Vecteur normal et équation cartésienne d'une droite
- Écrire une équation de droite, connaissant un point et un vecteur normal.
- Déterminer les coordonnées d'un vecteur
normal à une droite, connaissant l'équation
cartésienne de la droite.
- Toute droite de vecteur normal
a pour équation
.
-
et
sont donnés par les coordonnées du vecteur.
-
se calcule en remplaçant
et
par les coordonnées d'un point de la droite.
-
- Toute droite d'équation
a pour vecteur normal
.
- Produit scalaire : définitions et propriétés
- Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite
Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un
repère orthonormé .
(D) est une droite, A et B sont 2 points de (D).


Autrement dit, le vecteur donne la direction de la droite
(D).
Soient et
deux vecteurs du plan.








La direction d’un vecteur normal à une
droite donne la direction de l’une de ses
perpendiculaires.
est un vecteur directeur de (D).
est un vecteur normal à (D).
Pour déterminer si un vecteur est normal à une droite (AB),
on doit rechercher si
et
sont
orthogonaux, c'est à dire
si
.
Soit A(0 ;2) et B(1 ; 4) et






On a




Donc

Le produit scalaire de ces deux vecteurs étant nul, on peut affirmer qu'ils sont orthogonaux. Donc



La propriété ci-dessus permet ainsi de
déterminer une équation
cartésienne de (D) connaissant les
coordonnées d’un point de (D) et
d‘un vecteur normal .
On considère et
, deux points de (D)
et
, un vecteur normal à (D).
On peut dire que appartient à (D) équivaut
à
.
On a donc : d'où
.
On pose . On obtient ainsi une
équation cartésienne de la droite (D) de
la forme
.


Pour déterminer l'équation d'une
droite (D) connaissant un vecteur normal à
la droite et un
point appartenant à la droite (AB), il y a deux
méthodes :
Méthode 1
- On pose
appartenant à (D) et on exprime les coordonnées du vecteur
:
.
- On calcule le produit scalaire
:
.
- Comme
et
sont orthogonaux, on a
et donc
.
- On développe et on obtient
l'équation cartésienne
ou
Écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal

- Soit M (
;
) appartenant à la droite (D). On exprime les coordonnées de AM :
- On calcule le produit scalaire
:
- équivaut à dire
que
. Comme
et
ainsi
équivaut à
.
- En développant, on
obtient
équation cartésienne de la droite (D).
Méthode 2
- On remplace
et
par les coordonnées du vecteur
dans l'équation
.
- On remplace
et
par les coordonnées de
dans l'équation obtenue en 1.
- On réduit pour trouver
.
- On remplace
par sa valeur dans
.
Écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal

- Comme
est un vecteur normal, on peut dire qu’une équation de (D) est de la forme
.
- Reste à
déterminer
en utilisant le fait que A(-2,3) appartient à (D) donc ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci à savoir :
- On trouve
= - 8
- On remplace
par -8 dans l'équation, ce qui permet de conclure que (D) a pour équation
.
Inversement, on montre que si une droite (D) a pour
équation alors le vecteur
est un vecteur normal à
(D).



La médiatrice du segment [AB] est la droite
qui passe par le milieu de ce segment en étant
perpendiculaire.
Le vecteur est donc un vecteur normal
à la médiatrice du segment [AB].
Soit A(1,3) et B(3 ; –5), Déterminer une équation de la médiatrice du segment [AB].
La médiatrice du segment [AB] est la droite qui passe par le milieu I du segment [AB] et qui a pour vecteur normal

On calcule les coordonnées de I : I


On calcule les coordonnées de




Une équation de la médiatrice du segment [AB] est de la forme





I(2 ; –1) appartient à la médiatrice donc ses coordonnées vérifient l’équation




Donc une équation de la médiatrice


Soient et
, les vecteurs normaux
respectivement aux droites (D) et (D’).
(D) et (D’) sont perpendiculaires si et seulement
si
et
sont orthogonaux, c’est
à dire si
.
Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires, on peut donc calculer le produit scalaire de vecteurs normaux à ces droites.
Soit deux droites D et D’ d’équations respectives


Ces deux droites ont pour vecteurs normaux respectivement






Soit (D), une droite de vecteur directeur .

On considère la droite D d’équation

Déterminer l’équation cartésienne de la droite D’ perpendiculaire à la droite D passant par le point A(–3 , 1).
La droite D’ a pour vecteur normal : un vecteur directeur de la droite D, de coordonnées (–(–4) ; 2) soit (4 ; 2).
Une équation de la droite D’ est donc

Comme A(–3 ; 1) appartient à cette droite D’, ses coordonnées vérifient l’équation :


soit

Donc une équation de la droite D’ est


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