Fiche de cours

Étude de la fonction valeur absolue et de sa dérivation

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Objectif
  • Étudier une nouvelle fonction de référence : la fonction valeur absolue.
Points clés
  • La fonction valeur absolue est la fonction définie sur  par f(x) = ǀxǀ.
  • La valeur absolue d’une expression possède deux expressions algébriques distinctes, selon que l’expression à l’intérieur de la valeur absolue est positive ou non.
    • x si x ≥ 0 ;
    • (−x) si x ≤ 0.
  • Par conséquent, la valeur absolue d’une expression possède deux dérivées distinctes, selon que l’expression à l’intérieur de la valeur absolue est positive ou non.
Pour bien comprendre
  • Fonction dérivée
  • Tableau de signe d’une fonction
  • Tableau de variations d’une fonction
1. La fonction valeur absolue
a. Définition et propriété
Définition
La fonction valeur absolue est la fonction définie sur  par f(x) = ǀxǀ.
Étant donné un réel x, la valeur absolue de x vaut :

x si x ≥ 0 ;

(−x) si x ≤ 0.

La valeur absolue de x se note ǀxǀ.
Propriété
ǀxǀest un réel toujours positif.

 

b. Sens de variation

La fonction valeur absolue est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

Preuve

Rappelons que ǀxǀ = x si x ≥ 0 et ǀxǀ = −x si x ≤ 0.
Il s'agit bien d'une seule fonction, qui prend deux expressions différentes suivant les valeurs de x.
Or, x → x est une fonction affine croissante sur  donc sur [0 ; +∞[, et x → −x est une fonction affine décroissante sur  donc sur ]−∞ ; 0].

c. Dérivabilité

La fonction valeur absolue prenant deux valeurs différentes suivant les valeurs de x, sa dérivée fera de même.

Propriétés
  • Si x < 0, sa dérivée vaut −1.
  • Si x > 0, sa dérivée vaut 1.
  • La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0.
Preuves
  • Si x < 0, ǀxǀ = −x et la dérivée de x → −x est x → −1.
  • Si x > 0, ǀxǀ = x et la dérivée de x → x est x → 1.
  • Pour que la fonction valeur absolue soit dérivable en 0, il doit exister un réel unique L tel que tende vers L lorsque h tend vers 0. Or :
    • si h > 0, donc on aurait L = 1 ;
    • si h < 0, donc on aurait L = −1.

Le même réel L ne pouvant être simultanément égal à deux valeurs distinctes, il n’existe pas. La fonction valeur absolue n’est donc pas dérivable en 0.

2. Utilisation
a. Lien entre valeur absolue et racine carrée
Pour tout x réel, , c'est-à-dire pour x ≥ 0 et pour x ≤ 0.
Exemple :
b. Courbe représentative

c. « Redresser » une courbe

Soit f définie sur par f(x) = x2 − 6x + 8.

f possède deux racines qui sont 2 et 4, on a donc f(x) ≤ 0 pour tout x ∈ [2 ; 4] et f(x) ≥ 0 sinon.

On peut « redresser » f en lui appliquant la fonction valeur absolue, de sorte à n’avoir que des images positives. Voici la courbe de ǀfǀ avec ǀfǀ(x) =ǀx2 − 6x + 8ǀ :

3. Exemple d'étude

Soit g définie par g(x) = ǀ2x − 4ǀ.

On va étudier les variations de g et la représenter.

a. Écritures de g(x)

D’abord, on détermine les deux écritures de g(x) suivant le signe de 2x − 4 :

  • si 2x − 4 > 0, donc si x > 2, g(x) = 2x − 4 ;
  • si 2x − 4 ≤ 0, donc si x ≤ 2, g(x) = −2x − 4.
b. Dérivée et sens de variation de g

On calcule g' pour dresser le tableau de variations :

  • si x > 2, g(x) = 2x − 4 donc g'(x) = 2, donc g'(x) > 0 et g est croissante sur ]2 ; +∞[ ;
  • si x ≤ 2, g(x) = −2x − 4 donc g'(x) = −2, donc g'(x) < 0 et g est décroissante sur ]−∞ ; 2[.
c. Tableau de variations de g

Comme g(2) = 0, on en déduit le tableau de variations :

Remarque
On observe la double barre sur la ligne de g' au niveau de 2, puisque g n’est pas dérivable en 2 (2 annule 2x − 4 et la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0).
La double barre ne se prolonge pas sur la ligne de g car g est définie pour x = 2 puisque g(2) = 0.
d. Représentation graphique de g

On obtient la courbe représentative suivante :

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