Factoriser grâce aux racines évidentes
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- Savoir identifier une racine évidente d’un polynôme.
- Savoir utiliser cette racine évidente pour factoriser le polynôme.
- Une racine évidente est un nombre simple dont on calcule rapidement l'image par la fonction polynôme, cette image doit être 0.
- Une racine évidente obtenue, on trouve facilement l'autre racine par identification des coefficients de la fonction polynôme.
- Savoir ce qu’est un polynôme de degré 2
- Savoir ce qu’est une racine d’un polynôme de degré 2
- Savoir développer une expression algébrique
- Savoir résoudre une équation de degré 1
Soit une fonction polynôme de degré deux d'expression avec , , réels et .
On appelle racine évidente de un nombre , généralement entier, tel que .
Une fonction polynôme ne possède pas nécessairement de racine évidente.
Pour savoir si possède une racine évidente, on calcule rapidement , , , , puis , , . Si on trouve 0 en calculant ces nombres, alors on a identifié une racine évidente.
Si alors on calcule :
, 0 n'est pas racine évidente de .
est une racine évidente de .
Si , on peut penser à tester 10 car 100 = 102 et 20 = 2 × 10. Et en effet .
Une racine évidente peut aussi se lire sur la représentation graphique de la fonction polynôme.
Une fois que l'on connait une racine évidente d'une fonction polynôme telle que , on sait que la forme factorisée de sera du type avec et où est l'autre racine de qui reste à déterminer.
Pour cela, on développe l'expression de contenant et , et on identifie les coefficients des termes constants, en et en avec , et .
- On utilise la racine évident et on note la deuxième racine, encore inconnue, et on écrit la forme factorisée de : .
- On développe et réduit cette expression pour trouver .
- On identifie les coefficients de chacun des
3 termes avec la forme de départ
pour obtenir une
équation simple à résoudre et
livrant :
- terme en : (1)
- terme en : (2)
- terme constant : (3)
- On résout l'une des 2 équations (2) ou (3) pour identifier . On peut utiliser l'autre équation, (3) ou (2), pour vérifier la valeur ainsi trouvée.
- On a vu que 1 est racine évidente car . Ici donc on peut écrire .
- On développe pour trouver :
- On identifie avec la forme développée
initiale :
- terme en : (2)
- terme constant : (3)
- On choisit (3) qui est plus simple que (2) à résoudre pour trouver (on peut vérifier avec (2) qu'on a bien ).
Lorsqu'on sait utiliser la somme et le produit des racines d'un polynôme de degré deux, on peut s'en servir pour trouver la deuxième racine une fois qu'on a obtenu une racine évidente. Dans ce cas, on n'utilise pas la méthode d'identification ci-dessus.
Une fois les deux racines et identifiées, on peut écrire le polynôme sous sa forme factorisée .
On a vu que admet deux racines et .
On conclut en produisant la forme factorisée de : .
Pour aller plus loin
La technique de racine évidente et
d'identification sera indispensable pour factoriser
beaucoup de polynômes de degré 3 (du
type ).
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