Factoriser par complétion du carré
Savoir factoriser par complétion du carré.
- Cette méthode permet d'obtenir la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 sans recourir aux formules.
- Cette méthode permet d'obtenir les racines d'une fonction polynôme de degré 2 sans utiliser le discriminant.
- Cette méthode justifie l'approximation de la racine carrée d'un entier positif par la méthode de Héron d'Alexandrie.
- Identités remarquables du collège :
-
- Forme canonique d’un polynôme du second degré
- Racines d’une fonction polynôme du second degré
Une fonction polynôme de degré 2
s'écrit sous la forme
où
,
,
sont des réels
avec
.
Si on la factorise par on obtient
.
L'idée est de manipuler la somme des
2 premiers termes du crochet pour la faire correspondre au
début de l'identité remarquable
qui s'écrit aussi
avec
.
Pour cela :
- On multiplie par 2 le dénominateur et le
numérateur du deuxième terme pour faire
apparaitre le facteur 2 :
. On identifie alors
(avec
) qui correspond au début de l’identité remarquable
.
- On complète l’identité
remarquable en ajoutant et soustrayant
(complétion du carré) pour avoir l’identité remarquable en intégralité :
.
- On exploite l’identité remarquable
avec
. On a alors :
On a ainsi transformé la somme en différence de
2 carrés.

- On fait apparaitre le facteur 2 dans le second
terme :
.
On identifie, avec
.
- On complète l’identité
remarquable :
.
- On exploite l’identité
remarquable :
.
On obtient :.
Il est possible d’obtenir la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré à partir de sa forme développée par complétion du carré.
- Factoriser par
:
(1).
- Transformer la somme des 2 premiers termes du
crochet (
) pour faire apparaitre le facteur 2 :
. C’est le début d’une identité remarquable.
- Compléter pour avoir l’identité
remarquable
:
.
- Exploiter l’identité remarquable
:
.
- Remplacer
dans (1) :
.
- Mettre au même dénominateur les
2 derniers termes du crochet :
.
- Développer
:
est la forme canonique de
.

- Il n’est pas nécessaire de
factoriser par
.
- On fait apparaitre le facteur 2 dans le
terme en
:
. C’est le début de l’identité remarquable
avec
.
- On complète pour avoir
l’intégralité de
l’identité remarquable :
.
- On exploite l’identité remarquable
avec
et on obtient :
.
- On remplace
par
et on obtient :
.
- On calcule le dernier terme :
.
est la forme canonique de
.

- On factorise par 2 :
.
- On fait apparaitre le facteur 2 dans le
terme en
:
. C’est le début de l’identité remarquable
avec
.
- On complète pour avoir
l’intégralité de
l’identité remarquable :
.
- On exploite l’identité remarquable
avec
et on obtient
.
- On remplace
par
et on obtient :
.
- On calcule le dernier terme :
.
On obtient.
- On développe 2 :
est la forme canonique de
.
On reprend les 6 premières
étapes qui mènent à la forme
canonique de , par complétion
du carré.
On a alors : .
Étape 7 : on regarde le signe du deuxième terme du crochet.
- Si le terme constant
est positif, on applique l'identité remarquable
au crochet pour le factoriser et obtenir ainsi les racines du polynôme :
et
.
- Si le terme
est strictement négatif, alors
est strictement positif. Comme
, le crochet est donc strictement positif.
ne possède aucune racine qui l'annule.

- Il n’est pas nécessaire de
factoriser par
.
- On fait apparaitre le facteur 2
dans
:
. C’est le début de l’identité remarquable
avec
.
- On complète pour avoir
l’intégralité de
l’identité remarquable :
.
- On exploite l’identité remarquable
avec
:
.
- On remplace
par
et on obtient :
.
- On calcule le dernier terme :
.
- Puisque
, on factorise avec l'identité remarquable
:
.
Ainsia pour racines –5 et –3.
Héron d’Alexandrie, ingénieur, mécanicien et mathématicien grec du 1er siècle après J.-C., a mis au point une méthode permettant d'obtenir une valeur approchée de la racine carrée d'un entier à l'aide d'opérations simples.

- On sait que
, donc que
et donc que
.
- On écrit
et on utilise la méthode de complétion du carré avec cette dernière somme :
.
- On en déduit la valeur approchée
cherchée en négligeant
:
donc
c'est-à-dire
.

On peut itérer la méthode en donnant
à le rôle joué
par 8 à l'étape
précédente :


Et comme


Ainsi, en négligeant le dernier terme :


Or


En 2 étapes, on a 5 décimales exactes.
On peut itérer à nouveau la méthode qui est en fait un algorithme. Les calculs devenant fastidieux, il sera opportun de programmer cet algorithme avec Python, ou un tableur par exemple.

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