Les suites arithmétiques- Première- Mathématiques
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Découvrir une suite particulière définie par récurrence.
- Savoir la reconnaitre, exprimer son terme
général en fonction de
et l’utiliser pour calculer un
terme donné.
- Une suite arithmétique est une suite
récurrente définie par
où r est un réel
appelé raison de la suite.
- Pour tout ,
ou 
avec 
un entier.
- Notion de suite et de terme général d'une suite
- Notion de suite définie par récurrence
- Fonctions affines
est dite arithmétique s'il
existe un réel 
tel que pour
tout 
. Le réel est appelé raison de
la suite.
Dans une suite arithmétique, on passe d’un
terme à son suivant en ajoutant
toujours le même
nombre .
La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme
.La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme
.
Une suite numérique est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante.
On souhaite prouver que la suite
définie
par 
pour 
est une suite
arithmétique.Déroulons rapidement les premiers termes de la suite : 3 ; 2,5 ; 2 ; 1,5 ; …
Il semblerait que l’on ajoute toujours le même nombre (–0,5) pour passer d’un terme à son suivant.
Il semblerait que la différence entre 2 termes consécutifs soit constante, égale à –0,5.
Apportons la preuve par le calcul :
Comme la différence est constante, (indépendante de
), on peut conclure que la
suite est arithmétique de
raison –0,5 et de premier terme 
.
Soit 
une suite arithmétique de
raison 
et de premier terme 
.
Alors pour tout 
, on a les relations suivantes.
 et 
|
avec :
|
le premier terme
de la suite
un terme de rang
un terme de rang
un nombre entier
naturel
un nombre entier
naturel
un nombre
réel
Pour obtenir 
:
- en partant de
: on ajoute
fois la raison ;
- en partant de
(lorsque 
) on ajoute 
fois la raison.
Ainsi : 
; 
; 
Ces formules permettent de passer de la définition
par récurrence à la formule explicite.
Soit
une suite arithmétique de
raison 6 et de premier terme 
.Alors on peut dire que
pour tout 
.Ainsi, par exemple,
.
Une suite arithmétique étant de terme
général 
, on peut l'écrire
où 
est la fonction affine 
de coefficient
directeur 
et d'ordonnée à
l'origine 
.
Par conséquent, la représentation graphique d'une suite arithmétique est une série de points alignés.
Une suite arithmétique est donc l'expression discrète d'une fonction affine.
Les points successifs de gauche à droite
correspondent à 
, 
, … , 
: on observe qu'ils sont
alignés sur la droite représentant la
fonction affine 
.
Un retraité ayant placé
24 000 € sur un compte d'épargne se
fait verser chaque mois 250 € depuis ce compte,
sans le recréditer. On note 
le montant restant sur son compte
d'épargne au bout de 
mois.
-
est le terme
général d'une suite arithmétique
de premier terme 
et de
raison −250 puisque 
.
- On peut donc écrire le terme
général :
.
- Ainsi, on peut répondre à une question
du type « au bout de combien de temps son
compte d'épargne aura-t-il diminué de
moitié ? » en résolvant
l'équation
et en
trouvant 
.
On considère un carré 
de côté 1. On
note 
le polygone qui permet de
compléter 
de sorte à obtenir un
carré de côté 2 :
On complète alors la figure avec le polygone
de sorte à obtenir un
carré de côté 3, et ainsi de
suite.
|
|
|
On s'intéresse alors à la suite 
des aires des figures 
.
En calculant les premiers termes de 
, on trouve 
; 
; 
; 
…
La suite semble arithmétique de raison 2 et de
premier terme 
. C'est bien le cas puisque, pour
passer de la figure 
à la
figure 
, on a besoin d'un carré
identique à 
supplémentaire pour la
partie verticale, et d'un deuxième carré
identique supplémentaire pour la partie
horizontale.
On a bien 
: la suite est
arithmétique.
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