Fiche de cours

La fonction exponentielle et les suites géométriques

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Objectifs
  • Construire la représentation graphique de la fonction exponentielle de base à partir de la représentation graphique d’une suite géométrique.
  • Définir la fonction exponentielle de base .
  • Étudier le sens de variation de la fonction exponentielle de base .
  • Propriétés algébriques des fonctions exponentielles de base .
  • Étudier la fonction définie par où est un nombre réel non nul
  • Définir croissance et décroissance exponentielle.
  • Lier décroissance exponentielle et désintégration radioactive.
  • Lier croissance exponentielle et intérêts composés.
Points clés
  • La fonction exponentielle de base  est la fonction  définie sur  par .
  • Sens de variation de la fonction exponentielle de base  :
    • Si , la fonction  est décroissante sur .
    • Si , la fonction  est croissante sur .
  • Pour construire la représentation graphique d’une fonction exponentielle de base a, on peut partir  de la représentation graphique d’une suite géométrique de raison a et placer les autres points par dichotomie.
  •  Représentation graphique de la fonction exponentielle de base  :
    • Si , on a une décroissance exponentielle.
      Exemple : a = 0,5

    • Si  , on a une croissance exponentielle.
      Exemple : a = 2,5
Pour bien comprendre
  • Suites géométriques
  • Suites arithmétiques
  • Moyenne arithmétique de deux nombres
  • Moyenne géométrique de deux nombres
  • Règles de calcul des puissances et des exposants
  • Utiliser la calculatrice ou un tableur pour établir un tableau de valeur et représenter une fonction.
1. Rappels sur les suites géométriques

Soit une suite numérique.

Définition
Une suite géométrique est une suite telle qu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par un même nombre, qu’on appelle la raison (notée ) : pour tout entier naturel .
Propriétés
  • et notamment
  • Si le premier terme  est positif et la raison  est positive, alors :
    • si , la suite est décroissante ;
    • si , la suite est croissante.
2. Construction de la représentation de la fonction exponentielle de base a

Le principe de la construction est basé sur ce théorème :

(1) Si , et sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, alors .
(2) Si , et sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison positive, alors .

On dit que est la moyenne arithmétique de et , et est la moyenne géométrique de et .

Preuves
(1) On note la raison de la suite arithmétique, donc et .
donc .
(2) On note la raison ( positif) de la suite géométrique, donc et

donc .

Principe de la construction

On considère une suite géométrique de raison positive et de premier terme 1.
La représentation graphique de cette suite est l’ensemble des points de coordonnées .
On remarque que les abscisses forment une suite arithmétique de raison 1 (0 ; 1 ; 2 ; 3...) et les ordonnées forment une suite géométrique de raison  : (1 ;  ;  ; ...)

On applique et réitère la procédure de construction suivante :

Entre deux points consécutifs de la représentation graphique on place un point dont :
  • l’abscisse est la moyenne arithmétique des abscisses de ces points ;
  • l’ordonnée est la moyenne géométrique des ordonnées de ces points.
  1. On représente la suite géométrique par des points de coordonnées .
    Exemple avec la suite  définie par   et 
     est une suite géométrique de raison  et on a 
     

  2. On prolonge la représentation de cette suite pour les entiers négatifs.
    Comme , on pose  . 
    Dans notre exemple : 
     

  3. Par dichotomie, on place entre deux points consécutifs un point dont les coordonnées sont (moyenne arithmétiques des abscisses ; moyenne géométrique des ordonnées).
    Autrement dit, si et sont deux points consécutifs de ce nuage de points, on place entre eux le point .

  4. On procède de la même façon pour les abscisses négatives.
  5. On réitère ce procédé de construction plusieurs fois. On obtient ainsi la représentation graphique de la fonction définie sur par . On appelle cette fonction la fonction exponentielle de base .
    Dans notre exemple, on obtient la représentation graphique de la fonction f définie par .

 

3. Définition et propriétés de la fonction exponentielle de base a
Définition
Soit un nombre réel strictement positif, la fonction exponentielle de base est la fonction définie sur par .
Remarque : Lorsque , nous retrouvons la fonction exceptionnelle.
a. Sens de variation

(1) Si , la fonction est décroissante sur .
(2) Si , la fonction est croissante sur .
Remarque : Si , est la fonction constante égale à 1.
Preuve

Par similitude et par construction à partir de la suite géométrique de raison et de premier terme 1, on sait que si alors la suite est décroissante et si la suite est croissante, donc est décroissante si et est croissante si .

b. Représentation graphique
  • Si
    Exemple : a = 0,5

  • Si
    Exemple : a = 2,5
c. Propriétés algébriques

Soit et deux nombres réels strictement positifs, et et deux nombres réels.

Remarque : Pour mémoriser ces égalités, on pense aux règles des puissances et des exposants.
Exemple :
4. Fonctions définies par f(x) = exp(kx)

Soit un nombres réel non nul, on définit la fonction par .

avec , donc est une fonction exponentielle de base .

est définie sur et décroissante si , croissante si .
Preuve

La base de cette fonction exponentielle est .
est décroissante sur si et est croissante sur si .
Or, et .
Donc est décroissante sur si et est croissante sur si .

Représentation graphique
  • Si
    Exemple : représentation graphique de la fonction f définie par f(x)=e-x (k = -1)



  • Si
    Exemple : représentation graphique de la fonction g définie par g(x)=e0,5x (k = 0,5)

 

5. Croissance et décroissance exponentielle
a. Décroissance exponentielle
On dit qu’une quantité est en décroissance exponentielle si, à chaque instant, cette quantité diminue proportionnellement par rapport à la quantité de cet instant.
Exemple : la désintégration radioactive
Les lois de physique permettent d’affirmer que à un instant , dans un échantillon de noyaux radioactifs, la vitesse de désintégration est proportionnelle à l’effectif des noyaux non désintégré de cet échantillon.
On note l’effectif des noyaux non désintégrés à l’instant .
= vitesse de la désintégration donc est une constante

On démontre (ou on admet) que est définie sur par avec une constante positive qui est égale à l’effectif de l’échantillon à l’instant 0 et une constante physique correspondant au noyau considéré.
Si on mesure l’effectif en pourcentage, on peut poser
Donc
Pour le polonium, donc , avec l’effectif de l’échantillon du polonium exprimé en pourcentage et le temps en seconde. >

D’après le graphique de la fonction , nous constatons que la moitié de cet échantillon se désintègrent en 187 secondes et les trois quarts se désintègrent en 375 secondes.
b. Croissance exponentielle
On dit qu’une quantité est en croissance exponentielle si, à chaque instant, cette quantité augmente proportionnellement par rapport à la quantité de cet instant.
Exemple
On place un capital de 1 000 € dans une banque à un taux d’intérêt composée de 5 %. On note le capital acquis au bout de années, en milliers d’euros.
Ainsi, (milliers d’euros) et
Donc la suite est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme 1, d'où qu’on peut prolonger en une fonction exponentielle de base 1,05 : . On peut alors calculer le capital acquis à chaque instant.
Au bout de 3 ans : soit environ 1 158 €
Au bout de 3 ans et 6 mois : soit environ 1 186 €

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