Somme et produit des racines d'un polynôme de degré 2
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- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre l'expression de la somme et du produit des racines d'un polynôme.
- Savoir utiliser la somme et le produit des racines d’un polynôme pour obtenir la forme factorisée ou la forme développée.
- Les racines peuvent souvent être trouvées grâce aux coefficients de la forme développée.
- La forme développée d’un polynôme s’obtient facilement grâce à la somme et au produit de ses racines.
- Savoir ce qu’est un polynôme de degré 2
- Savoir ce qu’est une racine d’un polynôme de degré 2









Si une fonction polynôme de degré deux
possède 2 racines
et
, alors il existe un
réel
tel que
se factorise sous la forme
.
On note :
-
la somme de ses racines ;
-
le produit de ses racines.
On peut montrer que et
, et on peut écrire que
.
Démonstration
Développons :
On identifie alors les coefficients avec ceux
de :
d’où
et
d’où
.
Il existe une infinité de fonctions
polynômes de degré deux ayant pour
racines et
puisque leur forme
factorisée sera du type
avec
.
Si on connait les racines et
d’une fonction
polynôme, alors on peut calculer
et
et obtenir la forme
intermédiaire :
.
La valeur de s'obtient grâce à
une information supplémentaire fournie par
l'énoncé ou à prendre sur une
représentation graphique.
- On utilise les racines
et
pour déterminer les valeurs de
et
et obtenir la forme intermédiaire
.
- On utilise l'information supplémentaire
pour déterminer
.
- On écrit la forme développée
de
.
Donner l'expression développée de



- On calcule
et
pour obtenir la forme générale de
:
et
. Ainsi
est du type
.
- On exploite l'information
:
puisquealors
. Or
donc
et
.
- On produit la forme développée
finale :
commealors
.
À l'inverse, à partir de la forme
développée d'une fonction polynôme
de degré deux, on peut trouver ses racines
éventuelles et
:
- Si la fonction polynôme est du
type
(sans coefficient devant le terme en
), alors
est l'opposé de la somme
des racines, et
est le produit des racines.
- Si la fonction polynôme est du
type
avec
, alors on force la factorisation de
par
:
et ainsi
est l'opposé de la somme
des racines et
est le produit
des racines.
On peut alors souvent, avec intuition, deviner quelles
nombres ont pour produit et somme
pour identifier les racines.
- On factorise la fonction polynôme
par
si
.
- On identifie la somme
des racines et leur produit
en analysant le terme constant et l'opposé du coefficient du terme en
.
- On essaie, à l'intuition, de trouver deux
nombres
et
, qui seront les racines cherchées, dont la somme vaut
et le produit
.
- On factorise
sous la forme
.
Donner l'expression factorisée de


- Ici
a pour coefficient 2 donc on commence par factoriser
par 2 :
.
- Dans la parenthèse, on voit
que
= 9 et
= 20.
-
20 = 10 × 1 = 5 × 4.
Les 2 racines cherchées sont donc
soit 10 et 1, soit 5 et 4.
On calcule la somme dans les deux cas : 10 + 1 = 11 et 5 + 4 = 9.
On sait que= 9, on en déduit donc que les racines de la fonction polynôme sont 4 et 5.
- On peut alors factoriser :
.
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