Fonction dérivable, fonction dérivée
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- Définir une fonction dérivable sur un intervalle.
- Définir une fonction dérivée.
- Écrire une équation de tangente.
- Connaitre l'écriture différentielle utilisée en Sciences physiques.
- Une fonction
est dérivable
en 
si 
admet un nombre
dérivé noté 
en 
.
- Une fonction
est dérivable sur un
intervalle I si elle est dérivable pour
tout 
appartenant à I.
- La fonction dérivée
associe à tout
nombre 
le nombre 
.
- Si
est dérivable
en 
, la tangente à la courbe au
point d'abscisse 
a pour coefficient
directeur 
et pour équation
.
- Nombre dérivé
- Équation de droite
Soit 
une fonction définie sur
un intervalle I. Soient 
et 
deux éléments
de I.
est dérivable
en 
» signifie qu'il
existe un réel L vers lequel le taux de
variation de 
tend
lorsque 
tend vers 
.Autrement dit, plus
est proche de 
, plus 
est proche de L.Lorsqu'il existe, ce réel L est noté
et s'appelle le
nombre dérivé de 
en 
.
Si on pose 
, alors le taux de variation
s'écrit 
. Comme
lorsque 
est proche de 
, 
est proche de 0,
alors 
est donc aussi le nombre dont
se rapproche
lorsque 
se rapproche de 0.
Dire que « 
est dérivable
sur I » signifie
que 
est dérivable en tout
élément 
de I.
sur I, est la fonction
notée 
qui à
tout 
fait
correspondre 
, le nombre
dérivé de 
en x.
:
- On calcule
.
- On étudie vers quoi tend
lorsque 
tend vers 0.
C’est 
.
- On en déduit la fonction
dérivée
: 
en
remplaçant par dans .
Soit la fonction
définie sur
par 
et 
.
Lorsque
tend vers 0, cette
dernière fraction tend vers 
. Donc pour tout 
, 
.La fonction inverse
admet donc comme
fonction dérivée : 
.
On appelle tangente à 
au point A la droite
« position limite » des
sécantes passant par A et par un autre point
de 
se rapprochant de A.
Lorsque
est dérivable
en 
, la courbe représentative
de 
admet au point A
d'abscisse 
, une tangente de coefficient
directeur 
.Une équation de cette tangente, droite passant par le point
et de coefficient
directeur 
est donnée par :
.
Si on connait les expressions algébriques
d’une fonction 
et de sa fonction
dérivée 
, alors on peut déterminer
l’équation de la tangente
à 
au point
d’abscisse 
.
Soit la fonction
définie
sur 
par 
et soit H sa courbe
représentative (hyperbole). On cherche à
déterminer l'équation de la tangente
à H au point d'abscisse 0,5.
est dérivable
sur 
et sa fonction dérivée
est 
.On a
. Une équation de la
tangente au point A (0,5 ; 2)
à la courbe H est :
donc 
.
Si 
est dérivable
en 
, 
quand 
tend vers 
.
En physique, on note :
et 
donc 
tend vers 
lorsque 
tend vers 
:
si 
est assez proche
de 
.
On exprime cela symboliquement par la notation
différentielle :
où 
.
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