Les suites arithmétiques

Une suite  est dite arithmétique s'il existe un réel  tel que  pour tout . Le réel  est appelé raison de la suite.

Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre .

Exemples
La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme .
La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme .

Exemple
On souhaite prouver que la suite  définie par  pour  est une suite arithmétique.
Déroulons rapidement les premiers termes de la suite : 3 ; 2,5 ; 2 ; 1,5 ; …
Il semblerait que l’on ajoute toujours le même nombre (–0,5) pour passer d’un terme à son suivant.
Il semblerait que la différence entre 2 termes consécutifs soit constante, égale à –0,5.

Apportons la preuve par le calcul :




Comme la différence est constante, (indépendante de ), on peut conclure que la suite  est arithmétique de raison –0,5 et de premier terme .

Soit une suite arithmétique de raison et de premier terme .
Alors pour tout , on a les relations suivantes.

et	avec : le premier terme de la suite un terme de rang un terme de rang un nombre entier naturel un nombre entier naturel un nombre réel

Pour obtenir  :

• en partant de  : on ajoute  fois la raison ;
• en partant de (lorsque ) on ajoute  fois la raison.

Ainsi :  ;  ;
Ces formules permettent de passer de la définition par récurrence à la formule explicite.

Exemple
Soit une suite arithmétique de raison 6 et de premier terme .
Alors on peut dire que pour tout .
Ainsi, par exemple, .

Une suite arithmétique étant de terme général , on peut l'écrire où  est la fonction affine de coefficient directeur  et d'ordonnée à l'origine .

Par conséquent, la représentation graphique d'une suite arithmétique est une série de points alignés.

Une suite arithmétique est donc l'expression discrète d'une fonction affine.

Exemple avec

Les points successifs de gauche à droite correspondent à , , … ,  : on observe qu'ils sont alignés sur la droite représentant la fonction affine .

Un retraité ayant placé 24 000 € sur un compte d'épargne se fait verser chaque mois 250 € depuis ce compte, sans le recréditer. On note  le montant restant sur son compte d'épargne au bout de  mois.

• est le terme général d'une suite arithmétique de premier terme et de raison −250 puisque .
• On peut donc écrire le terme général : .
• Ainsi, on peut répondre à une question du type « au bout de combien de temps son compte d'épargne aura-t-il diminué de moitié ? » en résolvant l'équation et en trouvant .

On considère un carré de côté 1. On note  le polygone qui permet de compléter  de sorte à obtenir un carré de côté 2 :

On complète alors la figure avec le polygone de sorte à obtenir un carré de côté 3, et ainsi de suite.

On s'intéresse alors à la suite des aires des figures .
En calculant les premiers termes de , on trouve  ; ;  ; …
La suite semble arithmétique de raison 2 et de premier terme . C'est bien le cas puisque, pour passer de la figure  à la figure , on a besoin d'un carré identique à  supplémentaire pour la partie verticale, et d'un deuxième carré identique supplémentaire pour la partie horizontale.
On a bien  : la suite est arithmétique.