La fonction exponentielle : variation et représentation

La fonction exponentielle est la seule fonction dont la dérivée est elle-même et telle que l’image de 0 est 1, on la note et on note le nombre par .

La fonction exponentielle est la fonction définie et dérivable sur , de dérivée telle que et .

Conséquences immédiates :

Exemple
Soit la fonction définie sur par .

La fonction exponentielle est strictement positive sur : pour tout , .

Soit la fonction définie sur par .
D'après les propriétés algébriques de la fonction , notamment , on a .
donc est positif pour tout réel .
De plus, il n'existe aucun réel tel que , car , ce qui est impossible car on ne peut pas diviser par 0.
est positive et elle ne s'annule en aucun nombre réel, donc est strictement positive.
 

Exemple : et sont des nombres strictement positifs.

On étudie la fonction telle que .

Étudier le sens de variation de la fonction définie sur par puis représenter graphiquement cette fonction.

Pour cela, on va calculer la dérivée, déterminer le signe de cette dérivée puis conclure sur le sens de variation de .