Somme des termes d'une suite géométrique- Première- Mathématiques - Maxicours

Somme des termes d'une suite géométrique

Objectifs
  • Connaitre la formule de la somme des premières puissances d'un nombre et l'utiliser.
  • Savoir calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, directement ou non.
Points clés
  • La somme des premières puissances de est : .
  • La somme des premiers termes d’une suite géométrique de raison  est : .
Pour bien comprendre
  • Notion de suite
  • Suite géométrique
  • Terme général d'une suite
  • Puissances d'un nombre
1. Rappels sur les suites géometriques
Définition
On dit qu'une suite est géométrique s'il existe un réel  non nul tel que pour tout  on ait . Le réel  s'appelle la raison de la suite.
Exemple
La suite définie par avec est une suite géométrique de raison 2.
Les premiers termes de cette suite sont 1, 2, 4, 8, 16…

Dire qu'une suite de termes non nuls est géométrique signifie que le quotient  de 2 termes consécutifs quelconques est constant quel que soit .

Propriété
Le terme général d'une suite géométrique peut s'exprimer directement en fonction de  avec ou quel que soit .

Il est ainsi possible, connaissant ou  et , de calculer n’importe quel terme de la suite.

Exemple
Pour une suite géométrique de raison (–0,3) et de premier terme , on peut écrire et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite.
Par exemple, .
2. Somme des puissances d’un réel q

pour

Remarque : pour cette somme vaut simplement .
Preuve


En multipliant S par on obtient :
Soustrayons membre à membre ces 2 inégalités :

Dans le membre de droite, , , , …, s'éliminent.

Ainsi, il reste .

En divisant par non nul pour , on obtient .

On retiendra que est le nombre de termes dans la somme S.

Exemple
La somme des 10 premières puissances de 2 est .
3. Somme de termes consécutifs d'une suite géometrique

On considère la suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme .

Calculer la somme .

L'expression de en fonction de est .

Ainsi, la somme S s'écrit
et en factorisant par on obtient :

En utilisant la formule on obtient :

Remarque : on peut bien sûr retenir ces formules, mais on les retrouve rapidement en combinant le terme général d'une suite géométrique et la somme des premières puissances de la raison .

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