Applications du produit scalaire
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Utiliser le produit scalaire pour :
- calculer une longueur (côté ou médiane d'un triangle) ;
- calculer un angle ;
- caractériser un cercle.
- Calculer un angle avec la
formule :
- Calculer un angle ou une longueur avec la formule
d'Al Kashi :
- Calculer la longueur d'une médiane d'un
triangle, à l'aide
du théorème de la médiane :
- Caractériser un cercle par
.
Produit scalaire : définitions et propriétés
A, B, C sont 3 points repérés par leurs
coordonnées dans repère orthonormé
.
Exprimons le produit scalaire 
de deux façons
différentes :
-
-
Ainsi, on peut en conclure que :
Cette formule permet d'évaluer une mesure de
l’angle 
.
Soit
, 
et 
.Déterminer une mesure au degré près des 3 angles du triangle ABC.
D’après ce que l’on a vu ci-dessus,
.Or
soit 
et 
.Ainsi,
et 
En injectant ces données dans la formule, on obtient :
A l’aide de la calculatrice (
), on obtient 
au degré près.Pour déterminer une mesure de l‘angle
, on utilise la même
démarche et on obtient :
et 
Ainsi,
d'où 
au degré près.On utilise le fait que la somme des angles dans un triangle vaut 180° et
au degré
près.
ABC est un triangle où l’on adopte les
notations suivantes :
, 
et 
.
, 
et 
.
Ce qui s’écrit à l’aide des notations ci-dessus :
Par permutation circulaire, on a également :
Ces formules permettent de déterminer une mesure des angles du triangle connaissant les longueurs des trois côtés, ou déterminer la longueur du 3e côté connaissant deux cotés et l’angle encadré par ces deux cotés.
Un triangle ABC est tel que AB = 5, AC = 7 et
. Déterminer la longueur du
coté BC.On connaît c, b et l’angle en A donc on peut utiliser
.
.Ainsi,
.
de milieu I .Alors pour tout point M du plan, on a :
car 
car I est le milieu de [AB]
La relation permet, lorsque l’on
connaît la longueur des trois cotés
d’un triangle, de déterminer la longueur
de la médiane 
.
Dans le triangle précédent, déterminer la longueur de la médiane
.D’après la relation précédente,
.
soit 
On considère un segment [AB] de milieu I.
Pour tout point M du plan, on a 
.
Or I est le milieu
de [AB] donc 
et 
.
On obtient la relation suivante :
Puis : 
.
Cette relation va nous permettre de donner une caractérisation d’un cercle en utilisant le produit scalaire.
est le cercle de diamètre [AB].
.Ce qui donne
et donc 
.Cela signifie que M appartient au cercle de centre I milieu de [AB] et de rayon
, donc au cercle de
diamètre [AB].
Dans un repère on donne A(2 ; 3) et B(1 ; –5). Donner l’équation du cercle de diamètre [AB].
D’après ce qui précède le point M
appartient au cercle si et
seulement si 
.On calcule alors le produit scalaire
.On développe pour obtenir une équation de cercle :
, que l’on écrit
sous la forme 
.
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