Factoriser à l'aide du discriminant
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- Déterminer le nombre de racines d'une fonction polynôme de degré deux grâce au discriminant.
- Factoriser un polynôme grâce au discriminant.
- Pour factoriser un polynôme, on a besoin de connaitre les valeurs de ses racines.
- Suivant le signe du discriminant, un polynôme
possède 0, 1 ou 2 racines
réelles.
0 racine 1 racine (double)
2 racines (distinctes)
etAucune factorisation possible
- Identités remarquables
- Racine d'un polynôme
- Forme canonique d'une fonction polynôme de degré deux
Factoriser un polynôme du second degré consiste
à l’écrire sous la forme d’un
produit de polynôme du premier degré.
Ce n’est possible que si la fonction polynôme
possède 1 ou 2 racines.
Une fonction polynôme de degré 2 s'écrit sous la forme où , , sont des réels avec .
Sa forme canonique est donnée par la formule
.
Calculer permet de savoir si a 0, 1 ou 2 racines, et d'exprimer ces racines en fonction de , et .
En factorisant par la forme canonique de , on obtient :
- On observe qu'on pourra factoriser le
crochet si (donc si ) en considérant
cette dernière fraction comme un carré
(celui de sa propre racine) et en utilisant
l'identité remarquable permettant de
factoriser la différence de deux
carrés :
si
or d'où :
Remarque : si , alors s’annule pour et sa forme factorisée est . - Si aucune factorisation n'est possible, car ne possède aucune racine qui l'annule, puisque quel que soit on aura , et donc si , ou si .
Soit telle que où , , sont des réels avec , 3 cas se présentent :
0 racine |
1 racine (double) |
2 racines (distinctes) et |
Aucune factorisation possible |
Voici donc la méthode universelle pour factoriser un polynôme par le calcul du discriminant.
- Étant donnée une forme développée d'une fonction polynôme, on calcule d'abord le discriminant. La fonction polynôme ne peut être factorisée que si ou si .
- On calcule alors la ou les racines à l'aide des formules générales données dans le tableau.
- On écrit sous forme factorisée, en n'oubliant pas le coefficient .
- Ici , et . On calcule :
- donc on a 2 racines distinctes et soit et .
- On en déduit .
- En développant 3 sur la première parenthèse, on obtient une factorisation plus élégante : .
- Ici , et . On calcule : .
- donc on a 1 racine double soit .
- On en déduit .
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