Sens de variation d'une suite
- Découvrir la notion de sens de variation pour les suites.
- Étudier le sens de variation d'une suite.
- Une suite est croissante sur
lorsque 
pour tout n.
- Une suite est décroissante
sur
lorsque 
pour tout n.
- Il y a 3 méthodes pour déterminer
le sens de variation d'une suite :
- On étudie le signe
de
.
- Lorsque
, on étudie le sens de variation de la
fonction f.
- Lorsque
, on étudie la position du quotient
par rapport à 1.
- On étudie le signe
de
- Suites arithmétiques
- Suites géométriques
- Dérivée et sens de variation d'une fonction
.Dire que (un) est croissante sur
signifie que pour tout
n, 
.Dire que (un) est décroissante sur
signifie que pour tout
n, 
.Une suite à la fois croissante et décroissante est une suite constante : elle vérifie
pour tout n.
- Si la suite est définie à partir
d’un certain rang p , on dira
qu’elle est croissante (respectivement
décroissante) lorsque
(respectivement 
) 
.
- Il se peut que la suite soit croissante (ou décroissante) à partir d’un certain rang uniquement.
- Une suite peut être ni croissante, ni
décroissante ; par exemple,
. Les termes de cette suite sont
alternativement 1, –1, 1, –1...
Étudier la monotonie d’une suite, c’est dire si la suite est croissante, décroissante, ou ni l’un ni l’autre.
Une suite arithmétique est décroissante lorsque
La suite (un) définie par
avec u0 = 1 est une
suite arithmétique de
raison r = –3 donc
décroissante sur 
.
Suites géométriques
(un) est croissante lorsque
(un) est décroissante lorsque
.
La suite (un) définie par
avec u0 = 4 est une
suite géométrique de
raison 
avec u0 > 0.Comme
, la suite (un) est
décroissante sur 
.
- Si u0 < 0, les variations sont inversées.
- Lorsque q < 0 (avec u0 > 0 ou u0 < 0) les termes changent alternativement de signe donc la suite n'est ni croissante ni décroissante.
.
Si 
alors la suite (un) est croissante
sur 
.
Si 
alors la suite (un) est
décroissante sur 
.
Cas où un = f(n)
Soit f une fonction définie sur un
intervalle du type 
et (un) la suite définie
par un = f(n).
Si f croissante sur 
alors (un) est croissante
sur 
.
Si f décroissante sur 
alors (un) est décroissante
sur 
.
Méthode du quotient
Lorsque les termes de la suite (un)
sont strictement positifs, on compare le
quotient 
par rapport à 1.
Si 
alors la suite (un) est croissante
sur 
.
Si 
alors la suite (un) est
décroissante sur 
.
.Étant donné que
où 
, étudions les variations de f
sur 
.f est dérivable sur
et 
.Comme
alors 
sur 
donc f est croissante sur 
et (un) est croissantesur
.
et v0 = 1.
car 
donc la suite (vn) est
croissante sur 
.
.Comme
on peut appliquer la méthode du quotient.
Ainsi, on peut conclure que (wn) est une suite décroissante sur
.
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