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Opérations et dérivées

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Objectifs

Calculer la dérivée :

de la somme
du produit
du quotient de deux fonctions
de l'inverse d'une fonction
d'une fonction d'une fonction affine

Points clés

Formule de la dérivée :

d'une somme :
du produit d'une fonction par un réel :
du produit de deux fonctions :
du quotient de deux fonctions :
d'une fonction inverse :
d'une fonction d'une fonction affine :

Pour bien comprendre

Fonction dérivable, fonction dérivée
Dérivées des fonctions usuelles

1. Rappel : dérivabilité et fonction dérivée

est dérivable en tout réel

d’un intervalle I, on dit que

est dérivable sur I.

La fonction dérivée de

est la fonction qui à tout réel

de I associe son nombre dérivé, noté

est la valeur vers laquelle tend

lorsque

tend vers 0.

Notation : on note

la fonction dérivée de

2. Dérivation et opérations sur les fonctions

Pour ce qui suit, on pose : soient et deux fonctions de , et un réel fixé.

Remarque : il faudrait écrire

. Les notations simplifiées

sont générales jusqu’au bac.

a. Dérivée de la somme de deux fonctions dérivables

La dérivée de la somme de deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I est la somme des dérivées de ces deux fonctions.

Formule :

Exemple
Soit

définies par

, définie et dérivable sur

, et

, définie et dérivable sur

(Par fonction dérivable sur

, on entend fonction dérivable sur

. Ces deux fonctions sont définies et dérivables sur

et on a :

puisque

b. Dérivée du produit par une réel

La dérivée du produit d'une fonction définie et dérivable sur un intervalle I par un réel fixé k est le produit de k et de la dérivée de la fonction.

Formule :

Exemple
Soit

, définie et dérivable sur

. La fonction

est définie et dérivable sur

et on a :

puisque

c. Dérivée du produit de deux fonctions

La dérivée du produit de deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I est donnée par la formule suivante.

Formule :

Preuve

On peut insérer au milieu du dénominateur la quantité car elle vaut 0.
On obtient :
que l'on sépare en 2 fractions : .
On obtient alors :
Quand h tend vers 0 :

tend vers
tend vers
tend vers
tend vers

Le taux d'accroissement de tend donc vers , qui vaut

Exemple
Soient

, définies et dérivables sur

. La fonction

est définie et dérivable sur

.
En général on écrit la préparation des calculs dans un tableau :

Ce qui permet de faire les calculs plus simplement.
Ainsi : , et ainsi on calcule .
Enfin, on conclut : .

d. Dérivée du quotient de deux fonctions

La dérivée du quotient de deux fonctions

définies et dérivables sur un intervalle I, avec comme obligation que

ne s'annule pas sur I, est donnée par la formule :

Formule :

Exemple
Soit

. Ces deux fonctions sont définies dérivables sur

(car la fonction

ne s’annule pas sur cet intervalle).
On peut écrire la préparation des calculs dans un tableau :

Ce qui permet de faire les calculs plus simplement :

D'où :

et enfin .

Remarque : en général on ne développe pas le dénominateur.

Cas particulier : dérivée d'une fonction inverse.

Prenons le cas où

e. Dérivée d'une fonction d'une fonction affine

La dérivée d'une fonction

définie et dérivable sur un intervalle I, composée avec une fonction affine

, est donnée par la formule :

Formule :

Exemple
Soient

définie sur

et dérivable sur

, définie et dérivable sur

est définie sur

et dérivable sur

.
Pour tout

d'un de ces intervalles, on a :

d'où

f. Dérivation et calculatrices

Les calculatrices « numériques » (calculatrices habituelles) peuvent calculer un nombre dérivé mais elles ne donnent pas l’expression des fonctions dérivées.
Les calculatrices « formelles » (TI-Nspire CAS, Casio Graph 100), comme les logiciels de calculs mathématiques « formels » donnent directement l’expression des fonctions dérivées, y compris pour les calculs de produit ou quotient.

Remarque : quand on demande de dériver une fonction au bac, le résultat est souvent donné dans l'énoncé. Ce qui est demandé dans l'épreuve, c'est de détailler les calculs, pas d'écrire le résultat obtenu (puisqu'il est donné). Montrez bien comment vous obtenez la dérivée.

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