Notion de limite de suite

On considère la suite (u_n) définie par .
Observons le comportement de u_n lorsque n prend de très grandes valeurs positives.

Côté courbe :



Côté tableau de valeurs :

n	1	10	50	100	1000	10 000	100 000	1 000 000
un	1	0,32	0,14	0,1	0,03	0,0100000	0,0031623	0,0010000

Il semblerait que les termes de la suite s'accumulent près de 0 lorsque n tend vers .
Comment expliquer cette accumulation ?

• Donnons-nous un intervalle contenant 0, par exemple .
Existe-t-il un rang à partir duquel tous les u_n rentrent dans cet intervalle ?
Pour cela, résolvons la double inéquation .

Tout d'abord, l'inégalité est toujours vérifiée puisque est toujours positif donc à fortiori plus grand qu'un nombre négatif.
Déterminons n tel que < 0,01 soit .

La fonction inverse est décroissante sur donc cela revient à dire que soit
n > 10 000.
Conclusion : à partir de n = 10001,
• On démontre de même que pour tout intervalle ouvert I contenant 0, il existe un rang tel que pour tout n supérieur à ce rang, u_n soit dans I.

Ainsi, les termes de la suite s'accumulent près de 0.
On dira que la suite (u_n) converge (tend) vers 0 ou la suite (u_n) a pour limite 0 lorsque n tend vers .

On considère la suite (u_n) définie par .
Observons de même le comportement de u_n lorsque n prend de très grandes valeurs positives.

Côté courbe :



Il semblerait que les termes de la suite s’accumulent autour de 2 lorsque n tend vers , mais alternativement au dessus, en dessous de 2.
La suite (u_n) est également une suite convergente et elle a pour limite 2.

Quelques suites de référence :
• Les suites de terme général avec p entier supérieur ou égal à 1 tendent vers 0 lorsque n tend vers .
• Les suites de terme général qⁿ où tendent vers 0 lorsque n tend vers .

Considérons la suite (u_n) définie par .
Observons le comportement de u_n lorsque n prend de grandes valeurs.

Côté courbe :



Côté tableau de valeurs :

0	1	10	50	100	1000	10 000	100 000
– 1	– 0,9	9	249	999	99 999	9 999 999	999 999 999

Il semblerait que les termes de la suite (u_n) deviennent de plus en plus grand et tendent vers lorsque n tend vers .
Comment expliquer cette divergence vers ?

Il s'agit de prouver que l'on peut arrêter la progression des termes u_n, qu'il finissent par dépasser n'importe quel nombre aussi grand soit-il.

Prenons par exemple A = 10⁶. Existe-t-il un rang n₀ tel que pour , on ait ?





Ainsi, à partir de u₁₀₁, les termes u_n sont supérieurs à 10⁶.

On démontre de même que ceci est vrai pour tout nombre réel A choisi aussi grand que l’on veut.

On dit alors que la suite (u_n) tend vers n lorsque tend vers .

Quelques suites de référence :
• Les suites de terme général avec p entier supérieur ou égal à 1 tendent vers lorsque n tend vers .
• Les suites de terme général qⁿ avec q > 1 tendent vers lorsque n tend vers .

Remarque : lorsque les termes d'une suite (u_n) prennent des valeurs négatives mais de plus en plus grandes en valeurs absolues, on dit que la suite (u_n) tend vers lorsque n tend vers .
Par exemple, ou .

Considérons par exemple la suite (u_n) définie par .

Côté courbe :



Les termes de la suite sont alternativement positifs puis négatifs mais de plus en plus grands en valeur absolue.
La suite est divergente, sans admettre de limite. On ne peut pas «canaliser» la direction des termes u_n.
C'est le cas notamment de toute suite géométrique de raison strictement inférieure à –1.