Dérivée, sens de variation et extrema d'une fonction- Première- Mathématiques
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Dresser le tableau de variations d'une fonction
Utiliser le tableau de variations pour :
- déterminer les extrema d'une fonction
- résoudre des équations
- résoudre des inéquations
Pour dresser le tableau de variations d'une fonction, il faut calculer la dérivée, étudier le signe de celle-ci, et compléter les valeurs aux extrémités de chacune des flèches placées, en faisant attention aux éventuelles valeurs interdites sur l'intervalle d'étude.
- Notion d'extremum
- Fonction dérivée
- Tableau de signe d'une fonction
- si f ’ est positive sur I la fonction f est croissante sur I.
- si f ’ est négative sur I la fonction f est décroissante sur I.
- Pour le vocabulaire mathématique, « positive » signifie « positive ou nulle » (et « négative » veut dire « négative ou nulle »). Dans le cas d’une inégalité stricte, on précisera que la dérivée est « strictement positive/négative » et que f est « strictement croissante/décroissante ».
- Si la dérivée est nulle sur tout l’intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle.
Si une fonction conserve le même sens de variation sur tout un intervalle (croissante ou décroissante), on dit que cette fonction est monotone.
La fonction
est définie sur
. Sa
dérivée est toujours positive (ou nulle
pour x = 0). Cette fonction est donc
croissante sur son domaine de définition. Elle est
monotone.
Il est commode de regrouper toutes les indications obtenues sur la fonction dans un tableau appelé tableau de variations de la fonction.
Soit
définie sur 
.Calculer sa dérivée, en chercher le signe, puis donner les variations de cette fonction sous forme de tableau.
-
Calcul de la dérivée :
-
Signe de la dérivée : la
dérivée s’annule pour
x = -2 ou
x = 2.
On fait alors un tableau de signe qui indique que la dérivée est positive sur ]-∞ ; -2],
négative sur ]-2 ; 2[ et positive sur [2 ; +∞[. - Variations de la fonction : on calcule les valeurs de la fonction pour les valeurs du tableau de signe (pour -2 et 2) : f(-2) = 17 et f(2) = -15.
- Tableau des variations de f (dans lequel on fait figurer tous les éléments que l'on vient de déterminer) :
Enfin, on peut utiliser une calculatrice (c’est conseillé !) pour tracer la courbe représentative de la fonction et vérifier que le tableau de variations est correct.
Soit
définie sur ]0 ; +∞[.Calculer sa dérivée, en chercher le signe puis dans un tableau, donner les variations de cette fonction.
f est de la forme
donc
avec
donc 
et 
donc 
.
.Le dénominateur est un carré, donc toujours positif (il ne peut pas être nul sur le domaine de définition).
Le signe de la dérivée est alors celui du numérateur, soit strictement négatif.
Cette fonction est strictement décroissante sur son domaine de définition. On dit qu’elle elle est strictement monotone.
Remarque : la valeur 0 est interdite. On le
signale en mettant une double barre verticale.
Pour la fonction précédente
définie sur
]0 ; +∞[, on a un minimum (absolu) qui
vaut 1.Pour l’autre fonction
définie sur
, on
a un maximum (local) pour x = -2 qui est
17 et un minimum (local) pour x = 2 qui
est -15.
D’après les variations de la fonction
définie sur 
:
On peut déduire par exemple que
l’équation f(x) = 0 aura 3
solutions dans 
:
- une solution sur l’intervalle ]-∞ ; -2] car la fonction prend des valeurs négatives puis positives, donc elle doit passer par 0 ;
- une autre solution sur l’intervalle ]-2 ; 2] car la fonction prend des valeurs positives puis négatives, donc elle doit passer par 0 ;
- une troisième solution sur l’intervalle ]2 ; +∞[ car la fonction prend des valeurs négatives puis positives, donc elle doit passer par 0.
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