Nombre dérivé en un point - approche graphique - Maxicours

Nombre dérivé en un point - approche graphique

Objectifs
  • Définir la tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point, comme « limite des sécantes ».
  • Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente.
  • Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction.
Points clés
  • La tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point est la « limite des sécantes ».
  • La tangente à la courbe représentative de  au point d’abscisse  est la droite d’équation .
  • Le nombre dérivé en  d’une fonction , noté , correspond au coefficient directeur de la tangente en  à la courbe représentative de .
Pour bien comprendre
  • Nombre dérivé en un point – approche algébrique
  • Taux de variation
  • Coefficient directeur d’une droite

Soit une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle sa courbe dans un repère orthogonal.

1. Coefficient directeur d'une sécante
La droite passant par 2 points distincts A et M de la courbe  de  est appelée sécante à la courbe de  en A et en M.

Le coefficient directeur de cette sécante vaut .
En posant et  pour  non nul, ce coefficient directeur s'écrit , et on reconnait ici le taux d'accroissement de  entre  et .

2. Tangente à la courbe de f

Pour une valeur de donnée, il existe une infinité de sécantes passant par A et par M, avec non nul.

Dire que est dérivable en signifie que le coefficient directeur des sécantes (AM) tend vers un réel correspondant au coefficient directeur de « la position limite » de ces sécantes, lorsque  tend vers 0.


On appelle tangente à au point A cette droite « position limite » des sécantes passant par A et de coefficient directeur .
Remarque
Autant chaque sécante possède 2 points communs avec , les points A et M, autant la tangente en A n'a qu'un seul point commun avec  : le point A.
3. Lecture graphique du nombre dérivé

Le nombre dérivé de  en , noté , correspond au coefficient directeur de la tangente en .

Exemple
Sur la courbe ci-dessous, déterminer , puis .

En ce qui concerne , on se place au point A d'abscisse (–1). La tangente  est horizontale, symbolisée par une double flèche. Cela signifie que le nombre dérivé en  est nul, autrement dit .

Pour lire graphiquement , on lit le coefficient directeur de la tangente en B.
Pour cela, on peut :

  • méthode 1 : lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur . Ainsi, .
  • méthode 2 : en partant de A, on décale de 1 unité en abscisse et on décale de 1,5 unités en ordonnée en descendant. Ainsi, .

Pour lire graphiquement , de la même façon que ci-dessus, en décalant de 1 unité en abscisse à partir du point d'abscisse (–2), on rejoint la droite en décalant de 4,5 unités en montant. Ainsi, .

 
4. Équation générale d'une tangente
Soit une fonction dérivable en un réel .
La tangente à au point a pour équation .
Preuve

La tangente (T) au point A a pour équation et a pour coefficient directeur .
En remplaçant, (T) : .
Le point appartient à cette tangente donc ses coordonnées vérifient l'équation de (T) soit , ce qui donne .
Ainsi, en remplaçant dans l'équation de (T), on obtient : .

Il est ainsi possible d’écrire l’équation de la tangente (T) en  à , connaissant .

Application

Écrire une équation de la tangente (T) à  au point A(1, –3) sachant que .
On a , et .
Ainsi, (T) a pour équation soit .

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