La fonction exponentielle : définition et propriétés
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre la définition et la notation de la fonction exponentielle.
- S’approprier les propriétés calculatoires et algébriques de la fonction exponentielle.
- Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
- Étudier le signe de ex.
- La fonction exponentielle est la seule fonction
telle que
et
- La fonction exponentielle se note
et
se note
- Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle :
- Propriétés algébriques de la
fonction exponentielle :
-
- ex est strictement positif pour tout réel x.
- Notion de dérivée
- Dérivée d’une fonction constante
- Si
est une fonction dérivable de dérivée
et
et
deux nombres réels alors la fonction
définie par
est dérivable et
.
- Opérations sur les puissances d’exposants des entiers naturels
- Valeur exacte d’un nombre réel


-
où
est la dérivée de
sur
-

On note le nombre par
.
D'où :
-
donc
(l'expression ne change pas par dérivation)
-
donc
Soit



Soit et
deux ombres réels. On a
pour la fonction exponentielle la relation fonctionnelle
suivante :

On dit que la fonction exponentielle « transforme les sommes en produits ».
Preuve :
On admet que si est une fonction
dérivable de dérivée
et
et
deux nombres réels alors la
fonction
définie par
est dérivable et
.
Soit et
deux nombres réels et
la fonction définie sur
par
.
est de la forme
avec :
donc
Donc est une constante.
Donc
Soit et
deux nombres réels et
un nombre entier naturel. On a les
propriétés algébriques
suivantes :






Ces propriétés algébriques peuvent
être mémorisées en pensant aux
propriétés des puissances et elles se
démontrent en utilisant la relation fonctionnelle
de la fonction exponentielle .
Preuves :
(n facteurs)
(somme de n termes de
a)

Montrons que

On a


Résoudre dans


Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur approchée à 0,01 près.





Preuve :
- S'il existe un nombre réel x tel que
alors
, ce qui est impossible car on ne peut pas diviser par 0. Donc il n'existe aucun réel x tel que
(cette démonstration est une démonstration par l'absurde).
-
donc
est un carré, donc
est positif.
D'où .
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