Nombre dérivé en un point - approche algébrique

Soit une fonction définie pour tout  appartenant à un intervalle I et un réel de l’intervalle I.

Pour tout réel  tel que soit dans I, le quotient est appelé taux de variation (ou taux d'accroissement) entre et .

On le note aussi : .

Exemple avec la fonction carré
Soit . Le taux de variation de  entre 1 et 1 pour est :

Remarque : le taux de variation de la fonction carré est ici une fonction affine de  ().

Exemple avec la fonction inverse
Soit . Le taux de variation de  entre 1 et 1 pour est :

Lorsque se rapproche de 0, on dit que  tend vers 0.
On essaie alors de déterminer vers quel réel tend  lorsque  tend vers 0, si ce réel existe.

Exemple avec la fonction carré
et
Intuitivement, lorsque tend vers 0, se rapproche de 2.
Le taux tend donc vers 2.

Exemple avec la fonction inverse
et
Lorsque tend vers 0, se rapproche de 1.
Le taux tend donc vers 1.

Soit une fonction  définie sur I et  un réel de I .

Dire que  est dérivable en  signifie qu'il existe un réel  vers lequel le quotient  tend lorsque  tend vers 0.
Ce réel  noté  s’appelle le nombre dérivé de  en .

Exemple avec la fonction carré
Étant donné que le taux d’accroissement entre 1 et 1 tend vers 2, alors la fonction  est dérivable en  et le nombre dérivé de  en 1 est 2.
On note .

Exemple avec la fonction inverse
et 
Étant donné que le taux d’accroissement entre 1 et 1 tend vers 1, alors la fonction  est dérivable en  et le nombre dérivé de  en 1 est 1.
On note .

Remarque
En posant , le taux d’accroissement de  entre  et  s’écrit .
Ainsi, dire que est dérivable en  signifie que  tend vers un réel  lorsque  tend vers  et on écrit : .

L’étude du taux d’accroissement d’une fonction  entre  et  permet de déterminer si cette fonction est dérivable en  et calculer son nombre dérivé en .

1. On calcule le taux d’accroissement  entre  et  pour  non nul.
   
2. On fait tendre le réel vers 0 et on regarde si  tend vers un réel . Si c’est le cas, alors  est dérivable en  et .

Exemple : Nombre dérivé de  en 
On veut démontrer que la fonction  est dérivable en  et déterminer son nombre dérivé.

1. On calcule de taux d'accroissement entre –2 et –2 pour  non nul.
   
   
   Évaluons séparément chaque quantité afin d’alléger le calcul du quotient :
   
   
   
   
   
   Ainsi,
    
2. On fait tendre le réel  vers 0.
   Lorsque tend vers 0,  tend aussi vers 0 et  tend donc vers –14.
   Ainsi  est dérivable en  et .

Exemple : Nombre dérivé de  en 
On veut démontrer que la fonction  définie sur  par  est dérivable en  et déterminer son nombre dérivé.

1. On calcule le taux d'accroissement entre 1 et 1 avec  réel non nul :
   
   et 
   Ainsi :
   
    
2. On fait tendre le réel  vers 0.
   Lorsque tend vers 0,  tend aussi vers 0,  tend donc vers 1 et enfin  tend donc vers .
   –2 est un réel donc, oui, la fonction  est dérivable en  et de plus .