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Indépendance de deux évènements

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Objectifs

Définir l'indépendance de deux évènements.
Interpréter l'indépendance de deux évènements en terme de probabilités.
Représenter la répétition de deux expériences indépendantes par un arbre pondéré ou un tableau à double entrée.

Points clés

Deux évènements A et B sont indépendants si .
Si A et B sont indépendants, alors et B le sont aussi.
Si deux évènements A et B sont indépendants de probabilités non nulles, alors la probabilité de B ne dépend pas de la réalisation ou non de A : .
On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes par un arbre dont les probabilités ne sont pas conditionnelles car les évènements sont indépendants.
On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes dans un tableau à double entrée où par exemple la première ligne contient les résultats de la première épreuve, et la première colonne ceux de la deuxième (ou inversement).

1. Indépendance de deux évènements

a. Définition

Dans le langage courant, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne dépend pas de celle de l’autre. On va donner une définition mathématique de cette notion.

Définition
Deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A

B) = P(A) × P(B).

Attention !
« Incompatibles » est différent de « indépendants ». En effet, si A et B sont deux évènements incompatibles de probabilités non nulles, on a P(A B) = 0 avec P(A) × P(B) ≠ 0.

Exemple
On tire une carte au hasard dans un jeu classique de 32 cartes. On considère les évènements : A = "obtenir une figure (valet, dame ou roi)" et B = "obtenir un carreau".
On a alors A

B = "obtenir un valet de carreau ou une dame de carreau ou un roi de carreau".
On a P( A

B ) =

.
De même P(A) =

et P(B) =

.
On a P(A) × P(B) = P(A

B), les évènements sont donc indépendants.

b. Propriétés

Propriété 1
Si A et B sont deux évènements indépendants, alors

et B le sont aussi.

Preuve
On a :

Donc

or A et B sont indépendants,
donc

d'où

, les évènements

et B sont donc indépendants.

Conséquence
Soient A et B deux évènements indépendants de probabilités non nulles. On a donc : .
En divisant par P(A) les deux membres de cette égalité on obtient : , c'est-à-dire . En utilisant la propriété ci-dessus, et B sont eux aussi indépendants, on a donc aussi .

On a donc la propriété suivante :

Propriété 2
Si deux évènements A et B sont indépendants de probabilités non nulles, alors la probabilité de B ne dépend pas de la réalisation ou non de A :

2. Répétition de deux épreuves indépendantes

On répète deux fois une expérience appelée épreuve.
On dira que ces épreuves sont indépendantes dès lors que l’issue d’une épreuve ne dépend pas de celles qui l’ont précédée.

Si une expérience aléatoire est la répétition de 2 épreuves identiques et indépendantes, elle peut être représentée par un arbre pondéré (à deux niveaux de branches) ou un tableau à double entrée.
Une issue est alors une liste ordonnée de résultats.

a. Arbre pondéré

On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes par un arbre dont les probabilités ne sont pas conditionnelles car les évènements sont indépendants.

Remarque : P_A(B) = P(B) car les événements sont indépendants.

La probabilité de chaque issue, représentée par un chemin, est le produit des probabilités de chaque branche de ce chemin. Ainsi : P(A B) = P(A) × P(B)

Exemple
Une épreuve consiste à lancer un dé normal à six faces, non truqué (équiprobabilité) deux fois de suite.
On s’intéresse aux évènements suivants :

A : « le résultat est un 1 ou un 6 » ;
B : « le résultat est 2, 3 ou 5 » ;
C : «le résultat est 4 ».
On peut construire l’arbre pondéré associée à l’expérience :

La probabilité de chaque issue, représentée par un chemin, est le produit des probabilités de chaque branche de ce chemin. Ainsi :

Comme les deux épreuves successives sont indépendantes, on a : donc

b. Tableau à double entrée

On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes dans un tableau à double entrée où par exemple la première ligne contient les résultats de la première épreuve, et la première colonne ceux de la deuxième (ou inversement).

Tableau représentant la succession de deux épreuves indépendantes et les probabilités correspondantes.

Exemple
On peut représenter la succession d'épreuves précédente dans un tableau à double entrée, en indiquant les résultats de la première épreuve dans la première colonne et les résultats de la deuxième épreuve dans la première ligne.