Factoriser grâce aux racines évidentes

Soit une fonction polynôme de degré deux d'expression avec , , réels et .

On appelle racine évidente de un nombre , généralement entier, tel que .

Une fonction polynôme ne possède pas nécessairement de racine évidente.

Pour savoir si possède une racine évidente, on calcule rapidement , , , , puis , , . Si on trouve 0 en calculant ces nombres, alors on a identifié une racine évidente.

Exemple
Si alors on calcule :
, 0 n'est pas racine évidente de .
est une racine évidente de .

Remarque : parfois la nature des coefficients de peuvent guider l'intuition pour tester d'autres valeurs.

Exemple
Si , on peut penser à tester 10 car 100 = 10² et 20 = 2 × 10. Et en effet .

Une racine évidente peut aussi se lire sur la représentation graphique de la fonction polynôme.

Exemple

Ci-dessus, on voit que la parabole coupe l'axe des abscisses en 2 points mais un seul est clairement identifiable, on voit que –2 est une racine évidente.

Une fois que l'on connait une racine évidente d'une fonction polynôme telle que , on sait que la forme factorisée de sera du type avec et où est l'autre racine de qui reste à déterminer.

Pour cela, on développe l'expression de  contenant  et , et on identifie les coefficients des termes constants, en  et en  avec , et .

1. On utilise la racine évident et on note la deuxième racine, encore inconnue, et on écrit la forme factorisée de  : .
2. On développe et réduit cette expression pour trouver .
3. On identifie les coefficients de chacun des 3 termes avec la forme de départ pour obtenir une équation simple à résoudre et livrant  :
   
   • terme en :   (1)
   • terme en  : (2)
   • terme constant : (3)
4. On résout l'une des 2 équations (2) ou (3) pour identifier . On peut utiliser l'autre équation, (3) ou (2), pour vérifier la valeur ainsi trouvée.

Remarque : à l'étape 3, le terme en ne contenant jamais , il ne servira jamais pour trouver .

Exemple : Factoriser définie par .

1. On a vu que 1 est racine évidente car . Ici donc on peut écrire .
2. On développe pour trouver :
   
   
   
3. On identifie avec la forme développée initiale :
   
   • terme en :  (2)
   • terme constant : (3)
4. On choisit (3) qui est plus simple que (2) à résoudre pour trouver (on peut vérifier avec (2) qu'on a bien ).

Une fois les deux racines  et identifiées, on peut écrire le polynôme sous sa forme factorisée .

Exemple
On a vu que admet deux racines et .
On conclut en produisant la forme factorisée de : .

Pour aller plus loin
La technique de racine évidente et d'identification sera indispensable pour factoriser beaucoup de polynômes de degré 3 (du type ).