Somme et produit des racines d'un polynôme de degré 2
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- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre l'expression de la somme et du produit des racines d'un polynôme.
- Savoir utiliser la somme et le produit des racines d’un polynôme pour obtenir la forme factorisée ou la forme développée.
- Les racines peuvent souvent être trouvées grâce aux coefficients de la forme développée.
- La forme développée d’un polynôme s’obtient facilement grâce à la somme et au produit de ses racines.
- Savoir ce qu’est un polynôme de degré 2
- Savoir ce qu’est une racine d’un polynôme de degré 2
par 
où 
, 
et 
sont des réels
donnés et 
.
est racine d’une
fonction polynôme 
lorsque 
.
Si une fonction polynôme 
de degré deux
possède 2 racines 
et 
, alors il existe un
réel 
tel que 
se factorise sous la forme
.
On note :
-
la somme de ses
racines ;
-
le produit de ses racines.
On peut montrer que 
et 
, et on peut écrire que
.
Démonstration
Développons 
:
On identifie alors les coefficients avec ceux
de 
:
d’où 
et 
d’où 
.
Il existe une infinité de fonctions
polynômes de degré deux ayant pour
racines 
et 
puisque leur forme
factorisée sera du type 
avec 
.
Si on connait les racines 
et 
d’une fonction
polynôme, alors on peut calculer 
et 
et obtenir la forme
intermédiaire : 
.
La valeur de 
s'obtient grâce à
une information supplémentaire fournie par
l'énoncé ou à prendre sur une
représentation graphique.
- On utilise les racines
et 
pour
déterminer les valeurs de 
et 
et obtenir la forme
intermédiaire 
.
- On utilise l'information supplémentaire
pour déterminer
.
- On écrit la forme développée
de
.
Donner l'expression développée de
sachant que 
a pour racines 2 et 5
et que 
.
- On calcule
et 
pour obtenir la forme
générale de 
:
et 
.
Ainsi 
est du type
.
- On exploite l'information
:
puisque
alors 
. Or 
donc 
et 
.
- On produit la forme développée
finale :
comme
alors .
À l'inverse, à partir de la forme
développée d'une fonction polynôme
de degré deux, on peut trouver ses racines
éventuelles 
et 
:
- Si la fonction polynôme est du
type
(sans coefficient devant le
terme en 
),
alors 
est l'opposé de la
somme 
des racines,
et 
est le produit des racines.
- Si la fonction polynôme est du
type
avec 
, alors on force la
factorisation de 
par 
: 
et ainsi 
est l'opposé de la
somme 
des racines
et 
est le
produit 
des racines.
On peut alors souvent, avec intuition, deviner quelles
nombres ont pour produit 
et somme 
pour identifier les racines.
- On factorise la fonction polynôme
par 
si 
.
- On identifie la somme
des racines et leur
produit 
en analysant le terme
constant et l'opposé du coefficient du terme
en 
.
- On essaie, à l'intuition, de trouver deux
nombres
et 
, qui seront les
racines cherchées, dont la somme
vaut 
et le
produit 
.
- On factorise
sous la forme
.
Donner l'expression factorisée de
sachant que 
.
- Ici
a pour
coefficient 2 donc on commence par
factoriser 
par 2 :
.
- Dans la parenthèse, on voit
que
= 9
et 
= 20.
-
20 = 10 × 1 = 5 × 4.
Les 2 racines cherchées sont donc
soit 10 et 1, soit 5 et 4.
On calcule la somme dans les deux cas : 10 + 1 = 11 et 5 + 4 = 9.
On sait que
= 9, on en
déduit donc que les racines de la fonction
polynôme sont 4 et 5.
- On peut alors factoriser :
.
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