Somme des termes d'une suite géométrique
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- Connaitre la formule de la somme des premières puissances d'un nombre et l'utiliser.
- Savoir calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, directement ou non.
- La somme des premières puissances de est : où .
- La somme des premiers termes d’une suite géométrique de raison est : .
- Notion de suite
- Suite géométrique
- Terme général d'une suite
- Puissances d'un nombre
On dit qu'une suite est géométrique s'il existe un réel non nul tel que pour tout on ait . Le réel s'appelle la raison de la suite.
La suite définie par avec est une suite géométrique de raison 2.
Les premiers termes de cette suite sont 1, 2, 4, 8, 16…
Dire qu'une suite de termes non nuls est géométrique signifie que le quotient de 2 termes consécutifs quelconques est constant quel que soit .
Le terme général d'une suite géométrique peut s'exprimer directement en fonction de avec ou quel que soit .
Il est ainsi possible, connaissant ou et , de calculer n’importe quel terme de la suite.
Pour une suite géométrique de raison (–0,3) et de premier terme , on peut écrire et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite.
Par exemple, .
pour
En multipliant S par on obtient :
Soustrayons membre à membre ces
2 inégalités :
Dans le membre de droite, , , , …, s'éliminent.
Ainsi, il reste .
En divisant par non nul pour , on obtient .
On retiendra que est le nombre de termes dans la somme S.
La somme des 10 premières puissances de 2 est .
On considère la suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme .
Calculer la somme .
L'expression de en fonction de est .
Ainsi, la somme S s'écrit
et en factorisant par on obtient :
En utilisant la formule on obtient :
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