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Somme et produit des racines d'un polynôme de degré 2

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Objectifs
  • Connaitre l'expression de la somme et du produit des racines d'un polynôme.
  • Savoir utiliser la somme et le produit des racines d’un polynôme pour obtenir la forme factorisée ou la forme développée.
Points clés
  • Les racines peuvent souvent être trouvées grâce aux coefficients de la forme développée.
  • La forme développée d’un polynôme s’obtient facilement grâce à la somme et au produit de ses racines.
Pour bien comprendre
  • Savoir ce qu’est un polynôme de degré 2
  • Savoir ce qu’est une racine d’un polynôme de degré 2
1. Somme et produit des racines
a. Rappels
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur  par  où , et  sont des réels donnés et .
On dit qu’un réel  est racine d’une fonction polynôme  lorsque .

Si une fonction polynôme de degré deux possède 2 racines et , alors il existe un réel  tel que se factorise sous la forme .

b. Expression de la somme et du produit des racines

On note :

  • la somme de ses racines ;
  • le produit de ses racines.

On peut montrer que et , et on peut écrire que .

Démonstration
Développons  :


On identifie alors les coefficients avec ceux de  :
d’où 
et  d’où .

2. Utilisations
a. Obtenir l'expression développée

Il existe une infinité de fonctions polynômes de degré deux ayant pour racines  et  puisque leur forme factorisée sera du type avec .

Si on connait les racines  et  d’une fonction polynôme, alors on peut calculer  et  et obtenir la forme intermédiaire : .

La valeur de s'obtient grâce à une information supplémentaire fournie par l'énoncé ou à prendre sur une représentation graphique.

Méthode
  1. On utilise les racines  et  pour déterminer les valeurs de  et  et obtenir la forme intermédiaire .
  2. On utilise l'information supplémentaire pour déterminer .
  3. On écrit la forme développée de .
Exemple
Donner l'expression développée de  sachant que  a pour racines 2 et 5 et que .
  1. On calcule et  pour obtenir la forme générale de  :
    et . Ainsi  est du type .
  2. On exploite l'information  :
    puisque alors . Or  donc  et .
  3. On produit la forme développée finale :
    comme alors .
b. Obtenir l'expression factorisée

À l'inverse, à partir de la forme développée d'une fonction polynôme de degré deux, on peut trouver ses racines éventuelles  et  :

  • Si la fonction polynôme est du type  (sans coefficient devant le terme en ), alors  est l'opposé de la somme  des racines, et  est le produit des racines.
  • Si la fonction polynôme est du type  avec , alors on force la factorisation de  par  : et ainsi  est l'opposé de la somme  des racines et  est le produit  des racines.

On peut alors souvent, avec intuition, deviner quelles nombres ont pour produit  et somme pour identifier les racines.

Méthode
  1. On factorise la fonction polynôme par si .
  2. On identifie la somme  des racines et leur produit  en analysant le terme constant et l'opposé du coefficient du terme en .
  3. On essaie, à l'intuition, de trouver deux nombres  et , qui seront les racines cherchées, dont la somme vaut  et le produit .
  4. On factorise  sous la forme .
Exemple
Donner l'expression factorisée de  sachant que .
  1. Ici a pour coefficient 2 donc on commence par factoriser  par 2 : .
  2. Dans la parenthèse, on voit que  = 9 et  = 20.
  3. 20 = 10 × 1 = 5 × 4. Les 2 racines cherchées sont donc soit 10 et 1, soit 5 et 4.
    On calcule la somme dans les deux cas : 10 + 1 = 11 et 5 + 4 = 9.
    On sait que  = 9, on en déduit donc que les racines de la fonction polynôme sont 4 et 5.
  4. On peut alors factoriser : .

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Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

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