Droite numérique et cercle trigonométrique
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- Définir le point image d'un réel.
- Points image remarquables.
- Placer le point image d'un réel x sur le cercle trigonométrique.
- Quand la droite (d) s’enroule autour du cercle, on peut faire correspondre à chaque abscisse x de la droite un point du cercle trigonométrique. On dit alors que ce point est le point image (ou l'image) de x.
- Si M est le point-image de a alors M est également le point image de (avec k un entier relatif).
- Si a et b sont deux réels tels que , alors a et b> possèdent le même point image.
- Pour placer un point image sur le cercle, il faut :
- Déterminer la mesure principale : elle est comprise entre et .
- Déterminer le sens de déplacement sur le cercle trigonométrique.
- Placer le point image de la mesure principale sur le cercle (à l'aide des points remarquables ou à l'aide d'un rapporteur).
Dans le repère associé au cercle trigonométrique, on définit la droite (d) tangente au cercle trigonométrique au point I. Cette droite graduée représente l’ensemble des nombres réels.
Sur le cercle trigonométrique ci-contre:
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Réciproquement, à tout point du cercle correspond une infinité d'abscisses sur (d) : Ainsi, M est le point image des abscisses suivantes :
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Propriétés
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Si M est le point image de a alors M est également le point image de (avec k un entier relatif).
-
Si a et b sont deux réels tels que , alors a et b possèdent le même point image.
La longueur d'un cercle est donnée par la formule
2πR.
Pour le cercle trigonométrique R = 1, donc la
longueur du cercle trigonométrique est
égale à 2π.
Ainsi :
- parcourir 2π sur le cercle revient à effectuer un tour complet dans le sens positif ;
- parcourir π revient à effectuer un demi-tour dans le sens positif ;
- parcourir équivaut à parcourir un quart de tour dans le sens positif ;
- etc.
On peut alors déterminer les points images des réels 2π, π, , , etc ; en parcourant la longueur correspondante à partir du point I :
I est l'image de 2π | K est l'image de π | J est l'image de |
C est l'image de | B est l'image de | B est l'image de |
- Déterminer la mesure principale : elle est comprise entre et .
- Déterminer le sens de déplacement sur le cercle trigonométrique.
- Placer le point image de la mesure principale sur le cercle.
Pour trouver la mesure principale, on ajoute ou soustrait (avec k un entier relatif) pour avoir une mesure comprise entre et .
La mesure principale est .
On regarde le signe de la mesure principale :
- si elle est positive, on parcourt le cercle dans le sens trigonométrique ;
- si elle négative, on le parcourt dans le sens des aiguille d'une montre.
► On découpe le cercle trigonométrique en parts égales.
-
4 parts égales si la mesure principale est fonction de ;
- 6 parts égales si la mesure principale est fonction de ;
- 8 parts égales si la mesure principale est fonction de ;
- 12 parts égales si la mesure principale est fonction de .
► On détermine le nombre de parts à parcourir.
Le point image recherché est le point K.
► On convertit la mesure en degré.
Pour cela, on s'aide du tableau de proportionnalité :
On en déduit que et donc
► On place le point sur le cercle à l'aide d'un rapporteur
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