Nombre dérivé en un point - approche graphique
- Définir la tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point, comme « limite des sécantes ».
- Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente.
- Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction.
- La tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point est la « limite des sécantes ».
- La tangente à la courbe représentative
de
au point
d’abscisse 
est la droite
d’équation 
.
- Le nombre dérivé en
d’une
fonction 
, noté 
, correspond au coefficient
directeur de la tangente en 
à la courbe
représentative de 
.
- Nombre dérivé en un point – approche algébrique
- Taux de variation
- Coefficient directeur d’une droite
Soit 
une fonction définie sur un
intervalle I.
On appelle 
sa courbe dans un repère
orthogonal.
de 
est appelée sécante
à la courbe de 
en A et en M.
Le coefficient directeur de cette sécante vaut
.
En posant 
et 
pour 
non nul, ce coefficient directeur
s'écrit 
, et on reconnait ici le taux
d'accroissement de 
entre 
et 
.
Pour une valeur de 
donnée, il existe une
infinité de sécantes passant par A et par
M, avec 
non nul.
Dire que 
est dérivable en
signifie que le coefficient
directeur des sécantes (AM) tend vers un
réel 
correspondant au coefficient
directeur de « la position limite »
de ces sécantes, lorsque 
tend vers 0.
au point A cette droite
« position limite » des
sécantes passant par A et de coefficient
directeur 
.
Autant chaque sécante possède 2 points communs avec
, les points A et M,
autant la tangente en A n'a qu'un seul
point commun avec 
: le point A.
Le nombre dérivé de 
en 
, noté 
, correspond au coefficient
directeur de la tangente en 
.
Sur la courbe ci-dessous, déterminer
, 
puis 
.
En ce qui concerne 
, on se place au
point A d'abscisse (–1). La
tangente 
est horizontale,
symbolisée par une double flèche. Cela
signifie que le nombre dérivé
en 
est nul, autrement
dit 
.
Pour lire graphiquement 
, on lit le coefficient
directeur de la tangente en B.
Pour cela, on peut :
- méthode 1 : lire les coordonnées
d'un autre point C de la droite et calculer le
coefficient directeur
. Ainsi, 
.
- méthode 2 : en partant de A, on
décale de 1 unité en abscisse
et on décale de 1,5 unités en
ordonnée en descendant. Ainsi,
.
Pour lire graphiquement 
, de la même façon
que ci-dessus, en décalant
de 1 unité en abscisse à partir
du point d'abscisse (–2), on rejoint la
droite en décalant
de 4,5 unités en montant. Ainsi,
.
une fonction dérivable en
un réel 
.La tangente à
au point 
a pour équation
.
La tangente (T) au point A a pour
équation 
et a pour coefficient
directeur 
.
En remplaçant, (T) : 
.
Le point 
appartient à cette
tangente donc ses coordonnées vérifient
l'équation de (T)
soit 
, ce qui donne 
.
Ainsi, en remplaçant dans l'équation de
(T), on obtient : 
.
Il est ainsi possible d’écrire
l’équation de la tangente (T)
en 
à 
, connaissant 
.
Écrire une équation de la
tangente (T) à 
au point A(1, –3)
sachant que 
.
On a 
, 
et 
.
Ainsi, (T) a pour équation 
soit 
.
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