La fonction exponentielle : définition et propriétés

Il existe une seule fonction dérivable sur telle que :

• où est la dérivée de sur
• 

On appelle cette fonction la fonction exponentielle et on la note .

On note le nombre par .

D'où :

• donc (l'expression ne change pas par dérivation)
• donc

Exemple :
Soit la fonction définie par alors  

Soit et deux ombres réels. On a pour la fonction exponentielle la relation fonctionnelle suivante :

.

On dit que la fonction exponentielle « transforme les sommes en produits ».

Preuve :
On admet que si  est une fonction dérivable de dérivée et et deux nombres réels alors la fonction définie par   est dérivable et .
Soit et deux nombres réels et la fonction définie sur par .
est de la forme avec :

donc


Donc est une constante.
Donc
        
       

Soit et deux nombres réels et un nombre entier naturel. On a les propriétés algébriques suivantes : 

 

 

 

 

Exemple

Exemple

Ces propriétés algébriques peuvent être mémorisées en pensant aux propriétés des puissances et elles se démontrent en utilisant la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle .

Preuves :

(n facteurs)
(somme de n termes de a)

  pour tout

Preuve :

1. S'il existe un nombre réel x tel que alors , ce qui est impossible car on ne peut pas diviser par 0. Donc il n'existe aucun réel x tel que (cette démonstration est une démonstration par l'absurde).
2. donc est un carré, donc  est positif.

D'où .