Propriétés des fonctions sinus et cosinus

Soit C le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. 

À tout réel x, on associe un unique point M du cercle C vérifiant , la mesure de l’angle orienté étant le radian.
À tout point M du cercle C, il existe une infinité de réels mesurant . Si l’un d’entre eux se note x, alors les autres valent x + k × 2π, où k est un entier relatif quelconque.

Avec les notations de la première définition, le point M a pour coordonnées , couple de réels.

Sur la droite du repère (I,K), le point A a pour abscisse x.

En "enroulant" le segment [IA] autour du cercle trigonométrique, on remarque que A est le point associé à M.

La longueur de l'arc est donc égale à x et l'angle orienté associé mesure x radians.
M a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)).

 

Les valeurs de sinus et cosinus (sur ) sont répertoriées dans le tableau ci-dessous (construit dans le sens trigonométrique) : 

x	0
sin(x)	0				1
cos(x)	1				0

Le plan est muni d'un repère orthonormal .

Propriété 1

Pour tout réel x, on dispose des égalités suivantes :


et
.

On dit alors que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de période .

En effet, l’enroulement sur le cercle trigonométrique des points de la droite de repère (IK) d’abscisses x et génère le même point M, puisque le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2π.

Remarque : sin((x - 2) + 2) = sin(x - 2π), soit sin(x) = sin(x - 2π).

Conséquences graphiques

• Pour C_sin, si un point M d’abscisse x est un point de C_sin, alors un point N de C_sin d’abscisse (x + 2) a pour ordonnée celle du point M. On dispose ainsi de l’égalité et il suffit alors de tracer C_sin sur un intervalle d’amplitude 2, par exemple l’intervalle , puis de compléter le tracé par des translations successives de vecteurs .
• Il en est de même pour C_cos.

Pour tout réel x, on dispose des égalités suivantes :


et
.

On dit que la fonction sinus est une fonction impaire, tandis que la fonction cosinus est une fonction paire.

En effet, si le point M est un point du cercle trigonométrique tel que , alors le point M’ symétrique de M par rapport à (OI) est un point du cercle trigonométrique tel que .
Ainsi, par cette considération de symétrie :
M’(x_M ; -y_M) soit M’(cos(x) ; -sin(x)).

Mais par définition de son repérage circulaire :
M’(cos(-x) ; sin(-x)), l’unicité des coordonnées d’un point termine la démonstration.

Conséquences graphiques

• Pour C_sin, si un point M d’abscisse x est un point de C_sin, alors le point M’ de C_sin d’abscisse (-x) a une ordonnée opposée à celle du point M. Ainsi, M’ est le symétrique de M par rapport à O.
  Le point O, origine du repère est donc un centre de symétrie de la courbe C_sin.

 

• Pour C_cos, si un point M d’abscisse x est un point de C_cos, alors le point M’’ de C_cos d’abscisse (-x) a une ordonnée égale à celle du point M. Ainsi, M’’ est le symétrique de M par rapport à l’axe des ordonnées .
  L'axe des ordonnées est donc un axe de symétrie de la fonction cosinus.

 

Pour tout réel x, on dispose des égalités : .

On admet ces deux égalités.
La démonstration "repose" sur la symétrie du point M de repérage circulaire x par rapport à la droite d’équation y = x. Une figure permet de visualiser clairement ces égalités.

Conséquences graphiques

Si C est un point d’abscisse x de C_cos, alors le point S d’abscisse de C_sin a la même ordonnée que C.
Ainsi, .
C_cos se déduit de C_sin par translation de vecteur .

 

À l’aide de ces propriétés, on peut tracer les courbes C_sin et C_cos.
Pour cela, on utilisera les valeurs remarquables de sinus et de cosinus.
On tracera d’abord C_sin sur [0 ; ], puis par symétrie sur [ ; 0] (propriété 2), puis on effectuera des translations (propriété 1).
On déduira C_cos de C_sin par translation (propriété 3).

Remarque
Graphiquement, on constate que pour tout réel x, sin(x) et cos(x) sont des nombres compris entre -1 et 1. On le savait déjà de par la définition du cercle trigonométrique.
On en déduit donc que les fonction sinus et cosinus sont bornées sur , à savoir minorée par -1 et majorée par 1.