Notion de limite de suite - Maxicours

Notion de limite de suite

Objectif
Étudier le comportement de un  lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes.
1. Notion de suite convergente
a. Premier exemple : accumulation vers un réel
On considère la suite (un) définie par .
Observons le comportement de un lorsque n prend de très grandes valeurs positives.

Côté courbe :



Côté tableau de valeurs :

n 1 10 50 100 1000 10 000 100 000 1 000 000
un 1 0,32 0,14 0,1 0,03 0,0100000 0,0031623 0,0010000

Il semblerait que les termes de la suite s'accumulent près de 0 lorsque n tend vers .
Comment expliquer cette accumulation ?

• Donnons-nous un intervalle contenant 0, par exemple .
Existe-t-il un rang à partir duquel tous les un rentrent dans cet intervalle ?
Pour cela, résolvons la double inéquation .

Tout d'abord, l'inégalité est toujours vérifiée puisque est toujours positif donc à fortiori plus grand qu'un nombre négatif.
Déterminons n tel que < 0,01 soit .

La fonction inverse est décroissante sur donc cela revient à dire que soit
n > 10 000.
Conclusion : à partir de n = 10001,
• On démontre de même que pour tout intervalle ouvert I contenant 0, il existe un rang tel que pour tout n supérieur à ce rang, un soit dans I.

Ainsi, les termes de la suite s'accumulent près de 0.
On dira que la suite (un) converge (tend) vers 0 ou la suite (un) a pour limite 0 lorsque n tend vers .
b. Second exemple : accumulation autour d'un réel
On considère la suite (un) définie par .
Observons de même le comportement de un lorsque n prend de très grandes valeurs positives.

Côté courbe :



Il semblerait que les termes de la suite s’accumulent autour de 2 lorsque n tend vers , mais alternativement au dessus, en dessous de 2.
La suite (un) est également une suite convergente et elle a pour limite 2.

Quelques suites de référence :
• Les suites de terme général avec p entier supérieur ou égal à 1 tendent vers 0 lorsque n tend vers .
• Les suites de terme général qntendent vers 0 lorsque n tend vers .
2. Notion de suite divergente
Une suite non convergente (c’est-à-dire une suite dont les termes s’accumulent vers un réel I) est appelée suite divergente.

a. Premier exemple : les termes deviennent de plus en plus grands
Considérons la suite (un) définie par .
Observons le comportement de un lorsque n prend de grandes valeurs.

Côté courbe :



Côté tableau de valeurs :

0 1 10 50 100 1000 10 000 100 000
– 1 – 0,9 9 249 999 99 999 9 999 999 999 999 999

Il semblerait que les termes de la suite (un) deviennent de plus en plus grand et tendent vers lorsque n tend vers .
Comment expliquer cette divergence vers ?

Il s'agit de prouver que l'on peut arrêter la progression des termes un, qu'il finissent par dépasser n'importe quel nombre aussi grand soit-il.

Prenons par exemple A = 106. Existe-t-il un rang n0 tel que pour , on ait ?





Ainsi, à partir de u101, les termes un sont supérieurs à 106.

On démontre de même que ceci est vrai pour tout nombre réel A choisi aussi grand que l’on veut.

On dit alors que la suite (un) tend vers n lorsque tend vers .

Quelques suites de référence :

• Les suites de terme général avec p entier supérieur ou égal à 1 tendent vers lorsque n tend vers .
• Les suites de terme général qn avec q > 1 tendent vers lorsque n tend vers .

Remarque : lorsque les termes d'une suite (un) prennent des valeurs négatives mais de plus en plus grandes en valeurs absolues, on dit que la suite (un) tend vers lorsque n tend vers .
Par exemple, ou .
b. Second exemple : la suite (Un) n'admet pas de limite
Considérons par exemple la suite (un) définie par .

Côté courbe :



Les termes de la suite sont alternativement positifs puis négatifs mais de plus en plus grands en valeur absolue.
La suite est divergente, sans admettre de limite. On ne peut pas «canaliser» la direction des termes un.
C'est le cas notamment de toute suite géométrique de raison strictement inférieure à –1.
L'essentiel
Lorsque n tend vers l'infini, une suite peut :
- soit converger vers un réel (fini).
Dans ce cas, ces valeurs «se stabilisent autour de la valeur limite».
-soit tendre vers , soit n'admettre aucune limite (même infinie), dans ce cas, on dit qu'elle diverge.

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