Le produit scalaire : définitions et propriétés - Maxicours

Le produit scalaire : définitions et propriétés

Objectif(s)
  • Comprendre la notion de produit scalaire.
  • Connaître les différentes formules permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs .
  • Calculer le produit scalaire de 2 vecteurs en utilisant la formule appropriée.
  • Utiliser le produit scalaire pour caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs.
Points clés
  • Formule avec les coordonnées dans un repère orthonormé :
  • Formule avec les normes : ou 
  • Produit scalaire à partir de la projection orthogonale avec H le projeté orthogonal de C sur (AB).
  • Formule avec le cosinus :
  • et sont orthogonaux signifie que .
Pour bien comprendre

Vecteurs du plan

 

1. Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé
a. Définition

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs et .

Le produit scalaire des vecteurs et est le réel noté défini par .

Ce réel ne dépend pas du repère choisi.

Exemple 
et alors .
b. Propriétés

Pour tous vecteurs , , et réel on a :

(symétrie)

(linéarité)

(distributivité).

c. Carré scalaire

est appelé carré scalaire de .

On a et .
Ainsi, en posant on a l’égalité suivante :

.
(carré scalaire de = norme de au carré = longueur AB au carré).

d. Produits scalaires remarquables

En appliquant les règles de calcul vues précédemment, on obtient les identités remarquables suivantes : 


Remarque

2. Expression du produit scalaire à l'aide de normes

A l’aide des formules ci-dessus, on obtient une autre définition du produit scalaire qui permet de faire des calculs de produits scalaires quand on connait les normes : et aussi

Exemple
Sachant que , et , calculer et en déduire .
.
Ainsi, d’où .

 

 

 

3. Cas particuliers de vecteurs orthogonaux ou colinéaires
a. Vecteurs orthogonaux
Propriété
Dire que et sont orthogonaux signifie que .
Exemple
On considère les points , , et .
Prouver que les vecteurs et sont orthogonaux.
c’est-à-dire .
De même, .
Ainsi, .
Nous pouvons donc conclure que les vecteurs et sont orthogonaux et donc le triangle ABC est un triangle rectangle en A .
b. Vecteurs colinéaires
Soit et 2 vecteurs colinéaires.
si et sont colinéaires de même sens.
si et sont colinéaires de sens contraires.
Exemple

ABCD est un trapèze de petite base AB = 4 et DC = 10.
.

4. Autres expressions du produit scalaire
a. À l'aide des projections orthogonales
Propriété :
Soit et 2 vecteurs non nuls, et H projection orthogonale de C sur (AB).
Alors :
si et sont colinéaires de même sens

si et sont colinéaires de sens contraire.

Exemple

ABC est un triangle équilatéral de coté 4 .
On nomme I le milieu de [AB].
Calculer .

La projection orthogonale de C sur (AB) est le point I milieu de [AB].
.

b. À l'aide du cosinus de l'angle formé par les 2 vecteurs
Propriété :
et étant 2 vecteurs non nuls,

En posant et , cette propriété s’écrit .

Exemple
Dans le triangle précédent,

 

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