La fonction exponentielle : variation et représentation - Maxicours

La fonction exponentielle : variation et représentation

Objectifs
  • Étudier (analytiquement) la fonction exponentielle :
    • ensemble de définition ;
    • signe ;
    • dérivée ;
    • sens de variation ;
    • tableau de variation ; 
    • représentation graphique.
  • Étudier le sens de variation et la représentation graphique de fonctions dont l’expression contient la fonction exponentielle.
Points clés
  • Le domaine de définition de la fonction exponentielle est .
  • La fonction exponentielle est positive sur .
  •  est également strictement positive sur .
  • La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur .
  • La représentation graphique de la fonction exponentielle est la suivante :

 

Pour bien comprendre
  • Notion de dérivée
  • Opérations sur les dérivées
  • Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
1. Définition et premières propriétés

La fonction exponentielle est la seule fonction dont la dérivée est elle-même et telle que l’image de 0 est 1, on la note et on note le nombre par .

La fonction exponentielle est la fonction définie et dérivable sur , de dérivée telle que et .

Conséquences immédiates :

Exemple
Soit la fonction définie sur par .


 

2. Signe de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est strictement positive sur : pour tout , .
Preuve

Soit la fonction définie sur par .
D'après les propriétés algébriques de la fonction , notamment , on a .
donc est positif pour tout réel .
De plus, il n'existe aucun réel tel que , car , ce qui est impossible car on ne peut pas diviser par 0.
est positive et elle ne s'annule en aucun nombre réel, donc est strictement positive.
 

Exemple : et sont des nombres strictement positifs.
3. Étude de la fonction exponentielle

On étudie la fonction telle que .

a. Ensemble de définition

D'après la définition de la fonction exponentielle, celle-ci est définie sur donc .

b. Dérivée

D’après la définition de la fonction exponentielle, est dérivable et sa dérivée est elle-même.

On note sa dérivée : donc  

Exemple :
Soit la fonction définie sur par . Déterminons l'expression de sa dérivée .
est de la forme avec et .
Donc

c. Sens de variation

est donc strictement positive sur .

est donc strictement croissante sur .

d. Tableau de variation

On admet que lorsque tend vers , tend vers et, lorsque tend vers , tend vers 0.

e. Représentation graphique

4. Étude d'une fonction dont l'expression comporte la fonction exponentielle

Étudier le sens de variation de la fonction définie sur par puis représenter graphiquement cette fonction.

Pour cela, on va calculer la dérivée, déterminer le signe de cette dérivée puis conclure sur le sens de variation de .

a. Calcul de la dérivée

est de la forme avec et .

b. Tableau de signe de f'


c. Sens de variation de f
  • est croissante sur
  • est décroissante
  • est croissante sur
d. Représentation graphique

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