Utiliser les différentes formes d'un polynôme du second degré
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- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
Aborder l'ensemble des situations où utiliser un polynôme du second degré sous ses différentes formes.
- En fonction du second membre d'une équation ou inéquation à résoudre, il sera plus pertinent de choisir une des formes de la fonction polynôme que les deux autres.
- Pour passer de la fonction polynôme à sa représentation graphique, et réciproquement, l'une des formes sera plus pertinentes que les autres.
- Savoir résoudre une équation, une inéquation
- Développer une expression du second degré
- Identités remarquables
- Tableau de signe d’une fonction
- Racine d'une fonction polynôme, somme et produit des racines
- Discriminant, forme canonique d'une fonction polynôme, extremum
- Représentation graphique d'une fonction polynôme
Une fonction définie
sur
par une expression réduite
du type avec
,
,
réels et
est appelée fonction
polynôme de degré deux.




Elle s'avère utile dans les cas suivants.
On remplace par les valeurs proposées
pour calculer
.



Si , les équations du type
,
ou
se résoudront facilement
en utilisant la forme développée de
. On se ramènera alors
à une équation de type
.
- Les équations du type
se ramènent à une équation de degré 1.
- Les équations du type
se ramènent à une équation du type
.
- Les équations du type
se ramènent à une équation produit en factorisant par
.

- Résoudre
revient à résoudre
soit
d'où l'ensemble des solutions :
.
- Résoudre
revient à résoudre
soit
ou
d'où l'ensemble des solutions :
.
- Résoudre
revient à résoudre
or
d'où 2 solutions : 0 et
et l'ensemble des solutions :
.
Si , les inéquations du
type
,
ou
(ou avec ≤, ≥, >
à la place de <) se résoudront
facilement en utilisant la forme
développée de
. On se ramènera alors
à une équation de type
(ou avec ≤, ≥, >
à la place de <).
- Les inéquations du type
se ramènent à une inéquation de degré 1.
- Les inéquations du type
se ramènent à une inéquation du type
avec tableau de signe.
- Les inéquations du type
se ramènent à une inéquation produit en factorisant par
, avec une ligne du tableau de signe facile, donnant le signe de
.

- Résoudre
revient à résoudre
soit
. D'où l'ensemble des solutions :
.
- Résoudre
revient à résoudre
soit
. L'ensemble des solutions est
car on a :
- Résoudre
revient à résoudre
et donc
. L'ensemble des solutions est
car on a :
-
- Si
, la parabole représentant
est tournée vers le bas.
- Si
, la parabole représentant
est tournée vers le haut.
La parabole représentant a pour axe de symétrie la
droite verticale d'équation
.




- cas général : si
, alors
,
et
.
- cas particulier : si
, alors
et la somme des deux racines vaut
, le produit des 2 racines vaut
.
Pour connaitre la forme canonique de et son extremum
et
admet un extremum en
, qui vaut
(maximum si
, minimum si
).

Elle s’avère utile dans les cas suivants.
Les équations du type se résoudront facilement
en utilisant la forme factorisée
de
.
Si



Les inéquations du type (ou ≤, ≥, <)
se résoudront facilement en utilisant la forme
factorisée de
.
Si




On peut aussi retenir que si , une fonction polynôme du
second degré est positive à
l'extérieur des racines, et négative
à l'intérieur des racines. Si
, c'est le contraire.
Si alors
où :
Cette astuce (dite de la somme et du produit des racines) permet d'éviter d'employer la double distributivité pour développer plus rapidement.
Une fonction polynôme de degré deux
d’expression a pour forme canonique
.
admet un extremum
en
(second terme de la
parenthèse), qui vaut
(second terme de
l’expression).
C'est un maximum si , un minimum
si
.

Le sommet de la parabole a pour coordonnées
.
L'axe de symétrie vertical de la parabole a pour
équation .
La parabole est tournée vers le haut
si , vers le bas
si
.
La représentation graphique de


Les équations ou inéquations du type
ou
(ou ≥, ≤, <)
se résoudront facilement en utilisant la forme
canonique de
.
Les équations ont une solution unique :
.
Les inéquations ont comme solution ou
:
-
si
est du même signe que le sens de l'inéquation ;
-
sinon.
Si la forme canonique de














On factorise par
pour obtenir
et on factorise
l'intérieur du crochet grâce à
l'identité remarquable
.
Si la forme canonique de







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