Dérivées des fonctions usuelles
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Connaitre les dérivées des fonctions les plus répandues afin d'éviter de devoir calculer le taux d'accroissement.
f(x) |
définie pour
appartenant à
|
f '(x) |
définie pour
appartenant à
|
k constante réelle | 0 | ||
1 | |||
xn où n entier naturel, | |||
Le tableau (formules et domaines de définition) doit être su parfaitement.
- Nombre dérivé en
- Fonction dérivée
Soit une fonction définie sur un intervalle I.
Autrement dit, existe pour tout de I.
Dans ce cas, on peut
considérer la
fonction qui à tout réel de I lui associe son nombre
dérivé.
Méthode pour déterminer
- On calcule le taux d'accroissement en un réel quelconque de I.
- On étudie vers quoi tend lorsque h tend vers 0. C'est .
- On en déduit la fonction dérivée en remplaçant par dans l'expression de .
Plaçons nous en un réel quelconque et calculons le taux d'accroissement de f .
Pour h ≠ 0,
Pour tout réel , tend vers , ce qui prouve que la fonction est dérivable sur R et pour tout , . On emploie plutôt la variable pour l'expression d'une fonction, c'est pourquoi on écrira plutôt .
Plaçons nous en un réel quelconque.
Pour on a :
Pour tout réel a, tend vers lorsque h tend vers 0. Ce qui prouve que la fonction est dérivable sur et sur et pour tout a, . La fonction n'est pas dérivable en 0 car n'est pas défini pour a=0. On emploie plutôt la variable x pour l'expression d'une fonction, c'est pourquoi on écrira plutôt .
De la même façon que ci-dessus, on détermine l'expression des dérivées des fonctions usuelles que l'on consigne dans le tableau suivant :
f(x) |
définie pour
x appartenant à
|
f '(x) |
définie pour
x appartenant à
|
k constante réelle | 0 | ||
x | 1 | ||
xn où n entier naturel, | |||
Remarque
La dérivabilité
s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction
est dérivable sur et sur et non sur (qui n'est pas un
intervalle mais une réunion).
La fonction racine carrée n'est pas
dérivable en 0.
Preuve :
Pour ,
Pour tout réel , tend vers lorsque tend
vers 0.
Ce qui prouve que la fonction est
dérivable sur et
sur et
pour tout , .
La fonction n'est pas dérivable en 0
car n'est pas définie pour .
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