Le produit scalaire : définitions et propriétés
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- Comprendre la notion de produit scalaire.
- Connaître les différentes formules permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs .
- Calculer le produit scalaire de 2 vecteurs en utilisant la formule appropriée.
- Utiliser le produit scalaire pour caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs.
- Formule avec les coordonnées dans un
repère orthonormé :
- Formule avec les normes :
ou 
- Produit scalaire à partir de la projection
orthogonale
avec H le projeté
orthogonal de C sur (AB).
- Formule avec le cosinus :
-
et 
sont orthogonaux signifie que
.
Vecteurs du plan
Dans un repère orthonormé, on
considère les vecteurs 
et 
.
et 
est le réel noté 
défini par 
.
Ce réel ne dépend pas du repère
choisi.
et 
alors 
.
Pour tous vecteurs 
, 
,
et 
réel on a :
(symétrie)
(linéarité)
(distributivité).
est appelé
carré scalaire de 
.
On a 
et 
.
Ainsi, en posant 
on a
l’égalité suivante :
.
(carré scalaire de 
= norme de 
au carré =
longueur AB au carré).
En appliquant les règles de calcul vues
précédemment, on obtient les
identités remarquables suivantes :
A l’aide des formules ci-dessus, on obtient une
autre définition du produit scalaire qui permet de
faire des calculs de produits scalaires quand on connait
les normes : 
et aussi 
Sachant que
,
et
,
calculer 
et en déduire
.
.Ainsi,
d’où
.
Dire que
et 
sont orthogonaux signifie que 
.
On considère les points
, 
, et 
.Prouver que les vecteurs
et 
sont orthogonaux.
c’est-à-dire 
.De même,
.Ainsi,
.Nous pouvons donc conclure que les vecteurs
et 
sont orthogonaux et donc
le triangle ABC est un triangle rectangle en A .
et 
2 vecteurs
colinéaires.
si
et 
sont
colinéaires de même sens.
si
et
sont
colinéaires de sens contraires.
ABCD est un trapèze de petite base AB = 4 et DC = 10.
.
Soit
et 
2 vecteurs non nuls, et H
projection orthogonale de C sur (AB).Alors :
si 
et sont colinéaires de
même sens
si 
et 
sont colinéaires de sens contraire.
ABC est un triangle équilatéral de
coté 4 .
On nomme I le milieu de [AB].
Calculer 
.
La projection orthogonale de C sur (AB) est le point
I milieu de [AB].
.
et
étant 2 vecteurs
non nuls, 
En posant 
et 
, cette
propriété s’écrit 
.
Dans le triangle précédent,
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