Applications du produit scalaire - Maxicours

Applications du produit scalaire

Objectifs

Utiliser le produit scalaire pour :

  • calculer une longueur (côté ou médiane d'un triangle) ;
  • calculer un angle ;
  • caractériser un cercle.
Points clés
  • Calculer un angle avec la formule : 
  • Calculer un angle ou une longueur avec la formule d'Al Kashi : 
  • Calculer la longueur d'une médiane d'un triangle, à l'aide
    du théorème de la médiane : 
  • Caractériser un cercle par .
Pour bien comprendre

 Produit scalaire : définitions et propriétés

1. Produit scalaire et calcul d'angles dans un repère orthonormé
a. Principe

A, B, C sont 3 points repérés par leurs coordonnées dans repère orthonormé .
Exprimons le produit scalaire de deux façons différentes :


  • Ainsi, on peut en conclure que :   
Remarque : il est préférable de retenir la méthode plutôt que la formule.

 

b. Application

Cette formule permet d'évaluer une mesure de l’angle .

Exemple
Soit , et .
Déterminer une mesure au degré près des 3 angles du triangle ABC.
D’après ce que l’on a vu ci-dessus, .
Or soit et .
Ainsi,  et 
En injectant ces données dans la formule, on obtient :
A l’aide de la calculatrice ( ), on obtient  au degré près.
Pour déterminer une mesure de l‘angle  , on utilise la même démarche et on obtient :



et 

Ainsi, d'où  au degré près.

On utilise le fait que la somme des angles dans un triangle vaut 180° et au degré près.

2. Théorème d'Al Kashi
a. Théorème

ABC est un triangle où l’on adopte les notations suivantes :
, et .
, et  .


 

Ce qui s’écrit à l’aide des notations ci-dessus : 

Par permutation circulaire, on a également : 

b. Application

Ces formules permettent de déterminer une mesure des angles du triangle connaissant les longueurs des trois côtés, ou déterminer la longueur du 3e côté connaissant deux cotés et l’angle encadré par ces deux cotés.

Remarque : ces formules généralisent le théorème de Pythagore.
Exemple
Un triangle ABC est tel que AB = 5, AC = 7 et  . Déterminer la longueur du coté BC.
On connaît c, b et l’angle en A donc on peut utiliser .

.
Ainsi,  .
3. Théorème de la médiane
a. Théorème
On considère un segment de milieu I .
Alors pour tout point M du plan, on a : 



Preuve

 car 

 

 car I est le milieu de [AB]

b. Application

La relation  permet, lorsque l’on connaît la longueur des trois cotés d’un triangle, de déterminer la longueur de la médiane .

Exemple
Dans le triangle précédent, déterminer la longueur de la médiane .
D’après la relation précédente, .





soit 

 
4. Caractérisation du cercle
a. Transformation de l'expression du produit scalaire de deux vecteurs

On considère un segment [AB] de milieu I.

Pour tout point M du plan, on a .

Preuve


Or I est le milieu de [AB] donc  et  .

On obtient la relation suivante :

 

Puis : .

b. Application

Cette relation va nous permettre de donner une caractérisation d’un cercle en utilisant le produit scalaire.

L’ensemble des points M du plan qui vérifient  est le cercle de diamètre [AB].
 
Preuve
On reprend l'expression précédente .
Ce qui donne et donc .
Cela signifie que M appartient au cercle de centre I milieu de [AB] et de rayon , donc au cercle de diamètre [AB].
 
Exemple
Dans un repère on donne A(2 ; 3) et B(1 ; –5). Donner l’équation du cercle de diamètre [AB].
D’après ce qui précède le point M appartient au cercle si et seulement si .
On calcule alors le produit scalaire .
On développe pour obtenir une équation de cercle : , que l’on écrit sous la forme .

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