Notion de limite de suite - Maxicours

Notion de limite de suite

Objectif

Étudier le comportement de  lorsque  prend des valeurs de plus en plus grandes.

Points clés

Lorsque tend vers l'infini, une suite peut :

  • soit converger vers un réel (fini). Dans ce cas, ses valeurs « se stabilisent autour de la valeur limite » ;
  • soit tendre vers  ou , soit n'admettre aucune limite (même infinie), dans ce cas, on dit qu'elle diverge.
Pour bien comprendre
  • Notion de suite, de terme général d'une suite
  • Représentation graphique des termes d'une suite
  • Fonctions de référence
  • Manipulation d'inéquations
1. Notion de suite convergente
a. Premier exemple : accumulation vers un réel

On considère la suite  définie par .
Observons le comportement de  lorsque  prend de très grandes valeurs positives.

Côté courbe

Côté tableau de valeurs
1 10 50 100 1000 10 000 100 000 1 000 000
1 0,32 0,14 0,1 0,03 0,0100000 0,0031623 0,0010000

Il semblerait que les termes de la suite s'accumulent près de 0 lorsque  tend vers .
Comment expliquer cette accumulation ?

Donnons-nous un intervalle contenant 0, par exemple .
Existe-t-il un rang à partir duquel tous les  rentrent dans cet intervalle ?
Pour cela, résolvons la double inéquation .

Tout d'abord, l'inégalité est toujours vérifiée puisque  est toujours positif donc à fortiori plus grand qu'un nombre négatif.
Déterminons tel que  soit .

La fonction inverse est décroissante sur  donc cela revient à dire que  soit
.
Conclusion : à partir de , .

On démontre de même que pour tout intervalle ouvert I contenant 0, il existe un rang tel que pour tout  supérieur à ce rang, soit dans I.

Ainsi, les termes de la suite s'accumulent près de 0.
On dira que la suite  converge (tend) vers 0 ou la suite  a pour limite 0 lorsque  tend vers .

On pourra écrire : .

Quelques suites de référence
  • Les suites de terme général  avec  entier supérieur ou égal à 1 tendent vers 0 lorsque tend vers .
  • Les suites de terme général , où q est un nombre réel tel que –1 < q < 1, tendent vers 0 lorsque tend vers .
b. Deuxième exemple : accumulation autour d'un réel

On considère la suite  définie par .
Observons de même le comportement de lorsque prend de très grandes valeurs positives.

Côté courbe

Il semblerait que les termes de la suite s’accumulent autour de 2 lorsque tend vers , mais alternativement au dessus, en dessous de 2.
La suite est également une suite convergente et elle a pour limite 2.

On pourra écrire : .

2. Notion de suite divergente
Une suite non convergente (c’est-à-dire une suite dont les termes s’accumulent vers un réel I) est appelée suite divergente.
a. Premier exemple : les termes deviennent de plus en plus grands

Considérons la suite  définie par .
Observons le comportement de  lorsque prend de grandes valeurs.

Côté courbe

Côté tableau de valeurs
0 1 10 50 100 1000 10 000 100 000
–1 –0,9 9 249 999 99 999 9 999 999 999 999 999

Il semblerait que les termes de la suite  deviennent de plus en plus grand et tendent vers  lorsque  tend vers .
Comment expliquer cette divergence vers  ?

Il s'agit de prouver que l'on ne peut arrêter la progression des termes  qu'ils finissent par dépasser n'importe quel nombre aussi grand soit-il.

Prenons par exemple A = 106. Existe-t-il un rang  tel que pour , on ait ?



Ainsi, à partir de , les termes  sont supérieurs à 106.

On démontre de même que ceci est vrai pour tout nombre réel A choisi aussi grand que l’on veut.
On dit alors que la suite  tend vers lorsque tend vers .

On pourra écrire : .

Quelques suites de référence
  • Les suites de terme général avec  entier supérieur ou égal à 1 tendent vers  lorsque  tend vers .
  • Les suites de terme général avec  tendent vers  lorsque  tend vers .
Remarque : lorsque les termes d'une suite  prennent des valeurs négatives mais de plus en plus grandes en valeurs absolues, on dit que la suite  tend vers  lorsque  tend vers . On pourra écrire : .
Exemple : ou .
b. Deuxième exemple : la suite (Un) n'admet pas de limite

Considérons par exemple la suite  définie par .

Côté courbe

Les termes de la suite sont alternativement positifs puis négatifs mais de plus en plus grands en valeur absolue.
La suite est divergente, sans admettre de limite. On ne peut pas « canaliser » la direction des termes .
C'est le cas notamment de toute suite géométrique de raison strictement inférieure à –1.

On ne pourra pas utiliser la notation lorsque aucune limite n'existe pour la suite étudiée.

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