Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite
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Découvrir et déterminer une équation cartésienne de droite.
- Toute droite du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0 appelée équation cartésienne.
- Le vecteur
est
un vecteur directeur de cette droite. Il donne la
direction de cette droite.
Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un
repère 
.
(D) est une droite, A et B sont 2 points de (D).
non
nul colinéaire à 
.
Autrement dit, le vecteur 
donne
la direction de la droite (D).
- Tous les vecteurs colinéaires non nuls
à
sont
aussi vecteurs directeurs de (D) : il existe
donc une infinité de vecteurs directeurs d'une
droite, tous colinéaires entre eux.
- Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
est
l'ensemble des points M du plan vérifiant
et
colinéaires.
Considérons une droite (D) passant par
A(xA,yA) et de
vecteur directeur 
.
et
colinéaires
On retiendra la méthode exposée
puisqu'elle permet, en connaissant un point et un
vecteur directeur d'une droite, de déterminer
une équation cartésienne de celle-ci.
Soit la droite (D) passant par le point
A(–1,2) et de vecteur directeur 
.
On place le point A, et on applique le vecteur
en
ce point.
Reste à tracer la droite (D) passant par
A ayant pour direction celle de 
.
Pour écrire une équation de (D),
on reprend la méthode exposée ci-dessus
dans le cas général.
M(x,y) appartient à
(D) équivaut à dire 
et 
colinéaires
On peut ainsi conclure que (D) a pour
équation cartésienne 
.
Affectons une valeur à x et
déterminons la valeur correspondant à
y.
Par exemple, prenons x = 1. Comme B
appartient à la droite (D), ses
coordonnées vérifient l'équation
de (D) à savoir 
.
Ainsi, 
soit
.
On a finalement 
et
est un
point de (D).
Le point C(–4,3) appartient-il à cette
droite ?
Dire que 
revient
à dire que les coordonnées de C
vérifient l'équation de (D).
Or 
Donc, oui C est sur (D).
.
Cette propriété permet de :
- caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) ;
- déterminer un vecteur directeur de cette droite.
On considère la droite (D) d'équation cartésienne 2x – 3y + 1 = 0.
- Déterminer un vecteur directeur de
(D).
2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1.
La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur
est vecteur
directeur de (D).
- Le vecteur
est-il un
vecteur de (D) ?
est aussi
vecteur de (D) à condition que
et 
soient
colinéaires.
On remarque que
donc
est un vecteur
directeur de (D).
- Quel est le coefficient directeur de la droite
(D) ?
Le coefficient directeur de (D) est connu lorsque l'équation de (D) est mise sous la forme y = mx + p appelée équation réduite de (D).
s'écrit
aussi 
soit
Ainsi,
est
coefficient directeur de (D).
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