Droite numérique et cercle trigonométrique
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- Définir le point image d'un réel.
- Points image remarquables.
- Placer le point image d'un réel x sur le cercle trigonométrique.
- Quand la droite (d) s’enroule autour du cercle, on peut faire correspondre à chaque abscisse x de la droite un point du cercle trigonométrique. On dit alors que ce point est le point image (ou l'image) de x.
- Si M est le point-image de a alors M est également
le point image de
(avec k un entier
relatif).
- Si a et b sont deux réels tels
que
, alors a et b> possèdent le
même point image.
- Pour placer un point image sur le cercle, il faut :
- Déterminer la mesure principale : elle est
comprise entre
et 
.
- Déterminer le sens de déplacement sur le cercle trigonométrique.
- Placer le point image de la mesure principale sur le cercle (à l'aide des points remarquables ou à l'aide d'un rapporteur).
- Déterminer la mesure principale : elle est
comprise entre
Dans le repère associé au cercle trigonométrique, on définit la droite (d) tangente au cercle trigonométrique au point I. Cette droite graduée représente l’ensemble des nombres réels.
|
Sur le cercle trigonométrique ci-contre:
|
 |
|
Réciproquement, à tout point du cercle correspond une infinité d'abscisses sur (d) : Ainsi, M est le point image des abscisses suivantes :
|
;
.
Propriétés
-
Si M est le point image de a alors M est également le point image de (avec k un entier
relatif).
-
Si a et b sont deux réels tels que,
alors a et b possèdent
le même point image.
La longueur d'un cercle est donnée par la formule
2πR.
Pour le cercle trigonométrique R = 1, donc la
longueur du cercle trigonométrique est
égale à 2π.
Ainsi :
- parcourir 2π sur le cercle revient à effectuer un tour complet dans le sens positif ;
- parcourir π revient à effectuer un demi-tour dans le sens positif ;
- parcourir
équivaut à parcourir un quart de
tour dans le sens positif ;
- etc.
On peut alors déterminer les points images des
réels 2π, π, , 
, etc ; en
parcourant la longueur correspondante à partir du
point I :
|
|
|
| I est l'image de 2π | K est l'image de π |
J est l'image de
|
|
|
|
C est l'image de 
|
B est l'image de
|
B est l'image de 
|
- Déterminer la mesure principale : elle est
comprise entre et .
- Déterminer le sens de déplacement sur le cercle trigonométrique.
- Placer le point image de la mesure principale sur le cercle.
Pour trouver la mesure principale, on ajoute ou
soustrait 
(avec k un entier relatif)
pour avoir une mesure comprise entre et .
La mesure principale est
.
On regarde le signe de la mesure principale :
- si elle est positive, on parcourt le cercle dans le sens trigonométrique ;
- si elle négative, on le parcourt dans le sens des aiguille d'une montre.
est négative donc
on parcourt le cercle dans le sens des aiguilles d'une
montre.
► On découpe le cercle trigonométrique en parts égales.
-
4 parts égales si la mesure principale est fonction de ;
- 6 parts égales si la mesure principale
est fonction de
;
- 8 parts égales si la mesure principale
est fonction de
;
- 12 parts égales si la mesure principale
est fonction de
.
est multiple
de 
, donc on découpe le cercle
en 12 parts égales.
► On détermine le nombre de parts à parcourir.
donc on doit parcourir 2 parts
(dans le sens des
aiguilles d'une montre).
Le point image recherché est le point K.
► On convertit la mesure en degré.
Pour cela, on s'aide du tableau de proportionnalité :
On en déduit que 
et donc
en degré, on calcule
:
► On place le point sur le cercle à l'aide d'un rapporteur
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