Vecteur normal et équation cartésienne d'une droite

(D) est une droite, A et B sont 2 points de (D).

On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur non nul colinéaire à .

Autrement dit, le vecteur donne la direction de la droite (D).

Soient  et  deux vecteurs du plan.

Le produit scalaire des vecteurs et est le réel noté défini par .

Dire que et sont orthogonaux signifie que (leur produit scalaire est nul), c'est à dire que 

La direction d’un vecteur normal à une droite donne la direction de l’une de ses perpendiculaires.



est un vecteur directeur de (D).
est un vecteur normal à (D).

Pour déterminer si un vecteur  est normal à une droite (AB), on doit rechercher si et  sont orthogonaux, c'est à dire si .

Exemple
Soit A(0 ;2) et B(1 ; 4) et . Le vecteur  est-il normal à la droite (AB) ?
normal à la droite (AB) signifie que et  sont orthogonaux, c'est à dire que l'on a :.
On a , ,  et .
Donc .
Le produit scalaire de ces deux vecteurs étant nul, on peut affirmer qu'ils sont orthogonaux. Donc est un vecteur normal à la droite (AB).

La droite (D) passant par A et de vecteur normal est l’ensemble des points M du plan tels que .

La propriété ci-dessus permet ainsi de déterminer une équation cartésienne de (D) connaissant les coordonnées d’un point de (D) et d‘un vecteur normal .

On considère et , deux points de (D) et , un vecteur normal à (D).
On peut dire que appartient à (D) équivaut à  .
On a donc :  d'où .
On pose . On obtient ainsi une équation cartésienne de la droite (D) de la forme .

On retiendra que si est un vecteur normal à une droite (D), alors une équation de (D) est de la forme 

Pour déterminer l'équation d'une droite (D) connaissant un vecteur normal à la droite et un point appartenant à la droite (AB), il y a deux méthodes :

Méthode 1

1. On pose appartenant à (D) et on exprime les coordonnées du vecteur  : .
2. On calcule le produit scalaire  : .
3. Comme    et   sont orthogonaux, on a et donc .
4.  On développe et on obtient l'équation cartésienne ou 

Exemple  
Écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal .

1. Soit M ( ; ) appartenant à la droite (D). On exprime les coordonnées de AM : 
2. On calcule le produit scalaire  : 
3. équivaut à dire que . Comme et ainsi  équivaut à .
4. En développant, on obtient  équation cartésienne de la droite (D).

Méthode 2

1. On remplace  et  par les coordonnées du vecteur  dans l'équation  .
2. On remplace  et  par les coordonnées de  dans l'équation obtenue en 1.
3. On réduit pour trouver .
4. On remplace  par sa valeur dans .

Exemple  
Écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal .

1. Comme est un vecteur normal, on peut dire qu’une équation de (D) est de la forme .
2. Reste à déterminer  en utilisant le fait que A(-2,3) appartient à (D) donc ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci à savoir :
3. On trouve  = - 8
4. On remplace  par -8 dans l'équation, ce qui permet de conclure que (D) a pour équation .

Inversement, on montre que si une droite (D) a pour équation alors le vecteur est un vecteur normal à (D).

Exemple : La droite (D) d’équation a pour vecteur normal le vecteur .

La médiatrice du segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de ce segment en étant perpendiculaire.
Le vecteur est donc un vecteur normal à la médiatrice du segment [AB].

Exemple
Soit A(1,3) et B(3 ; –5), Déterminer une équation de la médiatrice du segment [AB].
La médiatrice du segment [AB] est la droite qui passe par le milieu I du segment [AB] et qui a pour vecteur normal .
On calcule les coordonnées de I : I d’où I soit I(2 ; –1).
On calcule les coordonnées de : d’où soit .
Une équation de la médiatrice du segment [AB] est de la forme et comme est un vecteur normal à la droite, on peut prendre et . Une équation de la médiatrice est .
I(2 ; –1) appartient à la médiatrice donc ses coordonnées vérifient l’équation




Donc une équation de la médiatrice .

Soient et , les vecteurs normaux respectivement aux droites (D) et (D’). (D) et (D’) sont perpendiculaires si et seulement si et sont orthogonaux, c’est à dire si .

Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires, on peut donc calculer le produit scalaire de vecteurs normaux à ces droites.

Exemple
Soit deux droites D et D’ d’équations respectives et .
Ces deux droites ont pour vecteurs normaux respectivement et .

et sont orthogonaux donc les droites D et D’ sont perpendiculaires

Soit (D), une droite de vecteur directeur .

(D’) est une droite perpendiculaire à (D) si et seulement si est un vecteur normal à D'.

Exemple
On considère la droite D d’équation .
Déterminer l’équation cartésienne de la droite D’ perpendiculaire à la droite D passant par le point A(–3 , 1).
La droite D’ a pour vecteur normal : un vecteur directeur de la droite D, de coordonnées (–(–4) ; 2) soit (4 ; 2).
Une équation de la droite D’ est donc .
Comme A(–3 ; 1) appartient à cette droite D’, ses coordonnées vérifient l’équation :


soit .
Donc une équation de la droite D’ est .