Résoudre une équation du second degré - Maxicours

Résoudre une équation du second degré

Objectif
Résoudre une équation pouvant s’écrire sous la forme avec .
Points clés
  • Une solution d'une équation est un nombre qui rend l'égalité vraie lorsqu'on remplace  par ce nombre.
  • Une équation du second degré possède 0, 1 ou 2 solutions réelles.
  • Pour résoudre une équation du second degré, on se ramène à une égalité du type où  est une fonction polynôme du second degré.
Pour bien comprendre
  • Solution d'une équation, ensemble de solutions
  • Règle du produit nul
  • Racine d'un polynôme
  • Discriminant d'une fonction polynôme de degré deux
  • Savoir factoriser un polynôme de degré deux
1. Définitions
Une équation du second degré est une équation du type , et  sont des réels et .
Remarques
C’est une équation telle que le premier membre est un polynôme du second degré.
C’est une équation dans laquelle le plus fort exposant de l’inconnue «  » est « 2 ».
Exemples
est une équation du second degré.
est aussi une équation du second degré. On peut en transposer tous les termes dans le premier membre : .
Résoudre l’équation , c’est trouver toutes les valeurs de  pour lesquelles .
2. Solutions de l'équation ax² + bx + c = 0
Les solutions de l’équation sont les racines de la fonction polynôme .

On pose appelé discriminant de la fonction polynôme définie par ( se lit « delta »).

  • Si alors cette équation n’admet pas de solutions réelles.
  • Si alors cette équation admet une solution unique .
  • Si alors cette équation admet deux solutions distinctes : et .
Preuve

Pour cela, on utilise la forme canonique de la fonction polynôme (à l’avant dernière étape) :

Résoudre revient donc à résoudre ( étant non nul).
Ce qui nous amène à résoudre en posant .
D’où :

  • si  : alors on aurait ce qui est impossible car le carré d'un nombre est toujours positif. L'équation proposée n'a donc pas de solution réelle.
  • si  : alors on a donc et . Cette solution unique est appelée racine double de l'équation.
  • si  : alors on a et donc ou d'où ou . L'équation possède alors 2 solutions distinctes.
3. Méthodes de résolution
a. Par le calcul du discriminant
  1. On se ramène, si ce n'est pas le cas, à une équation du type en passant tous les termes non nuls du même côté du signe « = ».
  2. On identifie , et .
  3. On calcule le discriminant () pour connaitre son signe.
  4. Suivant ce signe, on utilise les formules pour écrire les solutions, puis on simplifie si possible ces écritures.
  5. On conclut en donnant l’ensemble des solutions.
b. Exemples
Résoudre l'équation
  1. On reconnait ici une équation de la forme.
  2. On a , et .
  3. On calcule .
  4. Comme , l’équation admet donc 2 solutions :

  5. Ainsi, l’ensemble des solutions est .
Remarque
et sont les racines de la fonction polynôme d'expression (autrement dit, lorsque l’on remplace par ou
, la fonction s’annule).
Résoudre l'équation
  1. On reconnait ici une équation de la forme .
  2. On a , et .
  3. Comme , l’équation n’admet donc pas de solution.
Résoudre l'équation
  1. On reconnait ici une équation de la forme .
  2. On a , et .
  3. Comme , l’équation admet une unique solution .
  4. Ainsi, l’ensemble des solutions est .
Résoudre l’équation

Rappel : Lorsqu'on rencontre une équation du type , ou , ou encore avec , , réels, on enlève de chaque côté de l'équation le membre de droite, pour faire apparaitre « 0 » à droite, et on réduit le membre de gauche obtenu pour obtenir une fonction polynôme du second degré réduite.

  1. devient .
  2. On a donc , et .
  3. et  : l'équation possède 2 solutions :
    et .
  4. L'ensemble des solutions est : .
c. Méthodes alternatives

Il n’est pas toujours nécessaire de calculer  !
On peut aussi chercher une racine évidente, utiliser la somme et le produit des racines d'une fonction polynôme du second degré.

Exemples : Trouver des racines évidentes.
Résoudre revient à résoudre soit ou
.

Résoudre revient à résoudre soit ou .

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