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Équations de cercles

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Objectifs

Définir un cercle de centre I et de rayon R.
Déterminer l’équation d’un cercle donné par son centre et son rayon.
Reconnaitre l'équation d’un cercle et déterminer le centre et le rayon.

Points clés

Un cercle de centre I et de rayon R est l’ensemble des points M du plan situés à égale distance R de I, c’est-à-dire tels que IM = R.
Une équation du cercle de centre et de rayon R est .
Une équation de la forme peut être une équation d’un cercle, mais pas toujours. Pour mettre en évidence une éventuelle équation de cercle, on rassemble les x et les y et on utilise les identités remarquables afin d'écrire l'équation sous la forme . Si k<0 alors c'est bien l'équation d'un cercle de centre I et de rayon .

Pour bien comprendre

Identités remarquables

Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un repère orthonormé .

1. Définitions

a. Le cercle de centre I et de rayon R

Soit I un point du plan et R un nombre réel strictement positif.

Un cercle de centre I et de rayon R est l’ensemble des points M du plan situés à égale distance R de I, c’est-à-dire tels que IM = R.

b. Corde, diamètre et tangente à un cercle

Une corde d’un cercle est un segment reliant deux points du cercle.

Un diamètre d’un cercle est une corde qui passe par le centre du cercle.

La droite tangente au cercle est la droite qui passe par une extrémité d’un diamètre en étant perpendiculaire.

c. Cercle circonscrit à un triangle rectangle

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle (c’est-à-dire le cercle qui passe par les trois sommets du triangle) est le cercle de diamètre l’hypoténuse (le centre est le milieu de L’hypoténuse).

2. Équation de cercle

a. Déterminer l'équation d'un cercle connaissant le centre et le rayon

Le cercle C de centre I (a , b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :

Une équation du cercle C de centre I (a,b) et de rayon R est

Preuve

Soit M (x ; y) un point quelconque du cercle C.

IM = R

Remarque : on peut aussi donner une équation développée ce qui donne :

En utilisant les identités remarquables :

avec , et

Exemple
Une équation du cercle (C) de centre I(–2;1) et de rayon 3 est

.
On peut aussi donner une équation développée ce qui donne :

b. Reconnaitre une équation de cercle, déterminer le centre et le rayon

Une équation de la forme

peut être une équation d’un cercle, mais pas toujours.

Pour vérifier si c'est le cas, il faut écrire l'équation sous la forme en faisant intervenir les identités remarquables puis observer la valeur de k.
Si k<0 alors correspond à l'équation du cercle de centre I et de rayon .

Méthode

On regroupe les termes en x et en y :
On traite comme le début du développement d'un carré, en utilisant l'identité remarquable : .
On fait de même avec en utilisant l'identité remarquable :
On obtient l'équation suivante qui est de la forme avec , et .
3 cas sont possibles selon la valeur de k :
- Si k<0 alors –k>0 et on peut écrire . On reconnait l'équation du cercle de centre I et de rayon .
- Si k=0 alors donc et , donc et . Le seul point vérifiant l'équation est le point de coordonnées .
- Si k>0 alors –k<0. Aucun point ne vérifie l'équation car est une absurdité puisque le membre de gauche est positif et celui de droite est négatif.
À travers trois exemples, nous allons voir les trois cas possibles : les solutions de l’équations sont les points d’un cercle, un point ou l’ensemble vide.

Exemple 1
Quel est l’ensemble des points M(x,y) vérifiant ?
On remarque que cette équation peut être une équation de cercle.
Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir la forme .

s’écrit aussi .
Or est le début du développement de et plus précisément . De même, .
Ainsi, s’écrit aussi soit , c’est-à-dire .
Cette équation est de la forme avec a = 1 , (attention au signe – !) et .
On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centre et de rayon .

Exemple 2
Quel est l’ensemble des points M(x ; y) tels que  ?

On a une somme de deux carrés nulle donc ces carrés sont nuls.
donc  donc
donc  donc
L'ensemble des solutions est donc formé d'un seul point : le point de coordonnées (-3 ; 2)

Exemple 3
Quel est l’ensemble des points M(x ; y) tels que
On procède comme à l'exemple 2 et on obtient

Or la somme de deux carrés est positive et ne peut donc pas être égale à . L'ensemble des solutions est vide.

3. Intersection d’un cercle et une droite

a. Nombre de points d’une intersection d’un cercle et une droite

Propriété
Un cercle et une droite peuvent avoir deux points communs, un seul point commun ou aucun point commun.

Exemple

La droite verte coupe le cercle en deux points G et H. La droite rouge coupe le cercle en un point. La droite bleue ne coupe pas le cercle.

Remarque
Lorsque la droite a un seul point commun avec le cercle, on dit que cette droite est la tangente à ce cercle en ce point

b. Déterminer les coordonnées de la ou des intersections entre une droite et un cercle

Les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C doivent vérifier les deux équations de la droite D et du cercle C, c’est-à-dire un système formé par ces deux équations.

Exemple
On considère le cercle C de centre I(–1 ; 2) et de rayon 3 et la droite D d’équation y = –x – 2.
Déterminer l’intersection de la droite D et du cercle C.

Les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C doivent vérifier les deux équations de la droite D et du cercle C, c’est-à-dire un système formé par ces deux équations.
Le cercle C de centre I(–1 ; 2) et de rayon 3 a pour équation :
(x – (–1))² + (y – 2)² = 3² soit (x + 1)² + (y – 2)² = 9.

Une équation de la droite D est y = –x – 2 donc on doit résoudre le système suivant.

On résout l’équation de second degré 2x² + 10x + 8 = 0 et on reprend notre système.
2x² + 10x + 8 = 0

Donc notre système est équivalent à

ce qui est équivalent à

soit

c'est-à-dire

Donc les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C sont (–1 ; –1) et (–4 ; 2).

c. Intersection d’un cercle avec une droite parallèle à l’axe des abscisses

Soit un cercle C de centre I(a ; b) et de rayon R et une droite D parallèle à l’axe des abscisses d’équation y = m.

Si m ]b – R ; b + R[ alors la droite D coupe le cercle en deux points.
Si m = b – R ou m = b + R alors la droite D coupe le cercle en un seul point.
Si m [b – R ; b + R] alors la droite D ne coupe pas le cercle.

Preuve

Une équation du cercle est de la forme (x – a)² + (y – b)² = R². Comme une équation de la droite D est de la forme y = m, on a donc :
(x – a)² + (m – b)² = R²
(x – a)² = R² – (m – b)²
Ainsi :

Si R² – (m – b)² > 0 c’est-à-dire R² > (m – b)² c’est-à-dire R – b < m < R + b, alors l’équation précédente a deux solutions.
Si R² – (m – b)² = 0 c’est-à-dire R² = (m – b)² c’est-à-dire m = R – b ou m = R + b, alors l’équation précédente a une seule solution.
Si R² – (m – b)² < 0, un carré ne peut pas être négatif donc l'équation précédente n’a pas de solution.