Factoriser à l'aide du discriminant
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- Déterminer le nombre de racines d'une fonction polynôme de degré deux grâce au discriminant.
- Factoriser un polynôme grâce au discriminant.
- Pour factoriser un polynôme, on a besoin de connaitre les valeurs de ses racines.
- Suivant le signe du discriminant, un polynôme
possède 0, 1 ou 2 racines
réelles.
0 racine 1 racine (double)
2 racines (distinctes)
et 
Aucune factorisation possible 
- Identités remarquables
- Racine d'un polynôme
- Forme canonique d'une fonction polynôme de degré deux
Factoriser un polynôme du second degré consiste
à l’écrire sous la forme d’un
produit de polynôme du premier degré.
Ce n’est possible que si la fonction polynôme
possède 1 ou 2 racines.
Une fonction polynôme de degré 2
s'écrit sous la
forme 
où 
, 
, 
sont des réels
avec 
.
Sa forme canonique est donnée par la formule
.
est le numérateur de la
dernière fraction : le nombre 
. On le note à l'aide de
la majuscule grecque
« Delta » : 
.
sous sa forme canonique pour
calculer 
, on utilise directement la
formule 
.
est 
et ainsi, ici, 
.
Calculer 
permet de savoir si 
a 0, 1 ou 2 racines,
et d'exprimer ces racines en fonction de 
, 
et 
.
En factorisant par 
la forme canonique de
, on obtient : 
- On observe qu'on pourra factoriser le
crochet si
(donc si 
) en considérant
cette dernière fraction comme un carré
(celui de sa propre racine) et en utilisant
l'identité remarquable permettant de
factoriser la différence de deux
carrés :
si 
or
d'où :
Ainsi, si
, 
s’annule pour
et 
et sa forme
factorisée est
.
Remarque : si
, alors 
s’annule pour
et sa forme
factorisée est 
.
- Si
aucune factorisation n'est
possible, car 
ne possède
aucune racine qui l'annule, puisque quel que soit
on aura 
, et donc 
si 
, ou 
si 
.
Soit 
telle que 
où 
, 
, 
sont des réels avec
, 3 cas se
présentent :
|
|
|
|
| 0 racine |
1 racine (double)
|
2 racines (distinctes)
et
|
| Aucune factorisation possible |
|
|
Voici donc la méthode universelle pour factoriser un polynôme par le calcul du discriminant.
- Étant donnée une forme
développée d'une fonction polynôme,
on calcule d'abord le discriminant. La fonction
polynôme ne peut être factorisée que
si
ou si 
.
- On calcule alors la ou les racines à l'aide des formules générales données dans le tableau.
- On écrit
sous forme
factorisée, en n'oubliant pas le
coefficient 
.
avec 
.
- Ici
, 
et 
. On calcule 
: 
-
donc on a 2 racines
distinctes 
et 
soit 
et 
.
- On en déduit
.
- En développant 3 sur la première
parenthèse, on obtient une factorisation plus
élégante :
.
avec 
.
- Ici
, 
et 
. On calcule 
: 
.
-
donc on a 1 racine
double 
soit 
.
- On en déduit
.
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