Propriétés des fonctions sinus et cosinus
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- Connaître les fonctions sinus et cosinus.
- Connaitre quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité.
- Connaître les représentations graphiques de ces fonctions.
- Les courbes des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes.
- Elles sont périodiques de période .
- La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- La fonction cosinus est paire, ce qui signifie que pour tout x de :
- La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport au centre du repère O.
- La fonction sinus est impaire, ce qui signifie que pour tout x de :
Soit C le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
À tout point M du cercle C, il existe une infinité de réels mesurant . Si l’un d’entre eux se note x, alors les autres valent x + k × 2π, où k est un entier relatif quelconque.
Sur la droite du repère (I,K), le point A a pour
abscisse x.
En "enroulant" le segment [IA] autour du cercle
trigonométrique, on remarque que A est le point
associé à M.
La longueur de l'arc est donc
égale à x et l'angle orienté
associé mesure x radians.
M a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)).
Les valeurs de sinus et cosinus (sur ) sont répertoriées dans le tableau ci-dessous (construit dans le sens trigonométrique) :
x | 0 | ||||
sin(x) | 0 | 1 | |||
cos(x) | 1 | 0 |
Le plan est muni d'un repère orthonormal
.
Propriété 1
et
.
On dit alors que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de période .
En effet, l’enroulement sur le cercle trigonométrique des points de la droite de repère (IK) d’abscisses x et génère le même point M, puisque le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2π.
Conséquences graphiques
- Pour Csin, si un point M d’abscisse x est un point de Csin, alors un point N de Csin d’abscisse (x + 2) a pour ordonnée celle du point M. On dispose ainsi de l’égalité et il suffit alors de tracer Csin sur un intervalle d’amplitude 2, par exemple l’intervalle , puis de compléter le tracé par des translations successives de vecteurs .
- Il en est de même pour Ccos.
et
.
On dit que la fonction sinus est une fonction impaire, tandis que la fonction cosinus est une fonction paire.
En effet, si le point M est un point du cercle
trigonométrique tel que , alors le point M’ symétrique de M par
rapport à (OI) est un point du cercle
trigonométrique tel que .
Ainsi, par cette considération de
symétrie :
M’(xM ; -yM) soit
M’(cos(x) ; -sin(x)).
Mais par définition de son repérage
circulaire :
M’(cos(-x) ; sin(-x)), l’unicité des
coordonnées d’un point termine la
démonstration.
Conséquences graphiques
- Pour Csin, si un point M
d’abscisse x est un point de Csin,
alors le point M’ de Csin
d’abscisse (-x) a une ordonnée
opposée à celle du point M. Ainsi,
M’ est le symétrique de M par rapport
à O.
Le point O, origine du repère est donc un centre de symétrie de la courbe Csin.
- Pour Ccos, si un point M
d’abscisse x est un point de Ccos,
alors le point M’’ de Ccos
d’abscisse (-x) a une ordonnée
égale à celle du point M. Ainsi,
M’’ est le symétrique de M par
rapport à l’axe des ordonnées
.
L'axe des ordonnées est donc un axe de symétrie de la fonction cosinus.
On admet ces deux égalités.
La démonstration "repose" sur la symétrie
du point M de repérage circulaire x par rapport
à la droite d’équation y = x. Une
figure permet de visualiser clairement ces
égalités.
Si C est un point d’abscisse x de Ccos, alors le point S d’abscisse de Csin a la même ordonnée que C.
Ainsi, .
Ccos se déduit de Csin par translation de vecteur .
À l’aide de ces propriétés,
on peut tracer les courbes Csin et
Ccos.
Pour cela, on utilisera les valeurs remarquables de
sinus et de cosinus.
On tracera d’abord Csin sur [0 ;
], puis par symétrie sur [ ; 0] (propriété 2), puis on
effectuera des translations (propriété
1).
On déduira Ccos de Csin
par translation (propriété 3).
Graphiquement, on constate que pour tout réel x, sin(x) et cos(x) sont des nombres compris entre -1 et 1. On le savait déjà de par la définition du cercle trigonométrique.
On en déduit donc que les fonction sinus et cosinus sont bornées sur , à savoir minorée par -1 et majorée par 1.
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