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Connaître et utiliser les différentes formes des fonctions polynômes

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Objectif

Connaitre les différentes formes d'une fonction polynôme.

Savoir utiliser l'une ou l'autre de ces formes pour :

  • calculer des images ;
  • résoudre des équations ou des inéquations ;
  • déterminer l'allure, l'axe de symétrie et le sommet de la parabole ;
  • déterminer les racines et factoriser ;
  • calculer le discriminant.
Points clés
  •  est la forme développée. Elle sert à vérifier qu'il s'agit bien d'une fonction polynôme.
  •  est la forme factorisée, avec  et  les racines du polynôme. Elle sert essentiellement à résoudre des équations et inéquations du second degré.
  •  est la forme canonique. Elle s'écrit aussi  avec  et . Elle sert à étudier les variations ou trouver un extremum.  est le sommet de la parabole représentative de la fonction.
1. Différentes formes
Soit a un nombre réel non nul, b et c deux nombres réels quelconques.
On appelle fonction polynôme du second degré la fonction f définie sur par :
                                              .

Cette forme est appelée la forme développée de .
Exemples de polynômes du second degré :



Attention
Parfois, certaines expressions n’ont pas d’emblée la forme , pourtant ce sont bien des polynômes du second degré.

Remarque : est une fonction affine, aussi appelée fonction polynôme du premier degré.
                 est une fonction polynôme du troisième degré.

Par exemple,  peut aussi s’écrire .
Un polynôme du second degré comme peut s'écrire sous 3 formes différentes :
 est sa forme canonique ;
  est sa forme développée ;
  est sa forme factorisée.

La forme canonique générale d'une fonction polynôme est :
Exemple :
 est écrite sous forme canonique .
 est également sous forme canonique .
La forme développée sert à vérifier qu’il s’agit bien d’un polynôme du second degré.
La forme factorisée sert essentiellement à résoudre des équations et inéquations du second degré.
La forme canonique sert à étudier les variations ou trouver un extremum (minimum ou maximum).
2. Une famille de fonctions
Exemple 1 :
Six représentations graphiques sont proposées, définies par les fonctions suivantes :
,  ,  ,
,  ,  .
(a) La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
 
(b) On remarque que différentes valeurs de β déplacent la courbe parallèlement à l’axe des ordonnées et que différentes valeurs de α la déplacent parallèlement à l’axe des abscisses.
 
(c) Les coordonnées de son sommet (le maximum ou le minimum suivant les cas) sont ; . Elle admet la droite d’équation  pour axe de symétrie.
 
 Si   alors  .
(d) Le tableau de variation de f est :             
Cas a > 0
Cas a < 0
 Exemple 2 :
On considère la fonction définie sur .

1. Vérifier que .
Il suffit de développer la deuxième expression :


                  
                  
                  

2. Factoriser .
On part de la forme canonique et on reconnait l'identité remarquable



3. Résoudre .
On utilise la forme factorisée pour faire un tableau de signes :


4. Dresser le tableau de variation de E.
On utilise la forme canonique :

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