Dérivées des fonctions usuelles

Soit  une fonction définie sur un intervalle I.

Dire que  est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout réel  de I.

Autrement dit,  existe pour tout  de I.
Dans ce cas, on peut considérer  la fonction qui à tout réel  de I lui associe son nombre dérivé.

La fonction  est appelée dérivée (première) de  sur I.

Méthode pour déterminer   

1. On calcule le taux d'accroissement  en un réel  quelconque de I.
2. On étudie vers quoi tend  lorsque h tend vers 0. C'est .
3. On en déduit la fonction dérivée  en remplaçant  par dans l'expression de .

Exemple avec la fonction carrée  
Plaçons nous en un réel  quelconque et calculons le taux d'accroissement de f .

Pour h ≠ 0,

Pour tout réel ,  tend vers , ce qui prouve que la fonction est dérivable sur R et pour tout , . On emploie plutôt la variable  pour l'expression d'une fonction, c'est pourquoi on écrira plutôt .

Exemple avec la fonction inverse
Plaçons nous en un réel  quelconque.
Pour   on a :



Pour tout réel a,  tend vers  lorsque h tend vers 0. Ce qui prouve que la fonction  est dérivable sur  et sur  et pour tout a, . La fonction   n'est pas dérivable en 0 car  n'est pas défini pour a=0. On emploie plutôt la variable x pour l'expression d'une fonction, c'est pourquoi on écrira plutôt .

De la même façon que ci-dessus, on détermine l'expression des dérivées des fonctions usuelles que l'on consigne dans le tableau suivant :

f(x)	définie pour x appartenant à	f '(x)	définie pour x appartenant à
k constante réelle		0
x		1
xn où n entier naturel,

Remarque
La dérivabilité s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction  est dérivable sur et sur et non sur (qui n'est pas un intervalle mais une réunion).

La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
Preuve :

Pour , 



Pour tout réel ,   tend vers  lorsque  tend vers 0.
Ce qui prouve que la fonction  est dérivable sur  et sur  et pour tout , .
La fonction  n'est pas dérivable en 0 car  n'est pas définie pour .