Forme canonique d'une fonction polynôme du second degré - Maxicours

Forme canonique d'une fonction polynôme du second degré

Objectifs
  • Savoir donner la forme canonique d'une fonction polynôme.
  • Savoir utiliser cette forme canonique.
Points clés
  • La forme canonique d'une fonction polynôme s'obtient par la méthode de complétion du carré.
  • La forme canonique permet d'obtenir le maximum ou le minimum d'une fonction polynôme, le sens et l'axe de symétrie de sa parabole associée.
Pour bien comprendre
  • Savoir ce qu’est un polynôme de degré 2
  • Connaitre les identités remarquables
  • Connaitre l'identité de complétion du carré
  • Connaitre la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2
1. Fonction polynôme du second degré
Une fonction polynôme du second degré est une fonction pouvant s’écrire pour tout réel  où , et  sont des constantes réelles avec .
La fonction est un trinôme du second degré car pour tout  elle s’écrit sous la forme avec , et .
La fonction est aussi un trinôme du second degré avec ici et .
La fonction n’est pas une fonction polynôme du second degré car il n’existe pas de terme en , ce qui correspondrait à
.
2. Forme canonique
Définition
Pour tout réel, pour toute fonction polynôme  avec , on a : .
Cette dernière forme est appelée forme canonique de la fonction polynôme .
Remarque
Il n’est pas nécessaire de retenir cette formule par cœur, le plus important est de comprendre la technique employée pour l'obtenir, à savoir la méthode de complétion du carré.
Preuve

Partons de .

  1. Comme , on factorise par : (1).
  2. Dans la parenthèse, on considère comme le début de l'identité remarquable : , que l'on complète (méthode de complétion du carré) : d'où .
  3. On insère cette expression dans (1) :
    .
  4. On réduit au même dénominateur le terme constant puis on développe sur le crochet :




    C’est la forme canonique.
Exemple : déterminer la forme canonique de :



  1. On met en facteur.
  2. On considère comme le début de l’identité remarquable .
  3. On réduit sur le même dénominateur .
  4. On développe 3.
3. Conséquences
a. Extremum

On appelle extremum d'une fonction un minimum ou un maximum de cette fonction.

Le terme en de la forme canonique s'annule lorsque et vaut .

  • Si , on a pour tout réel  : et donc .
    admet alors un minimum sur  en , qui vaut .
  • Si , on a pour tout réel  : et donc .
    admet alors un maximum sur en , qui vaut .

On pose et , alors l’extremum de la fonction est le point .

Remarque
Là encore, ces formules ne sont pas spécialement à retenir, mais il faut savoir les lire sur la forme canonique.
Exemple : donner l'extremum de  :
On a vu que la forme canonique de  est : .
Comme 3 > 0, admet un minimum pour , et ce minimum vaut .
b. Aspect graphique

Dans un repère orthogonal, la courbe d’équation avec  est une parabole de sommet le point  d’abscisse  et d'ordonnée .

Elle est tournée vers le haut (forme en « U ») lorsque et tournée vers le bas (forme en « ∩ ») lorsque .
Pour s’en souvenir, on peut se dire que quand est positif, la parabole sourit (forme en « U ») et quand est négatif, la parabole fait la moue (forme en « ∩ »).

Remarque
Il est important de retenir l’abscisse du sommet. Par contre, son ordonnée s’obtient facilement en remplaçant par  dans .
Exemples
La parabole d’équation a pour sommet le point  d’abscisse .
Son ordonnée vaut . Ainsi .
Elle est tournée vers le haut car .

La parabole d’équation a pour sommet le point  d’abscisse .
Son ordonnée vaut . Ainsi .
Elle est tournée vers le bas car .

Propriété
La parabole représentant une fonction polynôme du second degré admet un axe de symétrie vertical, d'équation .

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