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Opérations et dérivées

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Objectifs

Calculer la dérivée :

  • de la somme
  • du produit
  • du quotient de deux fonctions
  • de l'inverse d'une fonction
  • d'une fonction d'une fonction affine
Points clés

Formule de la dérivée :

  • d'une somme : 
  • du produit d'une fonction par un réel : 
  • du produit de deux fonctions : 
  • du quotient de deux fonctions : 
  • d'une fonction inverse : 
  • d'une fonction d'une fonction affine : 
Pour bien comprendre
  • Fonction dérivable, fonction dérivée
  • Dérivées des fonctions usuelles
1. Rappel : dérivabilité et fonction dérivée
Si  est dérivable en tout réel  d’un intervalle I, on dit que  est dérivable sur I.
La fonction dérivée de  est la fonction qui à tout réel  de I associe son nombre dérivé, noté .
 est la valeur vers laquelle tend   lorsque  tend vers 0.
Notation : on note la fonction dérivée de .
2. Dérivation et opérations sur les fonctions

Pour ce qui suit, on pose : soient  et  deux fonctions de , et  un réel fixé.

Remarque : il faudrait écrire  et . Les notations simplifiées  et  sont générales jusqu’au bac.

 

a. Dérivée de la somme de deux fonctions dérivables
La dérivée de la somme de deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I est la somme des dérivées de ces deux fonctions.

Formule : .
Exemple
Soit  et  définies par  , définie et dérivable sur , et , définie et dérivable sur (Par fonction dérivable sur , on entend fonction dérivable sur  et. Ces deux fonctions sont définies et dérivables sur et on a :  puisque  et .
b. Dérivée du produit par une réel
La dérivée du produit d'une fonction définie et dérivable sur un intervalle I par un réel fixé k est le produit de k et de la dérivée de la fonction.
Formule : .
Exemple
Soit , définie et dérivable sur . La fonction  est définie et dérivable sur  et on a :  puisque  et .
c. Dérivée du produit de deux fonctions
La dérivée du produit de deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I est donnée par la formule suivante.
Formule : .

Preuve

On peut insérer au milieu du dénominateur la quantité  car elle vaut 0.
On obtient :
  que l'on sépare en 2 fractions : .
On obtient alors : 
Quand h tend vers 0 :

  •  tend vers 
  •   tend vers 
  •  tend vers 
  •   tend vers 

Le taux d'accroissement de  tend donc vers , qui vaut 

Exemple
Soient  et  , définies et dérivables sur . La fonction  est définie et dérivable sur .
En général on écrit la préparation des calculs dans un tableau :
 


Ce qui permet de faire les calculs plus simplement.
Ainsi : , et ainsi on calcule .
Enfin, on conclut : .

d. Dérivée du quotient de deux fonctions
La dérivée du quotient de deux fonctions  et  définies et dérivables sur un intervalle I, avec comme obligation que  ne s'annule pas sur I, est donnée par la formule :
Formule : .
Exemple
Soit  et . Ces deux fonctions sont définies dérivables sur (car la fonction  ne s’annule pas sur cet intervalle).
On peut écrire la préparation des calculs dans un tableau :
 


Ce qui permet de faire les calculs plus simplement :

D'où :
 

et enfin .

Remarque : en général on ne développe pas le dénominateur.
Cas particulier : dérivée d'une fonction inverse.
Prenons le cas où 

 

e. Dérivée d'une fonction d'une fonction affine
La dérivée d'une fonction  définie et dérivable sur un intervalle I, composée avec une fonction affine , est donnée par la formule :
Formule : 
Exemple
Soient  définie sur  et dérivable sur  et , définie et dérivable sur .

 est définie sur  et dérivable sur .
Pour tout  d'un de ces intervalles, on a :  et  d'où 
f. Dérivation et calculatrices
  • Les calculatrices « numériques » (calculatrices habituelles) peuvent calculer un nombre dérivé mais elles ne donnent pas l’expression des fonctions dérivées.
  • Les calculatrices « formelles » (TI-Nspire CAS, Casio Graph 100), comme les logiciels de calculs mathématiques « formels » donnent directement l’expression des fonctions dérivées, y compris pour les calculs de produit ou quotient.
Remarque : quand on demande de dériver une fonction au bac, le résultat est souvent donné dans l'énoncé. Ce qui est demandé dans l'épreuve, c'est de détailler les calculs, pas d'écrire le résultat obtenu (puisqu'il est donné). Montrez bien comment vous obtenez la dérivée.

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