Fiche de cours

La fonction exponentielle : définition et propriétés

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Objectifs
  • Connaitre la définition et la notation de la fonction exponentielle.
  • S’approprier les propriétés calculatoires et algébriques de la fonction exponentielle.
  • Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
  • Étudier le signe de ex.
Points clés
  • La fonction exponentielle est la seule fonction telle que  et
  • La fonction exponentielle se note et se note
  • Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle :
  • Propriétés algébriques de la fonction exponentielle :
  • ex est strictement positif pour tout réel x.
Pour bien comprendre
  • Notion de dérivée
  • Dérivée d’une fonction constante
  • Si  est une fonction dérivable de dérivée  et et deux nombres réels alors la fonction définie par  est dérivable et .
  • Opérations sur les puissances d’exposants des entiers naturels
  • Valeur exacte d’un nombre réel
1. Définition
Il existe une seule fonction dérivable sur telle que :
  • où est la dérivée de sur
On appelle cette fonction la fonction exponentielle et on la note .

On note le nombre par .

D'où :

  • donc (l'expression ne change pas par dérivation)
  • donc
Exemple :
Soit la fonction définie par alors  
2. Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle

Soit et deux ombres réels. On a pour la fonction exponentielle la relation fonctionnelle suivante :

.

On dit que la fonction exponentielle « transforme les sommes en produits ».

Preuve :
On admet que si  est une fonction dérivable de dérivée et et deux nombres réels alors la fonction définie par   est dérivable et .
Soit et deux nombres réels et la fonction définie sur par .
est de la forme avec :

donc


Donc est une constante.
Donc
        
       

3. Propriétés algébriques

Soit et deux nombres réels et un nombre entier naturel. On a les propriétés algébriques suivantes : 

 
 
 
 
Exemple
Exemple

Ces propriétés algébriques peuvent être mémorisées en pensant aux propriétés des puissances et elles se démontrent en utilisant la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle .

Preuves :


(n facteurs)
(somme de n termes de a)

4. Le nombre e
Le nombre e est un nombre réel défini par e1 = e.
La notation e est la valeur exacte de ce nombre. Sa valeur approchée est
Remarque : par combinaison, les valeurs en sont aussi des valeurs exactes.
Exemple
Montrons que .
On a donc
Exemple
Résoudre dans l'équation .
Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur approchée à 0,01 près.


5. Signe de exp(x) pour tout nombre réel x
  pour tout

Preuve :

  1. S'il existe un nombre réel x tel que alors , ce qui est impossible car on ne peut pas diviser par 0. Donc il n'existe aucun réel x tel que (cette démonstration est une démonstration par l'absurde).
  2. donc est un carré, donc  est positif.

D'où .

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