Notion de limite de suite
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Étudier le comportement de lorsque prend des valeurs de plus en plus grandes.
Lorsque tend vers l'infini, une suite peut :
- soit converger vers un réel (fini). Dans ce cas, ses valeurs « se stabilisent autour de la valeur limite » ;
- soit tendre vers ou , soit n'admettre aucune limite (même infinie), dans ce cas, on dit qu'elle diverge.
- Notion de suite, de terme général d'une suite
- Représentation graphique des termes d'une suite
- Fonctions de référence
- Manipulation d'inéquations
On considère la suite définie
par .
Observons le comportement de lorsque prend de très grandes
valeurs positives.
1 | 10 | 50 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | |
1 | 0,32 | 0,14 | 0,1 | 0,03 | 0,0100000 | 0,0031623 | 0,0010000 |
Il semblerait que les termes de la suite s'accumulent
près de 0 lorsque tend vers .
Comment expliquer cette accumulation ?
Donnons-nous un intervalle contenant 0, par
exemple .
Existe-t-il un rang à partir duquel tous
les rentrent dans cet
intervalle ?
Pour cela, résolvons la double inéquation
.
Tout d'abord, l'inégalité est toujours
vérifiée puisque est toujours positif donc
à fortiori plus grand qu'un nombre
négatif.
Déterminons tel que soit .
La fonction inverse est décroissante
sur donc cela revient à dire
que soit
.
Conclusion : à partir de , .
On démontre de même que pour tout
intervalle ouvert I contenant 0, il
existe un rang tel que pour tout supérieur à ce
rang, soit dans I.
Ainsi, les termes de la suite s'accumulent près
de 0.
On dira que la suite converge (tend) vers 0 ou
la suite a pour limite 0
lorsque tend vers .
On pourra écrire : .
- Les suites de terme général avec entier supérieur ou égal à 1 tendent vers 0 lorsque tend vers .
- Les suites de terme général , où q est un nombre réel tel que –1 < q < 1, tendent vers 0 lorsque tend vers .
On considère la suite définie par .
Observons de même le comportement de lorsque prend de très grandes
valeurs positives.
Il semblerait que les termes de la suite
s’accumulent autour de 2 lorsque tend vers , mais alternativement au dessus,
en dessous de 2.
La suite est également une suite
convergente et elle a pour limite 2.
On pourra écrire : .
Considérons la suite définie
par .
Observons le comportement de lorsque prend de grandes valeurs.
0 | 1 | 10 | 50 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 |
–1 | –0,9 | 9 | 249 | 999 | 99 999 | 9 999 999 | 999 999 999 |
Il semblerait que les termes de la
suite deviennent de plus en plus
grand et tendent vers lorsque tend vers .
Comment expliquer cette divergence
vers ?
Il s'agit de prouver que l'on ne peut arrêter la progression des termes qu'ils finissent par dépasser n'importe quel nombre aussi grand soit-il.
Prenons par exemple
A = 106. Existe-t-il un
rang tel que pour , on ait ?
Ainsi, à partir de , les termes sont supérieurs
à 106.
On démontre de même que ceci est vrai pour
tout nombre réel A choisi aussi
grand que l’on veut.
On dit alors que la suite tend vers lorsque tend vers .
On pourra écrire : .
- Les suites de terme général avec entier supérieur ou égal à 1 tendent vers lorsque tend vers .
- Les suites de terme général avec tendent vers lorsque tend vers .
Considérons par exemple la suite définie par .
Les termes de la suite sont alternativement positifs
puis négatifs mais de plus en plus grands en
valeur absolue.
La suite est divergente, sans admettre de limite. On ne
peut pas « canaliser » la
direction des termes .
C'est le cas notamment de toute suite
géométrique de raison strictement
inférieure à –1.
On ne pourra pas utiliser la notation lorsque aucune limite n'existe pour la suite étudiée.
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