Dérivées des fonctions usuelles
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Connaitre les dérivées des fonctions les plus répandues afin d'éviter de devoir calculer le taux d'accroissement.
| f(x) |
définie pour
 appartenant à
|
f '(x) |
définie pour
appartenant à
|
| k constante réelle |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
xn où n entier naturel,
|
|
|
|
|
 
|
|
 
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Le tableau (formules et domaines de définition) doit être su parfaitement.
- Nombre dérivé en
- Fonction dérivée
Soit 
une
fonction définie sur un intervalle I.
est
dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout
réel de I.
Autrement dit, 
existe pour tout de I.
Dans ce cas, on peut
considérer 
la
fonction qui à tout réel de I lui associe son nombre
dérivé
.
est appelée
dérivée (première) de sur
I.
Méthode pour déterminer
- On calcule le taux d'accroissement
en un
réel 
quelconque de I.
- On étudie vers quoi tend lorsque h tend vers
0. C'est .
- On en déduit la fonction
dérivée
en
remplaçant 
par dans l'expression
de .
Plaçons nous en un réel
quelconque et calculons le taux d'accroissement
de f .Pour h ≠ 0,
Pour tout réel
, 
tend vers 
, ce
qui prouve que la fonction est dérivable sur R et pour
tout , 
. On
emploie plutôt la variable pour l'expression d'une
fonction, c'est pourquoi on écrira
plutôt 
.
Plaçons nous en un réel
quelconque.Pour
on
a :
Pour tout réel a,
tend vers 
lorsque h tend vers
0. Ce qui prouve que la fonction est
dérivable sur 
et
sur 
et
pour tout a, 
. La
fonction n'est pas dérivable en 0
car n'est pas défini pour a=0. On emploie
plutôt la variable x pour l'expression d'une
fonction, c'est pourquoi on écrira
plutôt 
.
De la même façon que ci-dessus, on détermine l'expression des dérivées des fonctions usuelles que l'on consigne dans le tableau suivant :
| f(x) |
définie pour
x appartenant à
|
f '(x) |
définie pour
x appartenant à
|
| k constante réelle |
|
0 |
|
| x |
|
1 |
|
|
xn où n entier naturel,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Remarque
La dérivabilité
s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction
est dérivable sur 
et sur 
et non sur 
(qui n'est pas un
intervalle mais une réunion).
La fonction racine carrée n'est pas
dérivable en 0.
Preuve :
Pour ,
Pour tout réel 
, 
tend vers 
lorsque 
tend
vers 0.
Ce qui prouve que la fonction 
est
dérivable sur et
sur et
pour tout , 
.
La fonction n'est pas dérivable en 0
car n'est pas définie pour .
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