Résoudre une équation du second degré
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- Une solution d'une équation est un nombre qui
rend l'égalité vraie lorsqu'on
remplace
par ce nombre.
- Une équation du second degré possède 0, 1 ou 2 solutions réelles.
- Pour résoudre une équation du second
degré, on se ramène à une
égalité du type
où
est une fonction polynôme du second degré.
- Solution d'une équation, ensemble de solutions
- Règle du produit nul
- Racine d'un polynôme
- Discriminant d'une fonction polynôme de degré deux
- Savoir factoriser un polynôme de degré deux





C’est une équation telle que le premier membre est un polynôme du second degré.
C’est une équation dans laquelle le plus fort exposant de l’inconnue «









On pose appelé discriminant
de la fonction polynôme
définie par
(
se lit
« delta »).
- Si
alors cette équation n’admet pas de solutions réelles.
- Si
alors cette équation admet une solution unique
.
- Si
alors cette équation admet deux solutions distinctes :
et
.
Pour cela, on utilise la forme canonique de la
fonction polynôme (à l’avant
dernière étape) :
Résoudre revient donc à
résoudre
(
étant non nul).
Ce qui nous amène à résoudre
en posant
.
D’où :
- si
: alors on aurait
ce qui est impossible car le carré d'un nombre est toujours positif. L'équation proposée n'a donc pas de solution réelle.
- si
: alors on a
donc
et
. Cette solution unique est appelée racine double de l'équation.
- si
: alors on a
et donc
ou
d'où
ou
. L'équation possède alors 2 solutions distinctes.
- On se ramène, si ce n'est pas le cas,
à une équation du type
en passant tous les termes non nuls du même côté du signe « = ».
- On identifie
,
et
.
- On calcule le discriminant (
) pour connaitre son signe.
- Suivant ce signe, on utilise les formules pour écrire les solutions, puis on simplifie si possible ces écritures.
- On conclut en donnant l’ensemble des solutions.

- On reconnait ici une équation de la forme.
- On a
,
et
.
- On calcule
.
- Comme
, l’équation admet donc 2 solutions :
- Ainsi, l’ensemble des solutions
est
.







- On reconnait ici une équation de la forme
.
- On a
,
et
.
-
- Comme
, l’équation n’admet donc pas de solution.

- On reconnait ici une équation de la forme
.
- On a
,
et
.
-
- Comme
, l’équation admet une unique solution
.
- Ainsi, l’ensemble des solutions est
.

Rappel : Lorsqu'on rencontre une équation du
type , ou
, ou encore
avec
,
,
réels, on enlève
de chaque côté de l'équation le
membre de droite, pour faire apparaitre
« 0 » à droite, et on
réduit le membre de gauche obtenu pour obtenir
une fonction polynôme du second degré
réduite.
-
devient
.
- On a donc
,
et
.
-
et
: l'équation possède 2 solutions :
et
.
- L'ensemble des solutions est :
.
Il n’est pas toujours nécessaire de
calculer !
On peut aussi chercher une racine évidente,
utiliser la somme et le produit des racines d'une
fonction polynôme du second degré.
Résoudre




Résoudre




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