Fiche de cours

Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite

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Objectifs

Découvrir et déterminer une équation cartésienne de droite.

Points clés
  • Toute droite du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0 appelée équation cartésienne.
  • Le vecteur est un vecteur directeur de cette droite. Il donne la direction de cette droite.

Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un repère .

1. Équation cartésienne de droite connaissant un point et un vecteur directeur
a. Vecteur directeur d'une droite
Définition

(D) est une droite, A et B sont 2 points de (D).

On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur non nul colinéaire à .

Autrement dit, le vecteur donne la direction de la droite (D).

Remarques
  • Tous les vecteurs colinéaires non nuls à sont aussi vecteurs directeurs de (D) : il existe donc une infinité de vecteurs directeurs d'une droite, tous colinéaires entre eux.
  • Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.


Propriété
La droite (D) passant par A et de vecteur directeur est l'ensemble des points M du plan vérifiant et colinéaires.
b. Équation cartésienne d'une droite

Considérons une droite (D) passant par A(xA,yA) et de vecteur directeur .
et colinéaires
                             
                             
                             

Nous venons de montrer que toute droite du plan admet une équation du type ax + by + c = 0 avec a et b non simultanément nuls.
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (D). Elle lie les abscisses et ordonnées de tout point M(x,y) de cette droite et uniquement les points de cette droite.


On retiendra la méthode exposée puisqu'elle permet, en connaissant un point et un vecteur directeur d'une droite, de déterminer une équation cartésienne de celle-ci.

c. Application
Tracer la droite (D) passant par un point A et de vecteur directeur 

Soit la droite (D) passant par le point A(–1,2) et de vecteur directeur .
On place le point A, et on applique le vecteur en ce point.
Reste à tracer la droite (D) passant par A ayant pour direction celle de .

Écrire une équation cartésienne de (D).

Pour écrire une équation de (D), on reprend la méthode exposée ci-dessus dans le cas général.

M(x,y) appartient à (D) équivaut à dire et colinéaires
                                        
                                        
                                        

On peut ainsi conclure que (D) a pour équation cartésienne .

Donner les coordonnées d’un point B de (D).

Affectons une valeur à x et déterminons la valeur correspondant à y.
Par exemple, prenons x = 1. Comme B appartient à la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation de (D) à savoir .

Ainsi, soit .

On a finalement et est un point de (D).

Vérifier l'appartenance d'un point C à la droite (D).

Le point C(–4,3) appartient-il à cette droite ?
Dire que revient à dire que les coordonnées de C vérifient l'équation de (D).
Or
Donc, oui C est sur (D).

2. Vecteur directeur d'une droite (D) connaissant une équation cartésienne
a. Propriété
L'ensemble des points M(x,y) tels que ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) est une droite vecteur directeur .
b. Applications

Cette propriété permet de :

  • caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) ;
  • déterminer un vecteur directeur de cette droite.
Exemple
On considère la droite (D) d'équation cartésienne 2x – 3y + 1 = 0.
  1. Déterminer un vecteur directeur de (D).
    2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1.
    La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur est vecteur directeur de (D).
  2. Le vecteur est-il un vecteur de (D) ?
    est aussi vecteur de (D) à condition que et soient colinéaires.
    On remarque que donc est un vecteur directeur de (D).
  3. Quel est le coefficient directeur de la droite (D) ?
    Le coefficient directeur de (D) est connu lorsque l'équation de (D) est mise sous la forme y = mx + p appelée équation réduite de (D).
    s'écrit aussi soit
    Ainsi, est coefficient directeur de (D).

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