Opérations et dérivées
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Calculer la dérivée :
- de la somme
- du produit
- du quotient de deux fonctions
- de l'inverse d'une fonction
- d'une fonction d'une fonction affine
Formule de la dérivée :
- d'une somme :
- du produit d'une fonction par un réel
:
- du produit de deux fonctions :
- du quotient de deux fonctions :
- d'une fonction inverse :
- d'une fonction d'une fonction affine
:
- Fonction dérivable, fonction dérivée
- Dérivées des fonctions usuelles
est
dérivable en tout réel 
d’un intervalle I, on dit
que est
dérivable sur I.
est
la fonction qui à tout
réel de I
associe son nombre dérivé, noté
.
est
la valeur vers laquelle tend 
lorsque 
tend
vers 0.
la
fonction dérivée de .
Pour ce qui suit, on pose : soient 
et 
deux
fonctions de , et
un
réel fixé.
et
. Les
notations simplifiées et sont générales
jusqu’au bac.
Formule :
.
Soit
et définies par 
,
définie et dérivable sur 
, et 
, définie et
dérivable sur 
(Par fonction dérivable
sur , on entend fonction
dérivable sur 
et
. Ces
deux fonctions sont définies et
dérivables sur 
et on a : 
puisque 
et 
.
.
Soit
,
définie et dérivable sur . La
fonction 
est définie et
dérivable sur et
on a : 
puisque 
et 
.
.
Preuve
On peut insérer au milieu du dénominateur
la quantité 
car elle vaut 0.
On obtient :
que l'on sépare
en 2 fractions : 
.
On obtient alors : 
Quand h tend vers 0 :
-
tend
vers 
-
tend
vers 
-
tend vers
-
tend vers 
Le taux d'accroissement de 
tend donc vers 
, qui
vaut 
Soient
et 
,
définies et dérivables sur 
. La fonction 
est définie et dérivable
sur .En général on écrit la préparation des calculs dans un tableau :
|
|
|
|
Ce qui permet de faire les calculs plus
simplement.
Ainsi : 
, 
et ainsi on calcule
.
Enfin, on conclut : 
.
et définies et
dérivables sur un intervalle I, avec comme
obligation que ne s'annule pas sur I, est
donnée par la formule :
.
Soit
et 
. Ces deux fonctions sont
définies dérivables sur 
(car la
fonction ne
s’annule pas sur cet intervalle).On peut écrire la préparation des calculs dans un tableau :
|
|
|
|
Ce qui permet de faire les calculs plus
simplement :
D'où :
et enfin 
.
définie et
dérivable sur un intervalle
I, composée avec une fonction
affine 
, est donnée par la
formule :
Soient
définie sur 
et dérivable
sur 
et 
, définie et
dérivable sur .
est définie
sur 
et dérivable
sur 
.Pour tout
d'un de ces intervalles, on
a : 
et 
d'où 
- Les calculatrices « numériques » (calculatrices habituelles) peuvent calculer un nombre dérivé mais elles ne donnent pas l’expression des fonctions dérivées.
- Les calculatrices « formelles » (TI-Nspire CAS, Casio Graph 100), comme les logiciels de calculs mathématiques « formels » donnent directement l’expression des fonctions dérivées, y compris pour les calculs de produit ou quotient.
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