Équations de cercles - Maxicours

Équations de cercles

Objectifs
  • Définir un cercle de centre I et de rayon R.
  • Déterminer l’équation d’un cercle donné par son centre et son rayon.
  • Reconnaitre l'équation d’un cercle et déterminer le centre et le rayon.
Points clés
  • Un cercle de centre I et de rayon R est l’ensemble des points M du plan situés à égale distance R de I, c’est-à-dire tels que IM = R.
  • Une équation du cercle de centre et de rayon R est .
  • Une équation de la forme  peut être une équation d’un cercle, mais pas toujours. Pour mettre en évidence une éventuelle équation de cercle, on rassemble les x et les y et on utilise les identités remarquables afin d'écrire l'équation sous la forme . Si k<0 alors c'est bien l'équation d'un cercle de centre I  et de rayon .
Pour bien comprendre
  • Identités remarquables

Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un repère orthonormé .

1. Définitions
a. Le cercle de centre I et de rayon R

Soit I un point du plan et R un nombre réel strictement positif.

Un cercle de centre I et de rayon R est l’ensemble des points M du plan situés à égale distance R de I, c’est-à-dire tels que IM = R.
b. Corde, diamètre et tangente à un cercle
Une corde d’un cercle est un segment reliant deux points du cercle.
Un diamètre d’un cercle est une corde qui passe par le centre du cercle.
La droite tangente au cercle est la droite qui passe par une extrémité d’un diamètre en étant perpendiculaire.

 

c. Cercle circonscrit à un triangle rectangle
Le cercle circonscrit à un triangle rectangle (c’est-à-dire le cercle qui passe par les trois sommets du triangle) est le cercle de diamètre l’hypoténuse (le centre est le milieu de L’hypoténuse).
2. Équation de cercle
a. Déterminer l'équation d'un cercle connaissant le centre et le rayon

Le cercle C de centre I (b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :

Une équation du cercle C de centre I (a,b) et de rayon R est
Preuve
Soit M (x ; y) un point quelconque du cercle C.

IM = R

Remarque : on peut aussi donner une équation développée ce qui donne :

En utilisant les identités remarquables :

 avec  et 

Exemple
Une équation du cercle (C) de centre I(–2;1) et de rayon 3 est .
On peut aussi donner une équation développée ce qui donne :

b. Reconnaitre une équation de cercle, déterminer le centre et le rayon
Une équation de la forme  peut être une équation d’un cercle, mais pas toujours.

Pour vérifier si c'est le cas, il faut écrire l'équation sous la forme   en faisant intervenir les identités remarquables puis observer la valeur de k.
Si k<0  alors  correspond à l'équation du cercle de centre I  et de rayon .

Méthode
  • On regroupe les termes en x et en y : 
  • On traite  comme le début du développement d'un carré, en utilisant l'identité remarquable  : .
  • On fait de même avec  en utilisant l'identité remarquable   : 
  • On obtient l'équation suivante   qui est de la forme  avec  ,  et .
  • 3 cas sont possibles selon la valeur de k :
    • Si k<0  alors k>0 et on peut écrire . On reconnait l'équation du cercle de centre I  et de rayon .
    • Si k=0 alors  donc  et , donc  et . Le seul point vérifiant l'équation est le point de coordonnées .
    • Si k>0  alors k<0. Aucun point ne vérifie l'équation car  est une absurdité puisque le membre de gauche est positif et celui de droite est négatif.

    À travers trois exemples, nous allons voir les trois cas possibles : les solutions de l’équations sont les points d’un cercle, un point ou l’ensemble vide.

    Exemple 1
    Quel est l’ensemble des points M(x,y) vérifiant ?

    On remarque que cette équation peut être une équation de cercle.
    Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir la forme .

    s’écrit aussi .
    Or est le début du développement de   et plus précisément . De même, .
    Ainsi,   s’écrit aussi soit , c’est-à-dire .
    Cette équation est de la forme avec a = 1 , (attention au signe – !) et .
    On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centre et de rayon .

    Exemple 2
    Quel est l’ensemble des points M(x ; y) tels que  ?




    On a une somme de deux carrés nulle donc ces carrés sont nuls.
     donc  donc 
     donc  donc 
    L'ensemble des solutions est donc formé d'un seul point : le point de coordonnées (-3 ; 2)
    Exemple 3
    Quel est l’ensemble des points M(x ; y) tels que 
    On procède comme à l'exemple 2 et on obtient 


    Or la somme de deux carrés est positive et ne peut donc pas être égale à . L'ensemble des solutions est vide.
3. Intersection d’un cercle et une droite
a. Nombre de points d’une intersection d’un cercle et une droite
Propriété
Un cercle et une droite peuvent avoir deux points communs, un seul point commun ou aucun point commun.
Exemple
La droite verte coupe le cercle en deux points G et H. La droite rouge coupe le cercle en un point. La droite bleue ne coupe pas le cercle.
Remarque
Lorsque la droite a un seul point commun avec le cercle, on dit que cette droite est la tangente à ce cercle en ce point
b. Déterminer les coordonnées de la ou des intersections entre une droite et un cercle

Les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C doivent vérifier les deux équations de la droite D et du cercle C, c’est-à-dire un système formé par ces deux équations.

Exemple
On considère le cercle C de centre I(–1 ; 2) et de rayon 3 et la droite D d’équation y = –x – 2.
Déterminer l’intersection de la droite D et du cercle C.

Les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C doivent vérifier les deux équations de la droite D et du cercle C, c’est-à-dire un système formé par ces deux équations.
Le cercle C de centre I(–1 ; 2) et de rayon 3 a pour équation :
(x – (–1))2 + (y – 2)2 = 32 soit (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9.

Une équation de la droite D est y = –x – 2 donc on doit résoudre le système suivant.




On résout l’équation de second degré 2x2 + 10x + 8 = 0 et on reprend notre système.
2x2 + 10x + 8 = 0





Donc notre système est équivalent à ce qui est équivalent à
soit
c'est-à-dire
Donc les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C sont (–1 ; –1) et (–4 ; 2).
c. Intersection d’un cercle avec une droite parallèle à l’axe des abscisses

Soit un cercle C de centre I(a ; b) et de rayon R et une droite D parallèle à l’axe des abscisses d’équation y = m.

  • Si m  ]b – R ; b + R[ alors la droite D coupe le cercle en deux points.
  • Si m = b – R ou m = b + R alors la droite D coupe le cercle en un seul point.
  • Si m  [b – R ; b + R] alors la droite D ne coupe pas le cercle.
Preuve

Une équation du cercle est de la forme (x – a)2 + (y – b)2 = R2. Comme une équation de la droite D est de la forme y = m, on a donc :
(x – a)2 + (m – b)2 = R2
(x – a)2 = R2 – (m – b)2
Ainsi :

  • Si R2 – (m – b)2 > 0 c’est-à-dire R2 > (m – b)2 c’est-à-dire R – b < m < R + b, alors l’équation précédente a deux solutions.
  • Si R2 – (m – b)2 = 0 c’est-à-dire R2 = (m – b)2 c’est-à-dire m = R b ou m = R + b, alors l’équation précédente a une seule solution.
  • Si R2 – (m – b)2 < 0, un carré ne peut pas être négatif donc l'équation précédente n’a pas de solution.

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