Factoriser un polynôme du second degré grâce aux identités remarquables - Maxicours

Factoriser un polynôme du second degré grâce aux identités remarquables

Objectif

Factoriser un polynôme de degré deux avec une identité remarquable.

 

Points clés
  • Une racine d’un polynôme est une valeur de  qui annule le polynôme.
  • Une méthode simple de factorisation consiste à rechercher une identité remarquable.
Pour bien comprendre
  • Identités remarquables de collège
  • Factorisation d'une expression
  • Fonction polynôme de degré deux

Factoriser un polynôme du second degré consiste à l’écrire sous la forme d’un produit de polynôme du premier degré.
Ce n’est possible que si la fonction polynôme possède 1 ou 2 racines.

1. Les identités remarquables (rappel)

Il existe 3 identités remarquables :

2. Cas où le polynome est une différence de deux carrés

Soit un polynôme de degré deux, sans terme de premier degré, et dont l'expression développée correspond à la différence de deux carrés :  .

On identifie l'identité remarquable .

On peut donc utiliser la relation   avec  et .

On obtient 

Exemple 1
Factoriser l'expression .
On reconnait la différence de deux carrés : .
On applique l'identité remarquable et on obtient : .
Exemple 2
Factoriser .
On remarque que 81 = 92 ; on peut donc utiliser la première identité remarquable en posant :
a = 2x – 1 et b = 9.
3. Cas où deux termes du polynôme sont des carrés et le troisième est le double produit de leurs racines carrées

Soit un polynôme de degré dont l'expression développée est de la forme : 

Le terme de second degré et le terme constant sont des carrés. Le terme de degré un est le double produit de leurs racines carrées. 

On applique l'identité remarquable   avec  et 

On obtient 

De la même façon, un polynôme de la forme  se factorise en 

Exemple : factoriser 

Le terme de second degré et le terme constant sont des carrés. Le terme de degré un est le double produit de leurs racines carrées.
On applique l'identité remarquable   avec  et  et on obtient 
4. Cas général

Si le coefficient du terme en    n'est pas lui-même le carré d'un entier, on peut commencer par factoriser par ce coefficient pour faire apparaitre plus facilement une identité remarquable.

Méthode
  1. On factorise par  de sorte à obtenir un terme en  de coefficient 1 dans l'expression à factoriser : . Pour la suite, on pose 
  2. On teste si  est de la forme d'une des 3 identités remarquables. Pour cela :
    • on écrit le terme constant sous la forme du carré d'un nombre  ;
    • on teste si le coefficient du terme en  vaut  ;
    • on vérifie que le signe de chaque terme convient ;
    • on emploie la formule.
Exemple 1
 : , donc on peut écrire
Exemple 2
 : ici , mais  et non , aucune identité ne s'applique.
Exemple 3
 : ici , mais on a –49 et non +49, aucune identité ne s'applique.

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