Fonction dérivable, fonction dérivée - Maxicours

Fonction dérivable, fonction dérivée

Objectifs
  • Définir une fonction dérivable sur un intervalle.
  • Définir une fonction dérivée.
  • Écrire une équation de tangente.
  • Connaitre l'écriture différentielle utilisée en Sciences physiques.
Points clés
  • Une fonction  est dérivable en  si  admet un nombre dérivé noté  en .
  • Une fonction  est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable pour tout  appartenant à I.
  • La fonction dérivée  associe à tout nombre  le nombre .
  • Si est dérivable en , la tangente à la courbe au point d'abscisse  a pour coefficient directeur  et pour équation .
Pour bien comprendre
  • Nombre dérivé
  • Équation de droite
1. Nombre dérivé, fonction dérivée
a. Fonction dérivable en a et nombre dérivé (rappel)

Soit  une fonction définie sur un intervalle I. Soient  et  deux éléments de I.

Dire que «  est dérivable en  » signifie qu'il existe un réel L vers lequel le taux de variation de  tend lorsque  tend vers .
Autrement dit, plus  est proche de , plus  est proche de L.
Lorsqu'il existe, ce réel L est noté  et s'appelle le nombre dérivé de  en .

Si on pose , alors le taux de variation s'écrit . Comme lorsque  est proche de , est proche de 0, alors  est donc aussi le nombre dont se rapproche lorsque  se rapproche de 0.

b. Fonction dérivable sur I et fonction dérivée

Dire que «  est dérivable sur I » signifie que  est dérivable en tout élément  de I.

La fonction dérivée de  sur I, est la fonction notée  qui à tout  fait correspondre , le nombre dérivé de  en x.
Méthode
Pour déterminer la fonction dérivée de  :
  1. On calcule .
  2. On étudie vers quoi tend  lorsque  tend vers 0. C’est .
  3. On en déduit la fonction dérivée  :  en remplaçant   par  dans .
Exemple
Soit la fonction définie sur par et .


Lorsque tend vers 0, cette dernière fraction tend vers . Donc pour tout , .
La fonction inverse admet donc comme fonction dérivée : .

 

2. Interprétation graphique

On appelle tangente à au point A la droite « position limite » des sécantes passant par A et par un autre point de  se rapprochant de A.

Théorème
Lorsque est dérivable en , la courbe représentative de  admet au point A d'abscisse , une tangente de coefficient directeur .

Une équation de cette tangente, droite passant par le point  et de coefficient directeur  est donnée par : .
Application : déterminer une équation de tangente

Si on connait les expressions algébriques d’une fonction et de sa fonction dérivée , alors on peut déterminer l’équation de la tangente à  au point d’abscisse .

Exemple
Soit la fonction  définie sur  par  et soit H sa courbe représentative (hyperbole). On cherche à déterminer l'équation de la tangente à H au point d'abscisse 0,5.
est dérivable sur  et sa fonction dérivée est .
On a . Une équation de la tangente au point A (0,5 ; 2) à la courbe H est :
donc .

 

3. Écriture différentielle

Si  est dérivable en  quand  tend vers .

En physique, on note :
et  donc  tend vers  lorsque  tend vers  :
si  est assez proche de .

On exprime cela symboliquement par la notation différentielle :
où .

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