Nombre dérivé en un point - approche graphique
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- Définir la tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point, comme « limite des sécantes ».
- Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente.
- Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction.
- La tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point est la « limite des sécantes ».
- La tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse est la droite d’équation .
- Le nombre dérivé en d’une fonction , noté , correspond au coefficient directeur de la tangente en à la courbe représentative de .
- Nombre dérivé en un point – approche algébrique
- Taux de variation
- Coefficient directeur d’une droite
Soit une fonction définie sur un
intervalle I.
On appelle sa courbe dans un repère
orthogonal.
Le coefficient directeur de cette sécante vaut
.
En posant et pour non nul, ce coefficient directeur
s'écrit , et on reconnait ici le taux
d'accroissement de entre et .
Pour une valeur de donnée, il existe une infinité de sécantes passant par A et par M, avec non nul.
Dire que est dérivable en signifie que le coefficient directeur des sécantes (AM) tend vers un réel correspondant au coefficient directeur de « la position limite » de ces sécantes, lorsque tend vers 0.
Autant chaque sécante possède 2 points communs avec , les points A et M, autant la tangente en A n'a qu'un seul point commun avec : le point A.
Le nombre dérivé de en , noté , correspond au coefficient directeur de la tangente en .
Sur la courbe ci-dessous, déterminer , puis .
En ce qui concerne , on se place au point A d'abscisse (–1). La tangente est horizontale, symbolisée par une double flèche. Cela signifie que le nombre dérivé en est nul, autrement dit .
Pour lire graphiquement , on lit le coefficient
directeur de la tangente en B.
Pour cela, on peut :
- méthode 1 : lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur . Ainsi, .
- méthode 2 : en partant de A, on décale de 1 unité en abscisse et on décale de 1,5 unités en ordonnée en descendant. Ainsi, .
Pour lire graphiquement , de la même façon que ci-dessus, en décalant de 1 unité en abscisse à partir du point d'abscisse (–2), on rejoint la droite en décalant de 4,5 unités en montant. Ainsi, .
La tangente à au point a pour équation .
La tangente (T) au point A a pour
équation et a pour coefficient
directeur .
En remplaçant, (T) : .
Le point appartient à cette
tangente donc ses coordonnées vérifient
l'équation de (T)
soit , ce qui donne .
Ainsi, en remplaçant dans l'équation de
(T), on obtient : .
Il est ainsi possible d’écrire l’équation de la tangente (T) en à , connaissant .
Écrire une équation de la
tangente (T) à au point A(1, –3)
sachant que .
On a , et .
Ainsi, (T) a pour équation soit .
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