Utiliser les différentes formes d'un polynôme du second degré - Maxicours

Utiliser les différentes formes d'un polynôme du second degré

Objectif

Aborder l'ensemble des situations où utiliser un polynôme du second degré sous ses différentes formes.

Points clés
  • En fonction du second membre d'une équation ou inéquation à résoudre, il sera plus pertinent de choisir une des formes de la fonction polynôme que les deux autres.
  • Pour passer de la fonction polynôme à sa représentation graphique, et réciproquement, l'une des formes sera plus pertinentes que les autres.
Pour bien comprendre
  • Savoir résoudre une équation, une inéquation
  • Développer une expression du second degré
  • Identités remarquables
  • Tableau de signe d’une fonction
  • Racine d'une fonction polynôme, somme et produit des racines
  • Discriminant, forme canonique d'une fonction polynôme, extremum
  • Représentation graphique d'une fonction polynôme
1. Fonction polynôme de degré deux

Une fonction définie sur  par une expression réduite du type avec , , réels et est appelée fonction polynôme de degré deux.

Exemples
est l’expression d’une fonction polynôme de degré deux.
n’en est pas une (pas de terme en ).
2. Utiliser la forme développée d’une fonction polynôme
est la forme développée d'une fonction polynôme de degré deux.

Elle s'avère utile dans les cas suivants.

a. Pour calculer des images

On remplace par les valeurs proposées pour calculer .

Exemple : l'image de 3 par avec vaut 0 car .
b. Pour résoudre certaines équations

Si , les équations du type , ou se résoudront facilement en utilisant la forme développée de . On se ramènera alors à une équation de type.

  • Les équations du type se ramènent à une équation de degré 1.
  • Les équations du type se ramènent à une équation du type .
  • Les équations du type se ramènent à une équation produit en factorisant par .
Exemple avec
  • Résoudre revient à résoudre soit d'où l'ensemble des solutions : .
  • Résoudre revient à résoudre soit ou d'où l'ensemble des solutions : .
  • Résoudre revient à résoudre or d'où 2 solutions : 0 et  et l'ensemble des solutions : .

 

c. Pour résoudre certaines inéquations

Si , les inéquations du type , ou (ou avec ≤, ≥, > à la place de <) se résoudront facilement en utilisant la forme développée de . On se ramènera alors à une équation de type (ou avec ≤, ≥, > à la place de <).

  • Les inéquations du type se ramènent à une inéquation de degré 1.
  • Les inéquations du type se ramènent à une inéquation du type  avec tableau de signe.
  • Les inéquations du type se ramènent à une inéquation produit en factorisant par , avec une ligne du tableau de signe facile, donnant le signe de .
Exemple avec
  • Résoudre revient à résoudre soit . D'où l'ensemble des solutions : .
  • Résoudre revient à résoudre soit . L'ensemble des solutions est car on a :
  • Résoudre revient à résoudre et donc . L'ensemble des solutions est car on a :
d. Pour exploiter les valeurs de a, b, et c
Pour connaitre l'allure de la parabole
  • Si , la parabole représentant  est tournée vers le bas.
  • Si , la parabole représentant  est tournée vers le haut.
Pour connaitre l'axe de symétrie de la parabole

La parabole représentant  a pour axe de symétrie la droite verticale d'équation .

Pour calculer le discriminant  de 
Pour connaitre les racines de  et factoriser
  • cas général : si , alors , et .
  • cas particulier : si , alors et la somme des deux racines vaut , le produit des 2 racines vaut .

Pour connaitre la forme canonique de et son extremum
et admet un extremum en , qui vaut (maximum si , minimum si ).

3. Utiliser la forme factorisée d’une fonction polynôme
est la forme factorisée d'une fonction polynôme de degré deux, lorsqu'elle existe.

Elle s’avère utile dans les cas suivants.

a. Pour résoudre certaines équations

Les équations du type se résoudront facilement en utilisant la forme factorisée de .

Exemple
Si alors l'équation a pour solutions –2 et 3 en vertu de la règle du produit nul, d'où l'ensemble des solutions : .
b. Pour résoudre certaines inéquations

Les inéquations du type (ou ≤, ≥, <) se résoudront facilement en utilisant la forme factorisée de .

Exemple
Si alors l'inéquation a pour ensemble de solutions car :

On peut aussi retenir que si , une fonction polynôme du second degré est positive à l'extérieur des racines, et négative à l'intérieur des racines. Si , c'est le contraire.

c. Pour obtenir la forme développée

Si alors où :

Cette astuce (dite de la somme et du produit des racines) permet d'éviter d'employer la double distributivité pour développer plus rapidement.

4. Utiliser la forme canonique d'une fonction polynôme

Une fonction polynôme de degré deux d’expression a pour forme canonique .

a. Pour connaitre l'extremum de f

admet un extremum en  (second terme de la parenthèse), qui vaut  (second terme de l’expression).
C'est un maximum si , un minimum si .

Exemple
admet un minimum en 3 qui vaut 9.
b. Pour avoir des informations graphiques

Le sommet de la parabole a pour coordonnées .
L'axe de symétrie vertical de la parabole a pour équation .
La parabole est tournée vers le haut si , vers le bas si .

Exemple
La représentation graphique de est une parabole tournée vers le haut. Son axe de symétrie est . Son sommet est le point de coordonnées (3 ; 9).
c. Pour résoudre certaines équations ou inéquations

Les équations ou inéquations du type ou (ou ≥, ≤, <) se résoudront facilement en utilisant la forme canonique de .

Les équations ont une solution unique : .

Les inéquations ont comme solution ou  :

  • si est du même signe que le sens de l'inéquation ;
  • sinon.
Exemple
Si la forme canonique de  est alors l'inéquation se ramène à et donc à . Or pour tout , et ici et  donc : . Si l'inéquation est , elle se ramène à . Mais comme ici , on a .
d. Pour obtenir la forme factorisée

On factorise par pour obtenir et on factorise l'intérieur du crochet grâce à l'identité remarquable .

Exemple
Si la forme canonique de  est alors :




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