Forme canonique d'une fonction polynôme du second degré
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- Savoir donner la forme canonique d'une fonction polynôme.
- Savoir utiliser cette forme canonique.
- La forme canonique d'une fonction polynôme s'obtient par la méthode de complétion du carré.
- La forme canonique permet d'obtenir le maximum ou le minimum d'une fonction polynôme, le sens et l'axe de symétrie de sa parabole associée.
- Savoir ce qu’est un polynôme de degré 2
- Connaitre les identités remarquables
- Connaitre l'identité de complétion du carré
- Connaitre la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2
pouvant s’écrire
pour tout
réel 
où 
, 
et 
sont des constantes réelles
avec 
.
est un trinôme du second
degré car pour tout 
elle s’écrit sous la
forme 
avec 
, 
et 
.
est aussi un trinôme du
second degré avec ici 
, 
et 
.
n’est pas une fonction
polynôme du second degré car il
n’existe pas de terme en 
, ce qui correspondrait
à
.
Pour tout
réel, pour toute fonction
polynôme 
avec 
, on a : 
.Cette dernière forme est appelée forme canonique de la fonction polynôme
.
Il n’est pas nécessaire de retenir cette formule par cœur, le plus important est de comprendre la technique employée pour l'obtenir, à savoir la méthode de complétion du carré.
Partons de 
.
- Comme
, on factorise par 
: 
(1).
- Dans la parenthèse, on considère
comme le début de
l'identité remarquable : 
, que l'on complète
(méthode de complétion du carré) :
d'où 
.
- On insère cette expression
dans (1) :
.
- On réduit au même dénominateur le
terme constant puis on développe
sur le crochet :
C’est la forme canonique.
: 
- On met
en facteur. 
- On considère
comme le début de
l’identité remarquable 
.
- On réduit sur le même
dénominateur
.
- On développe 3.
On appelle extremum d'une fonction un minimum ou un maximum de cette fonction.
Le terme en 
de la forme canonique 
s'annule lorsque 
et vaut 
.
- Si
, on a pour tout
réel 
: 
et donc 
.
admet alors un
minimum sur 
en 
, qui vaut 
.
- Si
, on a pour tout
réel 
: 
et donc 
.
admet alors un
maximum sur 
en 
, qui vaut 
.
On pose 
et 
, alors l’extremum de la
fonction 
est le point 
.
Là encore, ces formules ne sont pas spécialement à retenir, mais il faut savoir les lire sur la forme canonique.
: 
On a vu que la forme canonique de
est : 
.Comme 3 > 0,
admet un minimum
pour 
, et ce minimum
vaut 
.
Dans un repère orthogonal, la courbe
d’équation 
avec 
est une parabole de sommet le
point 
d’abscisse 
et
d'ordonnée 
.
Elle est tournée vers le haut (forme en
« U ») lorsque 
et tournée vers le bas
(forme en « ∩ ») lorsque
.
Pour s’en souvenir, on peut se dire que quand
est positif, la parabole sourit
(forme en « U ») et quand
est négatif, la parabole
fait la moue (forme en
« ∩ »).
Il est important de retenir l’abscisse du sommet. Par contre, son ordonnée s’obtient facilement en remplaçant
par 
dans 
.
La parabole d’équation
a pour sommet le
point 
d’abscisse 
.Son ordonnée vaut
. Ainsi 
.Elle est tournée vers le haut car
.La parabole d’équation
a pour sommet le
point 
d’abscisse 
.Son ordonnée vaut
. Ainsi 
.Elle est tournée vers le bas car
.
La parabole représentant une fonction polynôme du second degré admet un axe de symétrie vertical, d'équation
.
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