Fiche de cours

La fonction exponentielle : définition et propriétés

Lycée   >   Premiere   >   Mathématiques   >   La fonction exponentielle : définition et propriétés

  • Fiche de cours
  • Quiz et exercices
  • Vidéos et podcasts
Objectifs
  • Connaitre la définition et la notation de la fonction exponentielle.
  • S’approprier les propriétés calculatoires et algébriques de la fonction exponentielle.
  • Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
  • Étudier le signe de ex.
Points clés
  • La fonction exponentielle est la seule fonction telle que  et
  • La fonction exponentielle se note et se note
  • Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle :
  • Propriétés algébriques de la fonction exponentielle :
  • ex est strictement positif pour tout réel x.
Pour bien comprendre
  • Notion de dérivée
  • Dérivée d’une fonction constante
  • Si  est une fonction dérivable de dérivée  et et deux nombres réels alors la fonction définie par  est dérivable et .
  • Opérations sur les puissances d’exposants des entiers naturels
  • Valeur exacte d’un nombre réel
1. Définition
Il existe une seule fonction dérivable sur telle que :
  • est la dérivée de sur
On appelle cette fonction la fonction exponentielle et on la note .

On note le nombre par .

D'où :

  • donc (l'expression ne change pas par dérivation)
  • donc
Exemple :
Soit la fonction définie par alors  
2. Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle

Soit et deux ombres réels. On a pour la fonction exponentielle la relation fonctionnelle suivante :

.

On dit que la fonction exponentielle « transforme les sommes en produits ».

Preuve :
On admet que si  est une fonction dérivable de dérivée et et deux nombres réels alors la fonction définie par   est dérivable et .
Soit et deux nombres réels et la fonction définie sur par .
est de la forme avec :

donc


Donc est une constante.
Donc
        
       

3. Propriétés algébriques

Soit et deux nombres réels et un nombre entier naturel. On a les propriétés algébriques suivantes : 

 
 
 
 
Exemple
Exemple

Ces propriétés algébriques peuvent être mémorisées en pensant aux propriétés des puissances et elles se démontrent en utilisant la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle .

Preuves :



(n facteurs)
(somme de n termes de a)

4. Le nombre e
Le nombre e est un nombre réel défini par e1 = e.
La notation e est la valeur exacte de ce nombre. Sa valeur approchée est
Remarque : par combinaison, les valeurs en sont aussi des valeurs exactes.
Exemple
Montrons que .
On a donc
Exemple
Résoudre dans l'équation .
Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur approchée à 0,01 près.


5. Signe de exp(x) pour tout nombre réel x
  pour tout

Preuve :

  1. S'il existe un nombre réel x tel que alors , ce qui est impossible car on ne peut pas diviser par 0. Donc il n'existe aucun réel x tel que (cette démonstration est une démonstration par l'absurde).
  2. donc est un carré, donc  est positif.

D'où .

Évalue ce cours !

 

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

 

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

 

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

 

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

 

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Le service propose une plateforme de contenus interactifs, ludiques et variés pour les élèves du CP à la Terminale. Nous proposons des univers adaptés aux tranches d'âge afin de favoriser la concentration, encourager et motiver quel que soit le niveau. Nous souhaitons que chacun se sente bien pour apprendre et progresser en toute sérénité ! 

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques

La fonction exponentielle : variation et représentation

Mathématiques

La fonction exponentielle et les suites géométriques

Mathématiques

Listes en Python : création et manipulation- Première- Mathématiques

Mathématiques

Les différents raisonnements mathématiques- Première- Mathématiques

Mathématiques

Somme des termes d'une suite arithmétique- Première- Mathématiques

Mathématiques

Les suites géométriques- Première- Mathématiques

Mathématiques

Somme des termes d'une suite géométrique- Première- Mathématiques

Mathématiques

Sens de variation d'une suite

Mathématiques

Factoriser par complétion du carré

Mathématiques

Forme canonique d'une fonction polynôme du second degré