Somme des termes d'une suite arithmétique
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- Découvrir et utiliser la somme des
premiers entiers non nuls.
- Calculer la somme de
termes consécutifs d'une
suite arithmétique.
- La somme des premiers entiers (non nuls)
vaut :
.
- La somme des premiers termes d'une suite
arithmétique vaut :
.
- Notion de suite
- Suite arithmétique
- Terme général d'une suite
est dite
arithmétique si il existe un
réel 
tel que pour tout 
. Le réel 
est appelé raison de
la suite.
La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme
.
On peut exprimer directement le terme
général 
d'une suite arithmétique en
fonction de 
, de 
(ou 
du terme de rang 
) et de la raison 
:
 ou 
|
avec :
|
le premier terme
de la suite
un terme de rang
un terme de rang
un nombre entier
naturel
un nombre entier
naturel
un nombre
réel
Pour obtenir 
:
- en partant de
: on ajoute 
fois la raison ;
- en partant de
(lorsque 
) on ajoute 
fois la raison.
Soit
une suite arithmétique de
raison 6 et de premier terme 
.Alors on peut dire que
pour tout 
.Ainsi, par exemple,
.
Remarquons dans un premier temps que la somme 
comporte 
termes. Dans un deuxième
temps, écrivons la somme 
de 2 façons
différentes :
Effectuons ensuite la somme terme à terme de ces 2
quantités :
On remarque que cette somme contient 
termes de même
valeur 
.
Ainsi, 
d’où le
résultat 
.
La somme des 100 premiers entiers naturels vaut
.
Soit la suite arithmétique 
de premier
terme 
et de raison 
(la suite formée par les nombres
impairs).
Calculons la somme des 21 premiers termes de la
suite :
On sait que 
.
Ainsi, on a : 
Rassemblons les 1 et factorisons par 2 le
reste :
On reconnait dans la parenthèse la somme des
20 premiers entiers. On applique la formule
obtenue dans la partie
précédente 
avec 
et on obtient :
On pose 
, alors 
, c'est-à-dire que 
.
d'où 
en regroupant les 
.
On factorise la fin de la somme par 
,
, et on utilise la somme des premiers
entiers : 
pour obtenir 
.
On écrit 
et on factorise par 
:
Comme 
on a bien 
.
La somme S des 13 premiers termes de la suite arithmétique
de premier
terme 
et de raison 5 est 
.En effet,
.Alors,
. (si on prend 13 termes à partir de
, le 13e est
)Donc
.Sachant que
, on peut écrire : 
.
La somme S des
premiers termes de la suite
arithmétique 
de premier
terme 
et de raison –200 est : 
.En effet, le
-ième terme est 
.
La formule se généralise à toute somme de termes consécutifs, même à partir d'un rang
différent
de 0 :On pose
alors 
.
est une suite
arithmétique.Alors
car la somme a dix termes.
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