La fonction exponentielle : variation et représentation
- Étudier (analytiquement) la fonction
exponentielle :
- ensemble de définition ;
- signe ;
- dérivée ;
- sens de variation ;
- tableau de variation ;
- représentation graphique.
- Étudier le sens de variation et la représentation graphique de fonctions dont l’expression contient la fonction exponentielle.
- Le domaine de définition de la fonction
exponentielle est
.
- La fonction exponentielle est positive
sur
.
-
est également strictement positive
sur .
- La fonction exponentielle est donc strictement
croissante sur .
- La représentation graphique de la fonction
exponentielle est la suivante :
- Notion de dérivée
- Opérations sur les dérivées
- Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est la seule fonction dont la
dérivée est elle-même et telle que
l’image de 0 est 1, on la note 
et on note le nombre 
par 
.
définie et dérivable
sur , de dérivée
telle que 
et 
.
Conséquences immédiates :
Soit la fonction
définie sur par 
.
: pour tout 
, 
.
Soit la fonction définie sur
par 
.
D'après les propriétés
algébriques de la fonction , notamment 
, on a 
.
donc 
est positif pour tout réel
.
De plus, il n'existe aucun réel tel que 
, car 
, ce qui est impossible car on ne
peut pas diviser par 0.
est positive et elle ne s'annule
en aucun nombre réel, donc est strictement positive.
et 
sont des nombres strictement
positifs.
On étudie la fonction telle que .
D'après la définition de la fonction
exponentielle, celle-ci est définie sur
donc 
.
D’après la définition de la
fonction exponentielle, est dérivable et sa
dérivée est elle-même.
On note sa dérivée :
donc 
Soit
la fonction définie sur
par 
. Déterminons
l'expression de sa dérivée . est de la forme 
avec 
et 
.Donc
, est donc strictement
positive sur .
est
donc strictement croissante sur .
On admet que lorsque tend vers 
, tend vers et, lorsque tend vers 
, tend vers 0.
Étudier le sens de variation de la fonction
définie sur par 
puis représenter
graphiquement cette fonction.
Pour cela, on va calculer la dérivée,
déterminer le signe de cette dérivée
puis conclure sur le sens de variation de .
est de la forme 
avec 
et 
.
-
est croissante sur
-
est décroissante
-
est croissante sur
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