Équations de cercles
- Définir un cercle de centre I et de rayon R.
- Déterminer l’équation d’un cercle donné par son centre et son rayon.
- Reconnaitre l'équation d’un cercle et déterminer le centre et le rayon.
- Un cercle de centre I et de rayon R est l’ensemble des points M du plan situés à égale distance R de I, c’est-à-dire tels que IM = R.
- Une équation du cercle de centre
et de rayon R est
.
- Une équation de la forme
peut être une équation d’un cercle, mais pas toujours. Pour mettre en évidence une éventuelle équation de cercle, on rassemble les x et les y et on utilise les identités remarquables afin d'écrire l'équation sous la forme
. Si k<0 alors c'est bien l'équation d'un cercle de centre I
et de rayon
.
- Identités remarquables
Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un
repère orthonormé .
Soit I un point du plan et R un nombre réel strictement positif.



Le cercle C de centre I (a , b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :

IM = R
En utilisant les identités remarquables :
avec
,
et
Une équation du cercle (C) de centre I(–2;1) et de rayon 3 est

On peut aussi donner une équation développée ce qui donne :

Pour vérifier si c'est le cas, il faut
écrire l'équation sous la
forme en faisant intervenir
les identités remarquables puis observer la
valeur de k.
Si k<0 alors correspond
à l'équation du cercle de centre
I
et de
rayon
.
- On regroupe les termes en x et en y :
- On traite
comme le début du développement d'un carré, en utilisant l'identité remarquable
:
.
- On fait de même avec
en utilisant l'identité remarquable
:
- On obtient l'équation
suivante
qui est de la forme
avec
,
et
.
-
3 cas sont possibles selon la valeur de
k :
- Si k<0 alors
–k>0 et
on peut écrire
. On reconnait l'équation du cercle de centre I
et de rayon
.
- Si k=0
alors
donc
et
, donc
et
. Le seul point vérifiant l'équation est le point de coordonnées
.
- Si k>0 alors –k<0. Aucun
point ne vérifie l'équation
car
est une absurdité puisque le membre de gauche est positif et celui de droite est négatif.
À travers trois exemples, nous allons voir les trois cas possibles : les solutions de l’équations sont les points d’un cercle, un point ou l’ensemble vide.
Exemple 1
Quel est l’ensemble des points M(x,y) vérifiant?
On remarque que cette équation peut être une équation de cercle.
Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir la forme.
s’écrit aussi
.
Orest le début du développement de
et plus précisément
. De même,
.
Ainsi,s’écrit aussi
soit
, c’est-à-dire
.
Cette équation est de la formeavec a = 1 ,
(attention au signe – !) et
.
On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centreet de rayon
.
Exemple 2
Quel est l’ensemble des points M(x ; y) tels que?
On a une somme de deux carrés nulle donc ces carrés sont nuls.
donc
donc
donc
donc
L'ensemble des solutions est donc formé d'un seul point : le point de coordonnées (-3 ; 2)Exemple 3
Quel est l’ensemble des points M(x ; y) tels que
On procède comme à l'exemple 2 et on obtient
Or la somme de deux carrés est positive et ne peut donc pas être égale à. L'ensemble des solutions est vide.
- Si k<0 alors
–k>0 et
on peut écrire
Un cercle et une droite peuvent avoir deux points communs, un seul point commun ou aucun point commun.

Lorsque la droite a un seul point commun avec le cercle, on dit que cette droite est la tangente à ce cercle en ce point
Les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C doivent vérifier les deux équations de la droite D et du cercle C, c’est-à-dire un système formé par ces deux équations.
On considère le cercle C de centre I(–1 ; 2) et de rayon 3 et la droite D d’équation y = –x – 2.
Déterminer l’intersection de la droite D et du cercle C.
Les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C doivent vérifier les deux équations de la droite D et du cercle C, c’est-à-dire un système formé par ces deux équations.
Le cercle C de centre I(–1 ; 2) et de rayon 3 a pour équation :
(x – (–1))2 + (y – 2)2 = 32 soit (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9.
Une équation de la droite D est y = –x – 2 donc on doit résoudre le système suivant.




On résout l’équation de second degré 2x2 + 10x + 8 = 0 et on reprend notre système.
2x2 + 10x + 8 = 0




Donc notre système est équivalent à


soit

c'est-à-dire

Donc les coordonnées des points d’intersection de la droite D et du cercle C sont (–1 ; –1) et (–4 ; 2).

Soit un cercle C de centre I(a ; b) et de rayon R et une droite D parallèle à l’axe des abscisses d’équation y = m.
-
Si m
]b – R ; b + R[ alors la droite D coupe le cercle en deux points.
- Si m = b – R ou m = b + R alors la droite D coupe le cercle en un seul point.
- Si m
[b – R ; b + R] alors la droite D ne coupe pas le cercle.
Une équation du cercle est de la forme
(x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Comme une équation de la droite D est de la
forme y = m, on a donc :
(x – a)2 + (m
– b)2 = R2
(x – a)2 = R2 – (m – b)2
Ainsi :
- Si R2 – (m – b)2 > 0 c’est-à-dire R2 > (m – b)2 c’est-à-dire R – b < m < R + b, alors l’équation précédente a deux solutions.
- Si R2 – (m – b)2 = 0 c’est-à-dire R2 = (m – b)2 c’est-à-dire m = R – b ou m = R + b, alors l’équation précédente a une seule solution.
- Si R2 – (m – b)2 < 0, un carré ne peut pas être négatif donc l'équation précédente n’a pas de solution.


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