Dérivées des fonctions usuelles
Connaitre les dérivées des fonctions les plus répandues afin d'éviter de devoir calculer le taux d'accroissement.
f(x) |
définie pour
![]() |
f '(x) |
définie pour
![]() |
k constante réelle |
![]() |
0 |
![]() |
![]() |
![]() |
1 |
![]() |
xn où n entier naturel,
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Le tableau (formules et domaines de définition) doit être su parfaitement.
- Nombre dérivé en
- Fonction dérivée
Soit une
fonction définie sur un intervalle I.


Autrement dit, existe pour tout
de I.
Dans ce cas, on peut
considérer la
fonction qui à tout réel
de I lui associe son nombre
dérivé
.


Méthode pour déterminer
- On calcule le taux d'accroissement
en un réel
quelconque de I.
- On étudie vers quoi tend
lorsque h tend vers 0. C'est
.
- On en déduit la fonction
dérivée
en remplaçant
par dans l'expression de
.

Plaçons nous en un réel

Pour h ≠ 0,

Pour tout réel









Plaçons nous en un réel

Pour




Pour tout réel a,









De la même façon que ci-dessus, on détermine l'expression des dérivées des fonctions usuelles que l'on consigne dans le tableau suivant :
f(x) |
définie pour
x appartenant à
|
f '(x) |
définie pour
x appartenant à
|
k constante réelle |
![]() |
0 |
![]() |
x |
![]() |
1 |
![]() |
xn où n entier naturel,
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Remarque
La dérivabilité
s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction
est dérivable sur
et sur
et non sur
(qui n'est pas un
intervalle mais une réunion).
La fonction racine carrée n'est pas
dérivable en 0.
Preuve :
Pour ,
Pour tout réel ,
tend vers
lorsque
tend
vers 0.
Ce qui prouve que la fonction est
dérivable sur
et
sur
et
pour tout
,
.
La fonction n'est pas dérivable en 0
car
n'est pas définie pour
.

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