Vecteur normal et équation cartésienne d'une droite - Maxicours

Vecteur normal et équation cartésienne d'une droite

Objectifs
  • Écrire une équation de droite, connaissant un point et un vecteur normal.
  • Déterminer les coordonnées d'un vecteur normal à une droite, connaissant l'équation cartésienne de la droite.
     
Points clés
  • Toute droite de vecteur normal  a pour équation .
    •  et  sont donnés par les coordonnées du vecteur.
    •  se calcule en remplaçant  et  par les coordonnées d'un point de la droite.
  • Toute droite d'équation  a pour vecteur normal .

 

Pour bien comprendre
  • Produit scalaire : définitions et propriétés
  • Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite

Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un repère orthonormé .

1. Vecteur directeur, vecteurs orthogonaux (rappels)
a. Vecteur directeur d'une droite

(D) est une droite, A et B sont 2 points de (D).

On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur non nul colinéaire à .

Autrement dit, le vecteur donne la direction de la droite (D).

b. Vecteurs orthogonaux et produit scalaire
Produit scalaire de deux vecteurs

Soient  et  deux vecteurs du plan.

Le produit scalaire des vecteurs et est le réel noté défini par .
Remarque : ce réel ne dépend pas du repère choisi.
Orthogonalité
Dire que et sont orthogonaux signifie que (leur produit scalaire est nul), c'est à dire que 
Remarque : deux vecteurs orthogonaux forment un angle droit. 
2. Droite et vecteur normal
a. Vecteur normal à une droite
Définition
Étant donnée une droite (D), on appelle vecteur normal à (D) tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de (D).

La direction d’un vecteur normal à une droite donne la direction de l’une de ses perpendiculaires.



est un vecteur directeur de (D).
est un vecteur normal à (D).

Méthode pour déterminer si un vecteur est normal à une droite

Pour déterminer si un vecteur  est normal à une droite (AB), on doit rechercher si et  sont orthogonaux, c'est à dire si .

Exemple
Soit A(0 ;2) et B(1 ; 4) et . Le vecteur  est-il normal à la droite (AB) ?
normal à la droite (AB) signifie que et  sont orthogonaux, c'est à dire que l'on a :.
On a  et .
Donc .
Le produit scalaire de ces deux vecteurs étant nul, on peut affirmer qu'ils sont orthogonaux. Donc est un vecteur normal à la droite (AB).
b. Droite définie par un point et un vecteur normal
Définition
La droite (D) passant par A et de vecteur normal est l’ensemble des points M du plan tels que .
Equation cartésienne

La propriété ci-dessus permet ainsi de déterminer une équation cartésienne de (D) connaissant les coordonnées d’un point de (D) et d‘un vecteur normal .

On considère et , deux points de (D) et , un vecteur normal à (D).
On peut dire que appartient à (D) équivaut à  .
On a donc :  d'où .
On pose . On obtient ainsi une équation cartésienne de la droite (D) de la forme .

On retiendra que si est un vecteur normal à une droite (D), alors une équation de (D) est de la forme 

Pour déterminer l'équation d'une droite (D) connaissant un vecteur normal à la droite et un point appartenant à la droite (AB), il y a deux méthodes :

Méthode 1

  1. On pose appartenant à (D) et on exprime les coordonnées du vecteur  : .
  2. On calcule le produit scalaire  : .
  3. Comme    et   sont orthogonaux, on a et donc .
  4.  On développe et on obtient l'équation cartésienne ou 
Exemple  
Écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal .
  1. Soit M ( ; ) appartenant à la droite (D). On exprime les coordonnées de AM : 
  2. On calcule le produit scalaire  : 
  3. équivaut à dire que . Comme et ainsi  équivaut à .
  4. En développant, on obtient  équation cartésienne de la droite (D).

Méthode 2

  1. On remplace  et  par les coordonnées du vecteur  dans l'équation  .
  2. On remplace  et  par les coordonnées de  dans l'équation obtenue en 1.
  3. On réduit pour trouver .
  4. On remplace  par sa valeur dans .
Exemple  
Écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal .
  1. Comme est un vecteur normal, on peut dire qu’une équation de (D) est de la forme .
  2. Reste à déterminer  en utilisant le fait que A(-2,3) appartient à (D) donc ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci à savoir :
  3. On trouve  = - 8
  4. On remplace  par -8 dans l'équation, ce qui permet de conclure que (D) a pour équation .

Inversement, on montre que si une droite (D) a pour équation alors le vecteur est un vecteur normal à (D).

Exemple : La droite (D) d’équation a pour vecteur normal le vecteur .

 

3. Applications
a. Médiatrice d'un segment

La médiatrice du segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de ce segment en étant perpendiculaire.
Le vecteur est donc un vecteur normal à la médiatrice du segment [AB].

Exemple
Soit A(1,3) et B(3 ; –5), Déterminer une équation de la médiatrice du segment [AB].
La médiatrice du segment [AB] est la droite qui passe par le milieu I du segment [AB] et qui a pour vecteur normal .
On calcule les coordonnées de I : I d’où I soit I(2 ; –1).
On calcule les coordonnées de : d’où soit .
Une équation de la médiatrice du segment [AB] est de la forme et comme est un vecteur normal à la droite, on peut prendre et . Une équation de la médiatrice est .
I(2 ; –1) appartient à la médiatrice donc ses coordonnées vérifient l’équation




Donc une équation de la médiatrice .
b. Droites perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Soient et , les vecteurs normaux respectivement aux droites (D) et (D’). (D) et (D’) sont perpendiculaires si et seulement si et sont orthogonaux, c’est à dire si .

Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires, on peut donc calculer le produit scalaire de vecteurs normaux à ces droites.

Exemple
Soit deux droites D et D’ d’équations respectives et .
Ces deux droites ont pour vecteurs normaux respectivement et .

et sont orthogonaux donc les droites D et D’ sont perpendiculaires
c. Équation d’une droite perpendiculaire à une autre droite

Soit (D), une droite de vecteur directeur .

(D’) est une droite perpendiculaire à (D) si et seulement si est un vecteur normal à D'.
Exemple
On considère la droite D d’équation .
Déterminer l’équation cartésienne de la droite D’ perpendiculaire à la droite D passant par le point A(–3 , 1).
La droite D’ a pour vecteur normal : un vecteur directeur de la droite D, de coordonnées (–(–4) ; 2) soit (4 ; 2).
Une équation de la droite D’ est donc .
Comme A(–3 ; 1) appartient à cette droite D’, ses coordonnées vérifient l’équation :


soit .
Donc une équation de la droite D’ est .

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