Applications du produit scalaire

A, B, C sont 3 points repérés par leurs coordonnées dans repère orthonormé .
Exprimons le produit scalaire de deux façons différentes :

• 
• 
  Ainsi, on peut en conclure que :   

Cette formule permet d'évaluer une mesure de l’angle .

Exemple
Soit , et .
Déterminer une mesure au degré près des 3 angles du triangle ABC.
D’après ce que l’on a vu ci-dessus, .
Or soit et .
Ainsi,  et 
En injectant ces données dans la formule, on obtient :
A l’aide de la calculatrice ( ), on obtient  au degré près.
Pour déterminer une mesure de l‘angle  , on utilise la même démarche et on obtient :



et 

Ainsi, d'où  au degré près.

On utilise le fait que la somme des angles dans un triangle vaut 180° et au degré près.

ABC est un triangle où l’on adopte les notations suivantes :
, et .
, et  .

Ce qui s’écrit à l’aide des notations ci-dessus : 

Par permutation circulaire, on a également : 

Ces formules permettent de déterminer une mesure des angles du triangle connaissant les longueurs des trois côtés, ou déterminer la longueur du 3^e côté connaissant deux cotés et l’angle encadré par ces deux cotés.

Exemple
Un triangle ABC est tel que AB = 5, AC = 7 et  . Déterminer la longueur du coté BC.
On connaît c, b et l’angle en A donc on peut utiliser .

.
Ainsi,  .

On considère un segment de milieu I .
Alors pour tout point M du plan, on a : 

 car 

 car I est le milieu de [AB]

La relation  permet, lorsque l’on connaît la longueur des trois cotés d’un triangle, de déterminer la longueur de la médiane .

Exemple
Dans le triangle précédent, déterminer la longueur de la médiane .
D’après la relation précédente, .





soit 

 

On considère un segment [AB] de milieu I.

Pour tout point M du plan, on a .

Or I est le milieu de [AB] donc  et  .

On obtient la relation suivante :

Puis : .

Cette relation va nous permettre de donner une caractérisation d’un cercle en utilisant le produit scalaire.

L’ensemble des points M du plan qui vérifient  est le cercle de diamètre [AB].

On reprend l'expression précédente .
Ce qui donne et donc .
Cela signifie que M appartient au cercle de centre I milieu de [AB] et de rayon , donc au cercle de diamètre [AB].

Exemple
Dans un repère on donne A(2 ; 3) et B(1 ; –5). Donner l’équation du cercle de diamètre [AB].
D’après ce qui précède le point M appartient au cercle si et seulement si .
On calcule alors le produit scalaire .
On développe pour obtenir une équation de cercle : , que l’on écrit sous la forme .