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Factoriser par complétion du carré

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Objectif

Savoir factoriser par complétion du carré.

Points clés
  • Cette méthode permet d'obtenir la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 sans recourir aux formules.
  • Cette méthode permet d'obtenir les racines d'une fonction polynôme de degré 2 sans utiliser le discriminant.
  • Cette méthode justifie l'approximation de la racine carrée d'un entier positif par la méthode de Héron d'Alexandrie.
Pour bien comprendre
  • Identités remarquables du collège :
  • Forme canonique d’un polynôme du second degré
  • Racines d’une fonction polynôme du second degré
1. Complétion du carré

Une fonction polynôme de degré 2 s'écrit sous la forme où , , sont des réels avec .
Si on la factorise par on obtient .

L'idée est de manipuler la somme des 2 premiers termes du crochet pour la faire correspondre au début de l'identité remarquable qui s'écrit aussi avec .
Pour cela :

  1. On multiplie par 2 le dénominateur et le numérateur du deuxième terme pour faire apparaitre le facteur 2 : . On identifie alors (avec ) qui correspond au début de l’identité remarquable
    .
  2. On complète l’identité remarquable en ajoutant et soustrayant  (complétion du carré) pour avoir l’identité remarquable en intégralité : .
  3. On exploite l’identité remarquable avec . On a alors :

On a ainsi transformé la somme en différence de 2 carrés.

Exemple : Transformer par complétion du carré.
  1. On fait apparaitre le facteur 2 dans le second terme : .
    On identifie , avec .
  2. On complète l’identité remarquable : .
  3. On exploite l’identité remarquable : .
    On obtient : .
2. Applications : forme canonique et racines
a. Obtenir la forme canonique d'une fonction polynôme

Il est possible d’obtenir la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré à partir de sa forme développée par complétion du carré.

Méthode
  1. Factoriser par  :  (1).
  2. Transformer la somme des 2 premiers termes du crochet () pour faire apparaitre le facteur 2 : . C’est le début d’une identité remarquable.
  3. Compléter pour avoir l’identité remarquable  :
    .
  4. Exploiter l’identité remarquable  :
    .
  5. Remplacer dans (1) : .
  6. Mettre au même dénominateur les 2 derniers termes du crochet : .
  7. Développer  : est la forme canonique de .
Exemple : Mettre sous forme canonique .
  1. Il n’est pas nécessaire de factoriser par .
  2. On fait apparaitre le facteur 2 dans le terme en  : . C’est le début de l’identité remarquable avec .
  3. On complète pour avoir l’intégralité de l’identité remarquable : .
  4. On exploite l’identité remarquable avec et on obtient : .
  5. On remplace par  et on obtient : .
  6. On calcule le dernier terme : .
    est la forme canonique de .
Exemple : Mettre sous forme canonique .
  1. On factorise par 2 : .
  2. On fait apparaitre le facteur 2 dans le terme en  : . C’est le début de l’identité remarquable avec .
  3. On complète pour avoir l’intégralité de l’identité remarquable : .
  4. On exploite l’identité remarquable avec  et on obtient .
  5. On remplace par  et on obtient : .
  6. On calcule le dernier terme : .
    On obtient .
  7. On développe 2 : est la forme canonique de .
b. Obtenir les racines d'une fonction polynôme

On reprend les 6 premières étapes qui mènent à la forme canonique de , par complétion du carré.

On a alors : .

Étape 7 : on regarde le signe du deuxième terme du crochet.

  • Si le terme constant est positif, on applique l'identité remarquable au crochet pour le factoriser et obtenir ainsi les racines du polynôme : et .
  • Si le terme est strictement négatif, alors est strictement positif. Comme , le crochet est donc strictement positif.  ne possède aucune racine qui l'annule.
Exemple : calculer les racines éventuelles de .
  1. Il n’est pas nécessaire de factoriser par .
  2. On fait apparaitre le facteur 2 dans  :
    . C’est le début de l’identité remarquable avec .
  3. On complète pour avoir l’intégralité de l’identité remarquable : .
  4. On exploite l’identité remarquable avec  : .
  5. On remplace par  et on obtient : .
  6. On calcule le dernier terme : .
  7. Puisque , on factorise avec l'identité remarquable  : .
    Ainsi a pour racines –5 et –3.
3. Approfondissement : méthode de Héron d'Alexandrie

Héron d’Alexandrie, ingénieur, mécanicien et mathématicien grec du 1er siècle après J.-C., a mis au point une méthode permettant d'obtenir une valeur approchée de la racine carrée d'un entier à l'aide d'opérations simples.

Exemple : donner une valeur approchée de .
  1. On sait que , donc que  et donc que .
  2. On écrit et on utilise la méthode de complétion du carré avec cette dernière somme : .
  3. On en déduit la valeur approchée cherchée en négligeant  : donc  c'est-à-dire .
Remarque : c'est une très bonne approximation, puisque la calculatrice indique : . En une étape, on a 2 décimales exactes.

On peut itérer la méthode en donnant à  le rôle joué par 8 à l'étape précédente :

On repart de et on réutilise la complétion du carré :
Et comme on a : .
Ainsi, en négligeant le dernier terme : donc .
Or et la calculatrice donne .
En 2 étapes, on a 5 décimales exactes.

On peut itérer à nouveau la méthode qui est en fait un algorithme. Les calculs devenant fastidieux, il sera opportun de programmer cet algorithme avec Python, ou un tableur par exemple.

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