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Factoriser par complétion du carré

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Objectif

Savoir factoriser par complétion du carré.

Points clés

Cette méthode permet d'obtenir la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 sans recourir aux formules.
Cette méthode permet d'obtenir les racines d'une fonction polynôme de degré 2 sans utiliser le discriminant.
Cette méthode justifie l'approximation de la racine carrée d'un entier positif par la méthode de Héron d'Alexandrie.

Pour bien comprendre

Identités remarquables du collège :
Forme canonique d’un polynôme du second degré
Racines d’une fonction polynôme du second degré

1. Complétion du carré

Une fonction polynôme de degré 2 s'écrit sous la forme où , , sont des réels avec .
Si on la factorise par on obtient .

L'idée est de manipuler la somme des 2 premiers termes du crochet pour la faire correspondre au début de l'identité remarquable qui s'écrit aussi avec .
Pour cela :

On multiplie par 2 le dénominateur et le numérateur du deuxième terme pour faire apparaitre le facteur 2 : . On identifie alors (avec ) qui correspond au début de l’identité remarquable
.
On complète l’identité remarquable en ajoutant et soustrayant (complétion du carré) pour avoir l’identité remarquable en intégralité : .
On exploite l’identité remarquable avec . On a alors :

On a ainsi transformé la somme en différence de 2 carrés.

Exemple : Transformer

par complétion du carré.

On fait apparaitre le facteur 2 dans le second terme : .
On identifie , avec .
On complète l’identité remarquable : .
On exploite l’identité remarquable : .
On obtient : .

2. Applications : forme canonique et racines

a. Obtenir la forme canonique d'une fonction polynôme

Il est possible d’obtenir la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré à partir de sa forme développée par complétion du carré.

Méthode

Factoriser par : (1).
Transformer la somme des 2 premiers termes du crochet () pour faire apparaitre le facteur 2 : . C’est le début d’une identité remarquable.
Compléter pour avoir l’identité remarquable :
.
Exploiter l’identité remarquable :
.
Remplacer dans (1) : .
Mettre au même dénominateur les 2 derniers termes du crochet : .
Développer : est la forme canonique de .

Exemple : Mettre sous forme canonique

Il n’est pas nécessaire de factoriser par .
On fait apparaitre le facteur 2 dans le terme en : . C’est le début de l’identité remarquable avec .
On complète pour avoir l’intégralité de l’identité remarquable : .
On exploite l’identité remarquable avec et on obtient : .
On remplace par et on obtient : .
On calcule le dernier terme : .
est la forme canonique de .

Exemple : Mettre sous forme canonique

On factorise par 2 : .
On fait apparaitre le facteur 2 dans le terme en : . C’est le début de l’identité remarquable avec .
On complète pour avoir l’intégralité de l’identité remarquable : .
On exploite l’identité remarquable avec et on obtient .
On remplace par et on obtient : .
On calcule le dernier terme : .
On obtient .
On développe 2 : est la forme canonique de .

b. Obtenir les racines d'une fonction polynôme

On reprend les 6 premières étapes qui mènent à la forme canonique de , par complétion du carré.

On a alors : .

Étape 7 : on regarde le signe du deuxième terme du crochet.

Si le terme constant est positif, on applique l'identité remarquable au crochet pour le factoriser et obtenir ainsi les racines du polynôme : et .
Si le terme est strictement négatif, alors est strictement positif. Comme , le crochet est donc strictement positif. ne possède aucune racine qui l'annule.

Exemple : calculer les racines éventuelles de

Il n’est pas nécessaire de factoriser par .
On fait apparaitre le facteur 2 dans :
. C’est le début de l’identité remarquable avec .
On complète pour avoir l’intégralité de l’identité remarquable : .
On exploite l’identité remarquable avec : .
On remplace par et on obtient : .
On calcule le dernier terme : .
Puisque , on factorise avec l'identité remarquable : .
Ainsi a pour racines –5 et –3.

3. Approfondissement : méthode de Héron d'Alexandrie

Héron d’Alexandrie, ingénieur, mécanicien et mathématicien grec du 1^er siècle après J.-C., a mis au point une méthode permettant d'obtenir une valeur approchée de la racine carrée d'un entier à l'aide d'opérations simples.

Exemple : donner une valeur approchée de

On sait que , donc que et donc que .
On écrit et on utilise la méthode de complétion du carré avec cette dernière somme : .
On en déduit la valeur approchée cherchée en négligeant : donc c'est-à-dire .

Remarque : c'est une très bonne approximation, puisque la calculatrice indique :

. En une étape, on a 2 décimales exactes.

On peut itérer la méthode en donnant à le rôle joué par 8 à l'étape précédente :

On repart de

et on réutilise la complétion du carré :

Et comme

on a :

.
Ainsi, en négligeant le dernier terme :

donc

.
Or

et la calculatrice donne

.
En 2 étapes, on a 5 décimales exactes.

On peut itérer à nouveau la méthode qui est en fait un algorithme. Les calculs devenant fastidieux, il sera opportun de programmer cet algorithme avec Python, ou un tableur par exemple.

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