La fonction exponentielle : variation et représentation
- Étudier (analytiquement) la fonction
exponentielle :
- ensemble de définition ;
- signe ;
- dérivée ;
- sens de variation ;
- tableau de variation ;
- représentation graphique.
- Étudier le sens de variation et la représentation graphique de fonctions dont l’expression contient la fonction exponentielle.
- Le domaine de définition de la fonction
exponentielle est
.
- La fonction exponentielle est positive
sur
.
-
est également strictement positive sur
.
- La fonction exponentielle est donc strictement
croissante sur
.
- La représentation graphique de la fonction
exponentielle est la suivante :
- Notion de dérivée
- Opérations sur les dérivées
- Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est la seule fonction dont la
dérivée est elle-même et telle que
l’image de 0 est 1, on la note et on note le nombre
par
.





Conséquences immédiates :
Soit la fonction









Soit la fonction définie sur
par
.
D'après les propriétés
algébriques de la fonction , notamment
, on a
.
donc
est positif pour tout réel
.
De plus, il n'existe aucun réel tel que
, car
, ce qui est impossible car on ne
peut pas diviser par 0.
est positive et elle ne s'annule
en aucun nombre réel, donc
est strictement positive.


On étudie la fonction telle que .
D'après la définition de la fonction
exponentielle, celle-ci est définie sur
donc
.
D’après la définition de la
fonction exponentielle, est dérivable et sa
dérivée est elle-même.
On note sa dérivée :
donc
Soit








Donc



,
est donc strictement
positive sur
.
est
donc strictement croissante sur
.
On admet que lorsque tend vers
,
tend vers
et, lorsque
tend vers
,
tend vers 0.
Étudier le sens de variation de la fonction
définie sur
par
puis représenter
graphiquement cette fonction.
Pour cela, on va calculer la dérivée,
déterminer le signe de cette dérivée
puis conclure sur le sens de variation de .
est de la forme
avec
et
.
-
est croissante sur
-
est décroissante
-
est croissante sur

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