Utiliser les différentes formes d'un polynôme du second degré

On remplace par les valeurs proposées pour calculer .

Exemple : l'image de 3 par avec vaut 0 car .

Si , les équations du type , ou se résoudront facilement en utilisant la forme développée de . On se ramènera alors à une équation de type.

• Les équations du type se ramènent à une équation de degré 1.
• Les équations du type se ramènent à une équation du type .
• Les équations du type se ramènent à une équation produit en factorisant par .

Exemple avec

• Résoudre revient à résoudre soit d'où l'ensemble des solutions : .
• Résoudre revient à résoudre soit ou d'où l'ensemble des solutions : .
• Résoudre revient à résoudre or d'où 2 solutions : 0 et  et l'ensemble des solutions : .

Si , les inéquations du type , ou (ou avec ≤, ≥, > à la place de <) se résoudront facilement en utilisant la forme développée de . On se ramènera alors à une équation de type (ou avec ≤, ≥, > à la place de <).

• Les inéquations du type se ramènent à une inéquation de degré 1.
• Les inéquations du type se ramènent à une inéquation du type  avec tableau de signe.
• Les inéquations du type se ramènent à une inéquation produit en factorisant par , avec une ligne du tableau de signe facile, donnant le signe de .

Exemple avec

• Résoudre revient à résoudre soit . D'où l'ensemble des solutions : .
• Résoudre revient à résoudre soit . L'ensemble des solutions est car on a :
  
• Résoudre revient à résoudre et donc . L'ensemble des solutions est car on a :
• 

• Si , la parabole représentant  est tournée vers le bas.
• Si , la parabole représentant  est tournée vers le haut.

La parabole représentant  a pour axe de symétrie la droite verticale d'équation .

Pour calculer le discriminant  de 

Pour connaitre les racines de  et factoriser

• cas général : si , alors , et .
• cas particulier : si , alors et la somme des deux racines vaut , le produit des 2 racines vaut .

Pour connaitre la forme canonique de et son extremum
et admet un extremum en , qui vaut (maximum si , minimum si ).

Les équations du type se résoudront facilement en utilisant la forme factorisée de .

Exemple
Si alors l'équation a pour solutions –2 et 3 en vertu de la règle du produit nul, d'où l'ensemble des solutions : .

Les inéquations du type (ou ≤, ≥, <) se résoudront facilement en utilisant la forme factorisée de .

Exemple
Si alors l'inéquation a pour ensemble de solutions car :

On peut aussi retenir que si , une fonction polynôme du second degré est positive à l'extérieur des racines, et négative à l'intérieur des racines. Si , c'est le contraire.

Si alors où :

Cette astuce (dite de la somme et du produit des racines) permet d'éviter d'employer la double distributivité pour développer plus rapidement.

admet un extremum en  (second terme de la parenthèse), qui vaut  (second terme de l’expression).
C'est un maximum si , un minimum si .

Exemple
admet un minimum en 3 qui vaut 9.

Le sommet de la parabole a pour coordonnées .
L'axe de symétrie vertical de la parabole a pour équation .
La parabole est tournée vers le haut si , vers le bas si .

Exemple
La représentation graphique de est une parabole tournée vers le haut. Son axe de symétrie est . Son sommet est le point de coordonnées (3 ; 9).

Les équations ou inéquations du type ou (ou ≥, ≤, <) se résoudront facilement en utilisant la forme canonique de .

Les équations ont une solution unique : .

Les inéquations ont comme solution ou  :

• si est du même signe que le sens de l'inéquation ;
• sinon.

Exemple
Si la forme canonique de  est alors l'inéquation se ramène à et donc à . Or pour tout , et ici et  donc : . Si l'inéquation est , elle se ramène à . Mais comme ici , on a .

On factorise par pour obtenir et on factorise l'intérieur du crochet grâce à l'identité remarquable .

Exemple
Si la forme canonique de  est alors :