Factoriser un polynôme du second degré grâce aux identités remarquables
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Factoriser un polynôme de degré deux avec une identité remarquable.
- Une racine d’un polynôme est une valeur de qui annule le polynôme.
- Une méthode simple de factorisation consiste à rechercher une identité remarquable.
- Identités remarquables de collège
- Factorisation d'une expression
- Fonction polynôme de degré deux
Factoriser un polynôme du second degré consiste
à l’écrire sous la forme d’un produit
de polynôme du premier degré.
Ce n’est possible que si la fonction polynôme
possède 1 ou 2 racines.
Il existe 3 identités remarquables :
Soit un polynôme de degré deux, sans terme de premier degré, et dont l'expression développée correspond à la différence de deux carrés : .
On identifie l'identité remarquable .
On peut donc utiliser la relation avec et .
On obtient
Factoriser l'expression .
On reconnait la différence de deux carrés : .
On applique l'identité remarquable et on obtient : .
Factoriser .
On remarque que 81 = 92 ; on peut donc utiliser la première identité remarquable en posant :
a = 2x – 1 et b = 9.
Soit un polynôme de degré dont l'expression développée est de la forme :
Le terme de second degré et le terme constant sont des carrés. Le terme de degré un est le double produit de leurs racines carrées.
On applique l'identité remarquable avec et
On obtient
De la même façon, un polynôme de la forme se factorise en
Le terme de second degré et le terme constant sont des carrés. Le terme de degré un est le double produit de leurs racines carrées.
On applique l'identité remarquable avec et et on obtient
Si le coefficient du terme en n'est pas lui-même le carré d'un entier, on peut commencer par factoriser par ce coefficient pour faire apparaitre plus facilement une identité remarquable.
- On factorise par de sorte à obtenir un terme en de coefficient 1 dans l'expression à factoriser : . Pour la suite, on pose
- On teste si est de la forme d'une
des 3 identités remarquables. Pour cela :
- on écrit le terme constant sous la forme du carré d'un nombre ;
- on teste si le coefficient du terme en vaut ;
- on vérifie que le signe de chaque terme convient ;
- on emploie la formule.
: , donc on peut écrire
: ici , mais et non , aucune identité ne s'applique.
: ici , mais on a –49 et non +49, aucune identité ne s'applique.
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