Équations de cercles

Soit I un point du plan et R un nombre réel strictement positif.

Le cercle C de centre I (a , b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :

Une équation du cercle C de centre I (a,b) et de rayon R est

IM = R

Exemple
Une équation du cercle (C) de centre I(–2;1) et de rayon 3 est .
On peut aussi donner une équation développée ce qui donne :

Une équation de la forme  peut être une équation d’un cercle, mais pas toujours.

Pour vérifier si c'est le cas, il faut écrire l'équation sous la forme   en faisant intervenir les identités remarquables puis observer la valeur de k.
Si k<0  alors  correspond à l'équation du cercle de centre I  et de rayon .

• On regroupe les termes en x et en y : 
• On traite  comme le début du développement d'un carré, en utilisant l'identité remarquable  : .
• On fait de même avec  en utilisant l'identité remarquable   : 
  
• On obtient l'équation suivante   qui est de la forme  avec  ,  et .
• 3 cas sont possibles selon la valeur de k :
  • Si k<0  alors –k>0 et on peut écrire . On reconnait l'équation du cercle de centre I  et de rayon .
  • Si k=0 alors  donc  et , donc  et . Le seul point vérifiant l'équation est le point de coordonnées .
  • Si k>0  alors –k<0. Aucun point ne vérifie l'équation car  est une absurdité puisque le membre de gauche est positif et celui de droite est négatif.

  À travers trois exemples, nous allons voir les trois cas possibles : les solutions de l’équations sont les points d’un cercle, un point ou l’ensemble vide.

  Exemple 1
  Quel est l’ensemble des points M(x,y) vérifiant ?

  On remarque que cette équation peut être une équation de cercle.
  Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir la forme .
  
  s’écrit aussi .
  Or est le début du développement de   et plus précisément . De même, .
  Ainsi,   s’écrit aussi soit , c’est-à-dire .
  Cette équation est de la forme avec a = 1 , (attention au signe – !) et .
  On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centre et de rayon .

  Exemple 2
  Quel est l’ensemble des points M(x ; y) tels que  ?
  
  
  
  
  On a une somme de deux carrés nulle donc ces carrés sont nuls.
   donc  donc 
   donc  donc 
  L'ensemble des solutions est donc formé d'un seul point : le point de coordonnées (-3 ; 2)
  Exemple 3
  Quel est l’ensemble des points M(x ; y) tels que 
  On procède comme à l'exemple 2 et on obtient 
  
  
  Or la somme de deux carrés est positive et ne peut donc pas être égale à . L'ensemble des solutions est vide.

Les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C doivent vérifier les deux équations de la droite D et du cercle C, c’est-à-dire un système formé par ces deux équations.

Exemple
On considère le cercle C de centre I(–1 ; 2) et de rayon 3 et la droite D d’équation y = –x – 2.
Déterminer l’intersection de la droite D et du cercle C.

Les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C doivent vérifier les deux équations de la droite D et du cercle C, c’est-à-dire un système formé par ces deux équations.
Le cercle C de centre I(–1 ; 2) et de rayon 3 a pour équation :
(x – (–1))² + (y – 2)² = 3² soit (x + 1)² + (y – 2)² = 9.

Une équation de la droite D est y = –x – 2 donc on doit résoudre le système suivant.




On résout l’équation de second degré 2x² + 10x + 8 = 0 et on reprend notre système.
2x² + 10x + 8 = 0





Donc notre système est équivalent à ce qui est équivalent à
soit
c'est-à-dire
Donc les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C sont (–1 ; –1) et (–4 ; 2).

Soit un cercle C de centre I(a ; b) et de rayon R et une droite D parallèle à l’axe des abscisses d’équation y = m.

• Si m  ]b – R ; b + R[ alors la droite D coupe le cercle en deux points.
• Si m = b – R ou m = b + R alors la droite D coupe le cercle en un seul point.
• Si m  [b – R ; b + R] alors la droite D ne coupe pas le cercle.

Une équation du cercle est de la forme (x – a)² + (y – b)² = R². Comme une équation de la droite D est de la forme y = m, on a donc :
(x – a)² + (m – b)² = R²
(x – a)² = R² – (m – b)²
Ainsi :

• Si R² – (m – b)² > 0 c’est-à-dire R² > (m – b)² c’est-à-dire R – b < m < R + b, alors l’équation précédente a deux solutions.
• Si R² – (m – b)² = 0 c’est-à-dire R² = (m – b)² c’est-à-dire m = R – b ou m = R + b, alors l’équation précédente a une seule solution.
• Si R² – (m – b)² < 0, un carré ne peut pas être négatif donc l'équation précédente n’a pas de solution.