Étude de la fonction valeur absolue et de sa dérivation

La fonction valeur absolue est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

Rappelons que ǀxǀ = x si x ≥ 0 et ǀxǀ = −x si x ≤ 0.
Il s'agit bien d'une seule fonction, qui prend deux expressions différentes suivant les valeurs de x.
Or, x → x est une fonction affine croissante sur ℝ donc sur [0 ; +∞[, et x → −x est une fonction affine décroissante sur ℝ donc sur ]−∞ ; 0].

La fonction valeur absolue prenant deux valeurs différentes suivant les valeurs de x, sa dérivée fera de même.

• Si x < 0, ǀxǀ = −x et la dérivée de x → −x est x → −1.
• Si x > 0, ǀxǀ = x et la dérivée de x → x est x → 1.
• Pour que la fonction valeur absolue soit dérivable en 0, il doit exister un réel unique L tel que tende vers L lorsque h tend vers 0. Or :
  • si h > 0, donc on aurait L = 1 ;
  • si h < 0, donc on aurait L = −1.

Le même réel L ne pouvant être simultanément égal à deux valeurs distinctes, il n’existe pas. La fonction valeur absolue n’est donc pas dérivable en 0.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x² − 6x + 8.

f possède deux racines qui sont 2 et 4, on a donc f(x) ≤ 0 pour tout x ∈ [2 ; 4] et f(x) ≥ 0 sinon.

On peut « redresser » f en lui appliquant la fonction valeur absolue, de sorte à n’avoir que des images positives. Voici la courbe de ǀfǀ avec ǀfǀ(x) =ǀx² − 6x + 8ǀ :

D’abord, on détermine les deux écritures de g(x) suivant le signe de 2x − 4 :

• si 2x − 4 > 0, donc si x > 2, g(x) = 2x − 4 ;
• si 2x − 4 ≤ 0, donc si x ≤ 2, g(x) = −2x − 4.

On calcule g' pour dresser le tableau de variations :

• si x > 2, g(x) = 2x − 4 donc g'(x) = 2, donc g'(x) > 0 et g est croissante sur ]2 ; +∞[ ;
• si x ≤ 2, g(x) = −2x − 4 donc g'(x) = −2, donc g'(x) < 0 et g est décroissante sur ]−∞ ; 2[.

Comme g(2) = 0, on en déduit le tableau de variations :

On obtient la courbe représentative suivante :