Nombre dérivé en un point - approche graphique
- Définir la tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point, comme « limite des sécantes ».
- Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente.
- Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction.
- La tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point est la « limite des sécantes ».
- La tangente à la courbe représentative
de
au point d’abscisse
est la droite d’équation
.
- Le nombre dérivé en
d’une fonction
, noté
, correspond au coefficient directeur de la tangente en
à la courbe représentative de
.
- Nombre dérivé en un point – approche algébrique
- Taux de variation
- Coefficient directeur d’une droite
Soit une fonction définie sur un
intervalle I.
On appelle sa courbe dans un repère
orthogonal.



Le coefficient directeur de cette sécante vaut
.
En posant et
pour
non nul, ce coefficient directeur
s'écrit
, et on reconnait ici le taux
d'accroissement de
entre
et
.
Pour une valeur de donnée, il existe une
infinité de sécantes passant par A et par
M, avec
non nul.
Dire que est dérivable en
signifie que le coefficient
directeur des sécantes (AM) tend vers un
réel
correspondant au coefficient
directeur de « la position limite »
de ces sécantes, lorsque
tend vers 0.


Autant chaque sécante possède 2 points communs avec


Le nombre dérivé de en
, noté
, correspond au coefficient
directeur de la tangente en
.
Sur la courbe ci-dessous, déterminer




En ce qui concerne , on se place au
point A d'abscisse (–1). La
tangente
est horizontale,
symbolisée par une double flèche. Cela
signifie que le nombre dérivé
en
est nul, autrement
dit
.
Pour lire graphiquement , on lit le coefficient
directeur de la tangente en B.
Pour cela, on peut :
- méthode 1 : lire les coordonnées
d'un autre point C de la droite et calculer le
coefficient directeur
. Ainsi,
.
- méthode 2 : en partant de A, on
décale de 1 unité en abscisse
et on décale de 1,5 unités en
ordonnée en descendant. Ainsi,
.
Pour lire graphiquement , de la même façon
que ci-dessus, en décalant
de 1 unité en abscisse à partir
du point d'abscisse (–2), on rejoint la
droite en décalant
de 4,5 unités en montant. Ainsi,
.


La tangente à



La tangente (T) au point A a pour
équation et a pour coefficient
directeur
.
En remplaçant, (T) : .
Le point appartient à cette
tangente donc ses coordonnées vérifient
l'équation de (T)
soit
, ce qui donne
.
Ainsi, en remplaçant dans l'équation de
(T), on obtient : .
Il est ainsi possible d’écrire
l’équation de la tangente (T)
en à
, connaissant
.
Écrire une équation de la
tangente (T) à au point A(1, –3)
sachant que
.
On a ,
et
.
Ainsi, (T) a pour équation soit
.

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