Factoriser un polynôme du second degré grâce aux identités remarquables
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Factoriser un polynôme de degré deux avec une identité remarquable.
- Une racine d’un polynôme est une valeur
de
qui annule le polynôme.
- Une méthode simple de factorisation consiste à rechercher une identité remarquable.
- Identités remarquables de collège
- Factorisation d'une expression
- Fonction polynôme de degré deux
Factoriser un polynôme du second degré consiste
à l’écrire sous la forme d’un produit
de polynôme du premier degré.
Ce n’est possible que si la fonction polynôme
possède 1 ou 2 racines.
Il existe 3 identités remarquables :
Soit un polynôme de degré deux, sans terme de
premier degré, et dont l'expression
développée correspond à la différence
de deux carrés : 
.
On identifie l'identité remarquable 
.
On peut donc utiliser la relation 
avec 
et 
.
On obtient 
Factoriser l'expression
.On reconnait la différence de deux carrés :
.On applique l'identité remarquable et on obtient :
.
Factoriser
.On remarque que 81 = 92 ; on peut donc utiliser la première identité remarquable en posant :
a = 2x – 1 et b = 9.
Soit un polynôme de degré dont l'expression
développée est de la forme : 
Le terme de second degré et le terme constant sont des carrés. Le terme de degré un est le double produit de leurs racines carrées.
On applique l'identité remarquable avec 
et 
On obtient 
De la même façon, un polynôme de la
forme 
se factorise
en 
Le terme de second degré et le terme constant sont des carrés. Le terme de degré un est le double produit de leurs racines carrées.
On applique l'identité remarquable
avec 
et 
et on
obtient 
Si le coefficient du terme en 
n'est pas lui-même
le carré d'un entier, on peut commencer par
factoriser par ce coefficient pour faire apparaitre plus
facilement une identité remarquable.
- On factorise par
de sorte à obtenir un
terme en 
de coefficient 1 dans
l'expression à factoriser : 
. Pour la suite, on
pose 
- On teste si
est de la forme d'une
des 3 identités remarquables. Pour cela :
- on écrit le terme constant sous la forme du
carré d'un nombre
;
- on teste si le coefficient du terme
en
vaut 
;
- on vérifie que le signe de chaque terme convient ;
- on emploie la formule.
- on écrit le terme constant sous la forme du
carré d'un nombre
: 
, 
donc on peut écrire
: ici 
, mais 
et non 
, aucune identité ne
s'applique.
: ici 
, 
mais on a –49
et non +49, aucune identité ne s'applique.
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