires des figures
.
En calculant les premiers termes de , on trouve
;
;
;
…
La suite semble arithmétique de raison 2 et de
premier terme . C'est bien le cas puisque, pour
passer de la figure
à la
figure
, on a besoin d'un carré
identique à
supplémentaire pour la
partie verticale, et d'un deuxième carré
identique supplémentaire pour la partie
horizontale.
On a bien : la suite est
arithmétique.

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